直线的方程--高考考点精讲.docx

1．直线的倾斜角(1)定义：当直线l与x轴相交时，取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角叫做直线l的倾斜角．当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)范围：直线l倾斜角的范围是[0°，180°)．2．斜率公式(1)若直线l的倾斜角α≠90°，则斜率k＝tan α.(2)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)在直线l上且x1≠x2，则l的斜率k＝.3．直线方程的五种形式名称方程适用范围点斜式y－y0＝k(x－x0)不含直线x＝x0斜截式y＝kx＋b不含垂直于x轴的直线两点式＝不含直线x＝x1 (x1≠x2)和直线y＝y1 (y1≠y2)截距式＋＝1不含垂直于坐标轴和过原点的直线一般式Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)平面直角坐标系内的直线都适用【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置．(　√　)(2)坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率．(　×　)(3)直线的倾斜角越大，其斜率就越大．(　×　)(4)直线的斜率为tan α，则其倾斜角为α.(　×　)(5)斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等．(　×　)(6)经过任意两个不同的点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直线都可以用方程(y－y1)(x2－x1)＝(x－x1)(y2－y1)表示．(　√　)1．(2016·天津模拟)过点M(－2，m)，N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为(　　)A．1 B．4C．1或3 D．1或4答案　A解析　依题意得＝1，解得m＝1.2．(2016·合肥一六八中学检测)直线x＋(a2＋1)y＋1＝0的倾斜角的取值范围是(　　)A．[0，] B．[，π)C．[0，]∪(，π) D．[，)∪[，π)答案　B解析　由直线方程可得该直线的斜率为－，又－1≤－<0，所以倾斜角的取值范围是[，π)．3．如果A·C<0且B·C<0，那么直线Ax＋By＋C＝0不通过(　　)A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限答案　C解析　由已知得直线Ax＋By＋C＝0在x轴上的截距－>0，在y轴上的截距－>0，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限．4．(教材改编)直线l：ax＋y－2－a＝0在x轴和y轴上的截距相等，则实数a＝ .答案　1或－2解析　令x＝0，得直线l在y轴上的截距为2＋a；令y＝0，得直线l在x轴上的截距为1＋，依题意2＋a＝1＋，解得a＝1或a＝－2.5．过点A(2，－3)且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 ．答案　3x＋2y＝0或x－y－5＝0解析　①当直线过原点时，直线方程为y＝－x，即3x＋2y＝0；②当直线不过原点时，设直线方程为－＝1，即x－y＝a，将点A(2，－3)代入，得a＝5，即直线方程为x－y－5＝0.故所求直线的方程为3x＋2y＝0或x－y－5＝0.题型一　直线的倾斜角与斜率例1　(1)(2016·北京东城区期末)已知直线l的倾斜角为α，斜率为k，那么“α>”是“k>”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(2)直线l过点P(1,0)，且与以A(2,1)，B(0，)为端点的线段有公共点，则直线l斜率的取值范围为 ．答案　(1)B　(2)(－∞，－]∪[1，＋∞)解析　(1)当<α<π时，k<0；当k>时，<α<.所以“α>”是“k>”的必要不充分条件，故选B. (2)如图，∵kAP＝＝1，kBP＝＝－，∴k∈(－∞，－ ]∪[1，＋∞)．引申探究1．若将本例(2)中P(1,0)改为P(－1,0)，其他条件不变，求直线l斜率的取值范围．解　∵P(－1,0)，A(2,1)，B(0，)，∴kAP＝＝，kBP＝＝.如图可知，直线l斜率的取值范围为.2．若将本例(2)中的B点坐标改为(2，－1)，其他条件不变，求直线l倾斜角的范围．解　如图，直线PA的倾斜角为45°，直线PB的倾斜角为135°，由图象知l的倾斜角的范围为[0°，45°]∪[135°，180°)．思维升华　直线倾斜角的范围是[0，π)，而这个区间不是正切函数的单调区间，因此根据斜率求倾斜角的范围时，要分与两种情况讨论．由正切函数图象可以看出，当α∈时，斜率k∈[0，＋∞)；当α＝时，斜率不存在；当α∈时，斜率k∈(－∞，0)．　(2017·南昌月考)已知过定点P(2,0)的直线l与曲线y＝相交于A，B两点，O为坐标原点，当△AOB的面积取到最大值时，直线l的倾斜角为(　　)A．150° B．135° C．120° D．不存在答案　A解析　由y＝得x2＋y2＝2(y≥0)，它表示以原点O为圆心，以为半径的圆的一部分，其图象如图所示．显然直线l的斜率存在，设过点P(2,0)的直线l为y＝k(x－2)，则圆心到此直线的距离d＝，弦长|AB|＝2＝2，所以S△AOB＝××2≤＝1，当且仅当(2k)2＝2－2k2，即k2＝时等号成立，由图可得k＝－(k＝舍去)，故直线l的倾斜角为150°.题型二　求直线的方程例2　根据所给条件求直线的方程：(1)直线过点(－4,0)，倾斜角的正弦值为；(2)经过点P(4,1)，且在两坐标轴上的截距相等；(3)直线过点(5,10)，到原点的距离为5.