初二数学上下册重点难点知识点总结.pdf

初二数学（上）应知应会的知识点初二数学（上）应知应会的知识点因式分解1. 因式分解：把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做把这个多项式因式分解；注意：因式分解与乘法是相反的两个转化.2．因式分解的方法：常用“提取公因式法” 、 “公式法” 、 “分组分解法” 、 “十字相乘法”.3．公因式的确定：系数的最大公约数·相同因式的最低次幂.注意公式：a+b=b+a；a-b=-(b-a)；(a-b)2=(b-a)2；(a-b)3=-(b-a)3.4．因式分解的公式：(1)平方差公式： a2-b2=（a+ b） （a- b） ；(2)完全平方公式：a2+2ab+b2=(a+b)2,a2-2ab+b2=(a-b)2.5．因式分解的注意事项：（1）选择因式分解方法的一般次序是：一 提取、二 公式、三 分组、四 十字；（2）使用因式分解公式时要特别注意公式中的字母都具有整体性；（3）因式分解的最后结果要求分解到每一个因式都不能分解为止；（4）因式分解的最后结果要求每一个因式的首项符号为正；（5）因式分解的最后结果要求加以整理；（6）因式分解的最后结果要求相同因式写成乘方的形式.6．因式分解的解题技巧： （1）换位整理，加括号或去括号整理； （2）提负号；（3）全变号； （4）换元； （5）配方； （6）把相同的式子看作整体； （7）灵活分组； （8）提取分数系数； （9）展开部分括号或全部括号； （10）拆项或补项.7． 完全平方式： 能化为 （m+n） 2的多项式叫完全平方式； 对于二次三项式x2+px+q， p q有“ x2+px+q 是完全平方式 2”.2分式A1．分式：一般地，用 A、B 表示两个整式，A÷B 就可以表示为B的形式，如果AB 中含有字母，式子B叫做分式. 整式有理式分式.2．有理式：整式与分式统称有理式；即3．对于分式的两个重要判断： （1）若分式的分母为零，则分式无意义，反之有意义； （2）若分式的分子为零，而分母不为零，则分式的值为零；注意：若分式的分子为零，而分母也为零，则分式无意义.4．分式的基本性质与应用：（1）若分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不为零的整式，分式的值不变；（2）注意：在分式中，分子、分母、分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；即分子分子分子分子 分母分母分母分母（3）繁分式化简时，采用分子分母同乘小分母的最小公倍数的方法，比较简单.5．分式的约分：把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分；注意：分式约分前经常需要先因式分解.6．最简分式：一个分式的分子与分母没有公因式，这个分式叫做最简分式；注意：分式计算的最后结果要求化为最简分式.a cac,7．分式的乘除法法则：b dbdnaca dadbdb cbc.an a n.（n为正整数）b8．分式的乘方：b.9．负整指数计算法则：1n（1）公式： a0=1(a≠0),a-n=a(a≠0)；（2）正整指数的运算法则都可用于负整指数计算； a （3）公式：bnnm baba，bman；n（4）公式： （-1）-2=1， （-1）-3=-1.10．分式的通分：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成与原来的分式相等的同分母的分式，叫做分式的通分；注意：分式的通分前要先确定最简公分母.11．最简公分母的确定：系数的最小公倍数·相同因式的最高次幂.12．同分母与异分母的分式加减法法则：aba b;cccacadbcadbcbdbdbdbd.13．含有字母系数的一元一次方程：在方程ax+b=0(a≠0)中,x 是未知数,a 和 b 是用字母表示的已知数，对x 来说，字母a 是 x 的系数，叫做字母系数，字母b 是常数项，我们称它为含有字母系数的一元一次方程.注意：在字母方程中,一般用a、b、c 等表示已知数，用 x、y、z 等表示未知数.14． 公式变形： 把一个公式从一种形式变换成另一种形式， 叫做公式变形； 注意：公式变形的本质就是解含有字母系数的方程 .特别要注意：字母方程两边同时乘以含字母的代数式时，一般需要先确认这个代数式的值不为 0.15．