第八讲 二次函数综合问题【趣题引路】 例 今有网球从斜坡O点处抛去,网球的抛物路线方程是y=4x-x2,斜坡的方程是y=x,其中y是垂直高度(m),x是与0点的水平距离(m),如图. (1)网球落地时撞击斜坡的落点为A,写出A点的垂直高度,以及A点与O点的水平距离; (2)在图象中,求标志网球所能达到的最高点B的坐标,并求OB与水平线Ox之间夹角的正切. 解析 (1)由方程组 解得A点坐标为(7,3.5),即可求得A点的垂直高度为3.5m,A点与O点水平距离为7m. (2)由y=4x-x2= -(x-4)2+8知,最高点B的坐标为(4,8),且tana==2(记∠BOx=a).点评 本题是香港考题,在日常情境中,本题运用了许多数学知识,如方程组,一元二次方程,二次函数的画图及求二次函数的极值.【知识延伸】 例1 设a、b、c、d是任意实数,且满足(a+b+c)2≥2(a2+b2+c2)+4d,求证:不等式ab+bc+ca≥3d. 证明 将已知不等式化简整理,得 c2-2(a+b)c+[(a2+b2)-2ab+4d]≤0, ① 设y=f(x)=x2-2(a+b)x+(a2+b2)-2ab+4d,则①式表示f(c)≤0,故抛物线(开口向上)与x轴有交点,则 △=4(a+b)2-4[(a2+b2)]-2ab+4d]≥0, 即(a+b)2-(a2+b2)+2ab-4d≥0, 化简,得ab≥d, ② 由于此题关于a、b、c是对称的,故用同样的方法可证得bc≥d, ③ ca≥d,④ ②、③、④相加得证.点评 此题的关键和难点是利用题设中已有的不等式构造二次函数,利用二次函数的有关性质和结论证明不等式是常用的方法. 例2 已知抛物线y=-x2+2x+8与x轴交于B、C两点,点D平分BC.若在x轴上方的A点为抛物线上的动点,且∠BAC为锐角,求AD的取值范围. 解析 ∵y=-x2+2x+8 =-(x+1)2+9 ∴抛物线顶点为A′(1,9),对称轴为x=1.抛物线与x轴的交点为B(-2,0),C(4,0). 如图,分别以BC,DA′为直径作⊙D、⊙E,可求得其与抛物线均交于P(1-2,1)和Q(1+,1). 根据直径所对的圆周角为直角,圆外角为锐角,圆内角为钝角,可知点A在不含端点的抛物线上时,∠BAC<90°, 又∵DP2=(1-1+2)2+1=9 DP=DQ=3,DA′=9 ∴30). (1)当c<0时,求函数y=-2│ax2+bx+c│-1的最大值; (2)若不论k为任何实数,直线y=k(x-1)- 与抛物线y=ax2+bx+c有且只有一个公共点,求a,b,c的值. 解析 (1)∵a>0,c<0 ∴b2-4ac>0 故│ax2+bx+c│的最小值为0, ∴y=-2│ax2+bx+c│-1值的最大值为-1; (2)欲使直线y=k(x-1)-与抛物线y=ax2+bx+c只有一个交点,则方程组 只有一组解,消去y得到关于x的二次方程ax2+(b-k)x+k+c=0. ∵△=(b-k)2-4a(+k+c)=0, 整理,得关于k的二次方程 (1-a)k2-2(2a+b)k+b2-4ac=0.(※) 又因为此方程对任意实数k都成立,故 即点评 根据题意,(※)对任意实数k都成立,说明关于k的各项系数都为0. 例2 (1997年天津市初中数学竞赛试题)已知函数y=x2-│x│-12的图象与x轴交于相异两点A,B,另一抛物线y=ax2+bx+c过点A,B,顶点为P,且△APB是等腰直角三角形,求a,b,c. 解析 考虑方程x2-│x│-12=0, 当x>0时,x2-x-12=0,解得x1=4,x2=-3(舍去); 当x<0时,x2+x-12=0,解得x3=-4,x4=3(舍去). ∴A、B两点的坐标是(4,0),(-4,0). ∵y=ax2+bx+c过A、B两点,即过(4,0),(-4,0), ∴可设y=ax2+bx+c为y=a(x-4)(x+4) ∵△APB为等腰直角三角形,而A、B为顶点, ∴AB可为斜边,也可为直角边. 当AB为斜边时,求求得P点坐标为(0,4)或(0,-4);当AB为直角边时,这种情况不满足题设条件. 将P(0,4)代入①得a=,则①变为 y=-(x2-16)=-x2+4, 故有a=-,b=0,c=4. 将P(0,-4)代入①得a=,则①变为y=(x2-16)=x2-4, 故有a=,b=0,c=-4.点评 求A、B两点的坐标时,应注意分两种情况去绝对值;条件△ABC为等腰直角三角形应分情况讨论.全能训练A卷1.已知抛物线y=x2与直线y=x+k有交点,求k的取值范围.2.如图,P是抛物线y=x2上第一象限内的一个点,A点的坐标是(3,0). (1)令P点坐标为(x,y),求△OPA的面积S; (2)S是y的什么函数? (3)S是x的什么函数? (4)当S=6时,求点P的坐标;(5)在抛物线y=x2上求一点P′,使△OP′A的两边P′O=P′A.3.抛物线y=ax2+bx+c的顶点位于直线y=x-1和y=-2x-4的交点上,且与直线y=4x-4有唯一交点,试求函数表达式.4.已知实数p1,即x2>1,-k>1,∴k<0.∵S△ABC=6,∴|1-k|·(1+|1-k|)=6 ,∴(1-k)2+(1-k)-12=0.解得1-k=-4或1-k=3,∴k=-2或k=5(舍去). ∴y=x2-2x-3 其对称轴为x=1,据对称性,D点坐标为(。
