武科大多学时高数期末考试与解答A.doc

2009级本科高等数学（二）期末试题与解答A（本科、理工类多学时）一、选择题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）1．偏导数和在处连续是函数在该点全微分存在的（ A ）. A.充分条件； B.必要条件； C.充要条件； D.无关条件.2．（ D ）A.；B.；C.； D..3．现有一半圆弧构件，线密度为，则其质量为（ B ）A.； B.； C.； D..4．若曲面：，则＝（ C ） A.； B.； C.； D..5．已知函数，则＝（ B ）A.； B.； C.； D..二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分）6．直线与平面的交点为 ． 7．幂级数的收敛半径为 ．8．设是周期为的周期函数，它在区间上定义为,则的傅立叶级数在处收敛于 ．9． ．10．设空间立体所占闭区域为，上任一点的体密度是，则此空间立体的质量为__1/6__．三、试解下列各题（本大题共6小题，每小题8分，共48分）11．. 解：原式＝ （3分） ＝ （6分） ＝ （8分）12．已知，求，. 解：（3分） （6分）， （8分）13．设函数由方程确定，求. 解：当时， （2分） 令，则，， （4分） 从而 （6分） 所以 （8分）14．设，其中具有二阶连续偏导数，求. 解： （4分） （8分）15．.解：由题知：所以从而的收敛半径为. （3分）又，则的收敛半径为. （6分）所以的收敛半径. （8分）16．设Ω是由,,所围的有界闭区域.试计算.解： （2分） （4分） （6分）四、试解下列各题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）17．设可微，且曲线积分与路径无关，求.解：由积分与路径无关可知：即： （2分）从而 （4分）又，所以即： （6分）18．计算，其中为下半球面的下侧.解：取为面上的圆盘，方向取上侧，则 （3分）（6分）五、证明题（本大题共2小题，每小题5分，共10分）19．设级数绝对收敛，条件收敛，证明条件收敛.证明：由假设，与收敛，故收敛 （2分） 假若绝对收敛，则由得收敛，与题设有矛盾 （4分）此矛盾说明条件收敛. （5分）20．设，与在上具有一阶连续偏导数，，且在的边界曲线（正向）上有，证明：.证明： （2分） （4分） （5分）。