分式方程：分母里含有未知数的方程叫做分式方程；注意：以前学过的，分母里不含未知数的方程是整式方程.16．分式方程的增根：在解分式方程时，为了去分母，方程的两边同乘以了含有未知数的代数式，所以可能产生增根，故分式方程必须验增根；注意：在解方程时，方程的两边一般不要同时除以含未知数的代数式，因为可能丢根.17．分式方程验增根的方法：把分式方程求出的根代入最简公分母（或分式方程的每个分母） ，若值为零，求出的根是增根，这时原方程无解；若值不为零，求出的根是原方程的解；注意：由此可判断，使分母的值为零的未知数的值可能是原方程的增根.18．分式方程的应用：列分式方程解应用题与列整式方程解应用题的方法一样，但需要增加“验增根”的程序.数的开方1．平方根的定义：若 x2=a,那么 x 叫 a 的平方根， （即 a 的平方根是 x） ；注意：（1）a 叫 x 的平方数， （2）已知x 求 a 叫乘方，已知a 求 x 叫开方，乘方与开方互为逆运算.2．平方根的性质：（1）正数的平方根是一对相反数；（2）0 的平方根还是 0；（3）负数没有平方根.3．平方根的表示方法：a 的平方根表示为a和a.注意：a可以看作是一个数，也可以认为是一个数开二次方的运算.4．算术平方根：正数a 的正的平方根叫 a 的算术平方根，表示为a.注意：0 的算术平方根还是 0.5．三个重要非负数： a2≥0 ,|a|≥0 ，a≥0 .注意：非负数之和为 0，说明它们都是 0.6．两个重要公式：（1）a2 a; (a≥0)（2）a(a  0)a2 a a (a  0).37． 立方根的定义： 若 x3=a,那么 x 叫 a 的立方根， （即 a 的立方根是 x） .注意： （1）a 叫 x 的立方数； （2）a 的立方根表示为a；即把 a 开三次方.8．立方根的性质：（1）正数的立方根是一个正数；（2）0 的立方根还是 0；（3）负数的立方根是一个负数.3a   a.9．立方根的特性：310．无理数：无限不循环小数叫做无理数.注意：和开方开不尽的数是无理数.11．实数：有理数和无理数统称实数.12．实数的分类：（1）正实数实数0负实数.正有理数有理数 0有限小数与无限循环小数负有理数实数正无理数无理数无限不循环小数负无理数（2）13．数轴的性质：数轴上的点与实数一一对应.14．无理数的近似值：实数计算的结果中若含有无理数且题目无近似要求，则结果应该用无理数表示； 如果题目有近似要求， 则结果应该用无理数的近似值表示.注意： （1）近似计算时，中间过程要多保留一位；（2）要求记忆：2 1.4143 1.7325  2.236.三角形三角形几何 A 级概念： （要求深刻理解、熟练运用、主要用于几何证明）1．三角形的角平分线定义：几何表达式举例：A三角形的一个角的平分线与这个角(1) ∵AD 平分∠BAC的对边相交， 这个角的顶点和交点之∴∠BAD=∠CAD间的线段叫做三角形的角平分线.(2) ∵∠BAD=∠CADBDC（如图）∴AD 是角平分线2．三角形的中线定义：几何表达式举例：在三角形中， 连结一个顶点和它的对(1) ∵AD 是三角形的中线A边的中点的线段叫做三角形的中线 .∴ BD = CD（如图）(2) ∵ BD = CD∴AD 是三角形的中线DCB3．三角形的高线定义：几何表达式举例：从三角形的一个顶点向它的对边画(1) ∵AD 是ΔABC 的高A垂线， 顶点和垂足间的线段叫做三角∴∠ADB=90°形的高线.(2) ∵∠ADB=90°（如图）∴AD 是ΔABC 的高BCD※4．三角形的三边关系定理：几何表达式举例：三角形的两边之和大于第三边， 三角(1) ∵AB+BC＞ACA形的两边之差小于第三边.（如图）∴……………(2) ∵ AB-BC＜AC∴……………BC5．等腰三角形的定义：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形. （如图）BA几何表达式举例：(1) ∵ΔABC 是等腰三角形∴ AB = AC(2) ∵AB = AC∴ΔABC 是等腰三角形C6．等边三角形的定义：有三条边相等的三角形叫做等边三角形. （如图）几何表达式举例：A(1)∵ΔABC 是等边三角形∴AB=BC=AC(2) ∵AB=BC=ACCB∴ΔABC 是等边三角形7．