解　(1)由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式．设倾斜角为α，则sin α＝(0<α<π)，从而cos α＝±，则k＝tan α＝±.故所求直线方程为y＝±(x＋4)．即x＋3y＋4＝0或x－3y＋4＝0.(2)设直线l在x，y轴上的截距均为a.若a＝0，即l过点(0,0)及(4,1)，∴l的方程为y＝x，即x－4y＝0.若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(4,1)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0.综上可知，直线l的方程为x－4y＝0或x＋y－5＝0.(3)当斜率不存在时，所求直线方程为x－5＝0；当斜率存在时，设其为k，则所求直线方程为y－10＝k(x－5)，即kx－y＋(10－5k)＝0.由点到直线的距离公式，得＝5，解得k＝.故所求直线方程为3x－4y＋25＝0.综上知，所求直线方程为x－5＝0或3x－4y＋25＝0.思维升华　在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件．用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线．故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况．　求适合下列条件的直线方程：(1)经过点P(3,2)且在两坐标轴上的截距相等；(2)过点A(－1，－3)，斜率是直线y＝3x的斜率的－倍；(3)过点A(1，－1)与已知直线l1：2x＋y－6＝0相交于B点且|AB|＝5.解　(1)设直线l在x，y轴上的截距均为a，若a＝0，即l过点(0,0)和(3,2)，∴l的方程为y＝x，即2x－3y＝0.若a≠0，则设l的方程为＋＝1，∵l过点(3,2)，∴＋＝1，∴a＝5，∴l的方程为x＋y－5＝0，综上可知，直线l的方程为2x－3y＝0或x＋y－5＝0.(2)设所求直线的斜率为k，依题意k＝－×3＝－.又直线经过点A(－1，－3)，因此所求直线方程为y＋3＝－(x＋1)，即3x＋4y＋15＝0.(3)过点A(1，－1)与y轴平行的直线为x＝1.解方程组求得B点坐标为(1,4)，此时|AB|＝5，即x＝1为所求．设过A(1，－1)且与y轴不平行的直线为y＋1＝k(x－1)，解方程组得两直线交点为(k≠－2，否则与已知直线平行)，则B点坐标为(，)．∴(－1)2＋(＋1)2＝52，解得k＝－，∴y＋1＝－(x－1)，即3x＋4y＋1＝0.综上可知，所求直线方程为x＝1或3x＋4y＋1＝0.题型三　直线方程的综合应用命题点1　与基本不等式相结合求最值问题例3　已知直线l过点P(3,2)，且与x轴、y轴的正半轴分别交于A、B两点，如图所示，求△ABO的面积的最小值及此时直线l的方程．解　方法一　设直线方程为＋＝1(a>0，b>0)，把点P(3,2)代入得＋＝1≥2，得ab≥24，从而S△AOB＝ab≥12，当且仅当＝时等号成立，这时k＝－＝－，从而所求直线方程为2x＋3y－12＝0.方法二　依题意知，直线l的斜率k存在且k<0.则直线l的方程为y－2＝k(x－3)(k<0)，且有A，B(0,2－3k)，∴S△ABO＝(2－3k)＝≥＝×(12＋12)＝12.当且仅当－9k＝，即k＝－时，等号成立．即△ABO的面积的最小值为12.故所求直线的方程为2x＋3y－12＝0.命题点2　由直线方程解决参数问题例4　已知直线l1：ax－2y＝2a－4，l2：2x＋a2y＝2a2＋4，当0＜a＜2时，直线l1，l2与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数a的值．解　由题意知直线l1，l2恒过定点P(2,2)，直线l1在y轴上的截距为2－a，直线l2在x轴上的截距为a2＋2，所以四边形的面积S＝×2×(2－a)＋×2×(a2＋2)＝a2－a＋4＝2＋，当a＝时，面积最小．思维升华　与直线方程有关问题的常见类型及解题策略(1)求解与直线方程有关的最值问题．先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值．(2)求直线方程．弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程．(3)求参数值或范围．注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解．　(2016·潍坊模拟)直线l过点P(1,4)，分别交x轴的正半轴和y轴的正半轴于A，B两点，O为坐标原点，当|OA|＋|OB|最小时，求直线l的方程．解　依题意，直线l的斜率存在且斜率为负，设直线l的斜率为k，则直线l的方程为y－4＝k(x－1)(k<0)．令y＝0，可得A(1－，0)；令x＝0，可得B(0,4－k)．|OA|＋|OB|＝(1－)＋(4－k)＝5－(k＋)＝5＋(－k＋)≥5＋4＝9.∴当且仅当－k＝且k<0，即k＝－2时，|OA|＋|OB|取最小值．这时直线l的方程为2x＋y－6＝0.11．求与截距有关的直线方程典例　设直线l的方程为(a＋1)x＋y＋2－a＝0(a∈R)．(1)若l在两坐标轴上的截距相等，求直线l的方程；(2)若l在两坐标轴上的截距互为相反数，求a.错解展示现场纠错解　(1)当直线过原点时，该直线在x轴和y轴上的截距为零，∴a＝2，方程即为3x＋y＝0.当直线不经过原点时，截距存在且均不为0.∴＝a－2，即a＋1＝1.∴a＝0，方程即为x＋y＋2＝0.综上，直线l的方程为3x＋y＝0或x＋y＋2＝0.(2)由＝－(a－2)得a－2＝0或a＋1＝－1，∴a＝2或a＝－2.纠错心得　在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解.1．(2。