三角形的内角和定理及推论：几何表达式举例：（1）三角形的内角和 180°； （如图）(1) ∵∠A+∠B+∠C=180°（2）直角三角形的两个锐角互余； （如图）∴…………………（3）三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角(2) ∵∠C=90°的和； （如图）∴∠A+∠B=90°※（4）三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻(3) ∵∠ACD=∠A+∠B的内角.∴…………………(4) ∵∠ACD ＞∠AAAA∴…………………C2）B（1B）C（B（3） （DC4）8．直角三角形的定义：几何表达式举例：有一个角是直角的三角形叫直角A(1) ∵∠C=90°三角形.（如图）∴ΔABC 是直角三角形(2) ∵ΔABC 是直角三角形CB∴∠C=90°9．等腰直角三角形的定义：几何表达式举例：两条直角边相等的直角三角形叫(1) ∵∠C=90°CA=CB等腰直角三角形.（如图）∴ΔABC 是等腰直角三角形A(2) ∵ΔABC 是等腰直角三角形BC∴∠C=90°CA=CB10．全等三角形的性质：几何表达式举例：（1）全等三角形的对应边相等； （如图）(1) ∵ΔABC≌ΔEFG（2）全等三角形的对应角相等.（如图）∴ AB = EF………(2) ∵ΔABC≌ΔEFGA∴∠A=∠E………ECGBF11．全等三角形的判定：几何表达式举例：“SAS” “ASA” “AAS” “SSS” “HL”. （如图）(1) ∵ AB = EFAE（1） （2）CGBFAE（3）∵ ∠B=∠F又∵ BC = FG∴ΔABC≌ΔEFG(2)………………(3)在 RtΔABC 和 RtΔEFG 中∵ AB=EF又∵ AC = EG∴RtΔABC≌RtΔEFGFBCG12．角平分线的性质定理及逆定几何表达式举例：理：(1)∵OC 平分∠AOB（1）在角平分线上的点到角的两又∵CD⊥OACE⊥OBA边距离相等； （如图）∴ CD = CEDC（2）到角的两边距离相等的点在(2) ∵CD⊥OACE⊥OB角平分线上.（如图）又∵CD = CEOEB∴OC 是角平分线13．线段垂直平分线的定义：几何表达式举例：垂直于一条线段且平分这条线段(1) ∵EF 垂直平分 ABE的直线， 叫做这条线段的垂直平分∴EF⊥ABOA=OB线.（如图）(2) ∵EF⊥ABOA=OBOBA∴EF 是 AB 的垂直平分线F14． 线段垂直平分线的性质定理及几何表达式举例：逆定理：(1) ∵MN 是线段 AB 的垂直MP（1）线段垂直平分线上的点和这平分线条线段的两个端点的距离相等；∴ PA = PB（如图）(2) ∵PA = PBBAC（2）和一条线段的两个端点的距∴点 P 段 AB 的垂直平分N离相等的点， 在这条线段的垂直平线上分线上.（如图）15．等腰三角形的性质定理及推论：几何表达式举例：（1）等腰三角形的两个底角相等； （即等边对等角） （如(1) ∵AB = AC图）∴∠B=∠C（2）等腰三角形的“顶角平分线、底边中线、底边上的 (2) ∵AB = AC高”三线合一； （如图）又∵∠BAD=∠CAD（3）等边三角形的各角都相等，并且都是60°.（如图） ∴BD = CDAD⊥BC………………AAA(3) ∵ΔABC 是等边三角形∴∠A=∠B=∠C =60°CCBBCBD（1）（2）（3）16．等腰三角形的判定定理及推论：（1）如果一个三角形有两个角都相等，那么这两个角所对边也相等； （即等角对等边） （如图）（2）三个角都相等的三角形是等边三角形； （如图）（3） 有一个角等于 60°的等腰三角形是等边三角形；（如图）（4）在直角三角形中，如果有一个角等于 30°，那么它所对的直角边是斜边的一半.（如图）AA几何表达式举例：(1) ∵∠B=∠C∴ AB = AC(2) ∵∠A=∠B=∠C∴ΔABC 是等边三角形(3) ∵∠A=60°又∵AB = AC∴ΔABC 是等边三角形(4) ∵∠C=90°∠B=30°1∴AC =2ABABC（1）BC（2） （3）CB17．关于轴对称的定理（1） 关于某条直线对称的两个图形是全等形； （如图）（2） 如果两个图形关于某条直线对称，那么对称轴是对应点连线的垂直平分线.（如图）B18．勾股定理及逆定理：（1）直角三角形的两直角边 a、b 的平方和等于斜边 c 的平方，即 a2+b2=c2； （如图）（2） 如果三角形的三边长有下面关系: a2+b2=c2， 那么这个三角形是直角三角形.（如图）19． RtΔ斜边中线定理及逆定理：（1）直角三角形中， 斜边上的中线是斜边的一半； （如图）（2） 如果三角形一边上的中线是这边的一半，那么这个三角形是直角三角形.（如图）AMAOCFN（4）几何表达式举例：(1) ∵ΔABC、ΔEGF 关于MN 轴对称E∴ΔABC≌ΔEGF(2) ∵ΔABC、ΔEGF 关于GMN 轴对称∴OA=OEMN⊥AE几何表达式举例：(1) ∵ΔABC 是直角三角形∴a2+b2=c2(2) ∵a2+b2=c2∴ΔABC 是直角三角形几何表达式举例：∵ΔABC 是直角三角形∵D 是 AB 的中点CBAD1∴CD =2ABBC(2) ∵CD=AD=BD∴ΔABC 是直角三角形几何 B 级概念： （要求理解、会讲、会用，主要用于填空和选择题）一基本概念：三角形、不等边三角形、锐角三角形、钝角三角形、三角形的外角、全等三角形、角平分线的集合定义、原命题、逆命题、逆定理、尺规作图、辅助线、线段垂直平分线的集合定义、轴对称的定义、轴对称图形的定义、勾股数.二常识：1．三角形中，第三边长的判断：另两边之差＜第三边＜另两边之和.2．三角形中，有三条角平分线、三条中线、三条高线，它们都分别交于一点，其中前两个交点都在三角形内，而第三个交点可在三角形内，三角形上，三角形外.注意：三角形的角平分线、中线、高线都是线段.3．如图，三角形中，有一个重要的面积等式，即：若CD⊥AB，BE⊥CA，则CD·AB=BE·CA.4．三角形能否成立的条件是：最长边＜另两边之和.A5．直角三角形能否成立的条件是：最长边的平方等于另两边的平方和.DE6．分别含 30°、45°、60°的直角三角形是特殊的直角三角形.CBA7．如图，双垂图形中，有两个重要的性质，即：D（1） AC·CB=CD·AB ；（2）∠1=∠B ，∠2=∠A .18．三角形中，最多有一个内角是钝角，但最少有两个外角是钝角.2BC9．全等三角形中，重合的点是对应顶点，对应顶点所对的角是对应角，对应角所对的边是对应边.10．等边三角形是特殊的等腰三角形.11．几何习题中， “文字叙述题”需要自己画图，写已知、求证、证明.12．符合“AAA” “SSA”条件的三角形不能判定全等.13．几何习题经常用四种方法进行分析： （1）分析综合法； （2）方程分析法； （3）代入分析法； （4）图形观察法.14．几何基本作图分为： （1）作线段等于已知线段； （2）作角等于已知角； （3）作已知角的平分线； （4）过已知点作已知直线的垂线； （5）作线段的中垂线； （6）过已知点作已知直线的平行线.15．会用尺规完成“SAS” 、 “ASA” 、 “AAS” 、 “SSS” 、 “HL” 、 “等腰三角形” 、 “等边三角形” 、 “等腰直角三角形”的作图.16．作图题在分析过程中，首先要画出草图并标出字母，然后确定先画什么，后画什么；注意：每步作图都应该是几何基本作图.17．几何画图的类型： （1）估画图； （2）工具画图； （3）尺规画图.※18．几何重要图形和辅助线：（1）选取和作辅助线的原则：①构造特殊图形，使可用的定理增加；②一举多得；③聚合题目中的分散条件，转移线段，转移角；④作辅助线必须符合几何基本作图.（2）已知角平分线.（若 BD 是角平分线）过 D 点作 DE∥BC 交 AB 于 E，① 在 BA 上截取 BE=BC 构造全等，转②构造等移线段和角；腰三角形 .AAEEDDCCBB（3）已知三角形中线（若 AD 是 BC 的中线）延长 AD 到 E，∵AD 是中线① 过D点作DE∥AC交AB②使 DE=AD③于 E，构造中位线 ；连结 CE 构造全等，转移线∴SΔABD= SΔADC段和角；（等底等高的三角形AEAABDCBDCBEDC等面积）(4) 已知等腰三角形 ABC 中，AB=AC作等腰三角形 ABC 一边的平行线 DE，① 作等腰三角形 ABC 底边的中线②构AD造（顶角的平分线或底边的高） 构造全新的等腰三角形.AAA等三角形；EEDCCBDBCBD（5）其它② 作 CE∥AB，转移角；③延长 BD 与 AC 交于作等边三角形 ABC一边 的平行线 DE， 构E，不规则图形转化为规A造新的等边三角形；则图形；EAAEBDECDCCBDB④ 多边形转化为三角⑤延长 BC 到 D，使⑥ 若 a∥b,AC,BC 是角平形；CD=BC，连结AD，直角三分线,则∠C=90°.角形转化为等腰三角形；EAaAADCObBCBDBC。