自动控制原理本科生教学课件第四章(1).ppt

第四章根轨迹法北京航空航天大学自动化学院智能系统与控制工程系*1北京航空航天大学自动化学院301闭环控制系统的稳定性和性能指标主要由闭环系统极点在复平面的位置决定，因此，分析或设计系统时确定出闭环极点位置是十分有意义的闭环系统的极点就是该系统特征方程的根因此，求闭环极点实际上就是求特征方程的根，这对于高阶系统比较困难；且系统参数变化时还需重新求解；寻求无需求解代数方程就能确定参数变化时极点的位置的方法；1948年，伊文思(WREvans)根据反馈控制系统的开、闭环传递函数间的关系，提出了一种实用的直接由开环传递函数零、极点求出闭环极点（闭环特征根）的图解法根轨迹法2北京航空航天大学自动化学院3014-1 根轨迹与根轨迹方程4-2 绘制根轨迹的基本法则4-3 广义根轨迹4-4 系统闭环零、极点分布与阶跃 响应的关系4-5 系统阶跃响应的根轨迹分析主要内容3北京航空航天大学自动化学院301基本要求 1.正确理解开环零、极点和闭环零、极点以及主导极点、偶极子等概念2.正确理解和熟记根轨迹方程(模方程及相角方程)熟练运用模方程计算根轨迹上任一点的根轨迹增益和开环增益3.正确理解根轨迹法则，法则的证明只需一般了解，熟练运用根轨迹法则按步骤绘制反馈系统开环增益K从零变化到正无穷时的闭环根轨迹。

4北京航空航天大学自动化学院3014.正确理解闭环零极点分布和阶跃响应的定性关系，初步掌握运用根轨迹分析参数对响应的影响能熟练运用主导极点、偶极子等概念，将系统近似为一、二阶系统给出定量估算5.掌握绘制广义根轨迹的思路、要点和方法 5北京航空航天大学自动化学院30141 根轨迹与根轨迹方程 根轨迹的基本概念; 如何根据闭环零、极点与开环零、极点之间的关系推导出根轨迹方程； 举例6北京航空航天大学自动化学院301定义：根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数（如开环增益K）从零变到无穷时，闭环特征根在s平面上移动的轨迹一、根轨迹当闭环系统为正反馈时，对应的轨迹为零度根轨迹；而负反馈系统的轨迹为 根轨迹变化的参数为开环增益时，所对应的根轨迹为常规根轨迹；当变化的参数为开环传递函数中的其他参数时，为广义根轨迹7北京航空航天大学自动化学院301例子 如图所示二阶系统，系统的开环传递函数为：8北京航空航天大学自动化学院301开环传递函数有两个极点 没有零点，开环增益为K闭环特征方程为闭环特征根为 闭环传递函数为9北京航空航天大学自动化学院301从特征根的表达式中看出每个特征根都随K的变化而变化例如，设K=0K=0.5K=1K=2.5K=+10北京航空航天大学自动化学院301如果把不同K值的闭环特征根布置在s平面上，并连成线，则可以画出如图所示系统的根轨迹。

闭环系统极点与k存在一定的关系，k变化会引起闭环系统极点s1, s2发生变化 当k=0时，开环极点和闭环极点重合; 1k时，两闭环极点互为共轭； k时，极点将沿着直线= -1趋于无穷远处11北京航空航天大学自动化学院301根轨迹与系统性能的关系 稳定性：当开环增益K从0变到无穷时， 根轨迹不进入s平面的右半平面， 则系统稳定 S1S2当开环增益从零变到无穷时,图 中的根轨迹不会越过虚轴进入右半 s 平面 , 则系统对所有的 K 值都是稳定的 . 当根轨迹与虚轴相交时 , 交点处的 K 值就是临界开环增益 .稳态特性：开环系统在坐标原点有一个极点， 就是I型系统 ，在阶跃信号作用下，系统稳态误差为012北京航空航天大学自动化学院301动态性能：当0K0.5时，闭环系统的特征根为两个相异负实根，系统呈现过阻尼状态，阶跃响应为非周期过程 当K=0.5时，闭环系统为两个相同的负实根，系统为临界阻尼状态，阶跃响应为非周期过程，速度响应较0K0.5时，闭环极点为一对共轭复数，系统为欠阻尼状态，阶跃响应为振荡过程 根轨迹与系统性能有着密切的联系，有了系统的根轨迹，就能够了解系统性能随参数变化的情况13北京航空航天大学自动化学院301二、闭环零、极点与开环零、极点之间的关系 闭环传递函数为（44）图43 控制系统14北京航空航天大学自动化学院301 将前向通道传递函数G(s)表示为：（45）为前向通道增益， 为前向通道根轨迹增益15北京航空航天大学自动化学院301 式中 为反馈通道的根轨迹增益。

47）（46） 反馈通道传递函数H(s)表示为：16北京航空航天大学自动化学院301 由G(s)、H(s)得开环传递函数为：为开环系统根轨迹增益17北京航空航天大学自动化学院301闭环传递函数分别为闭环零、极点式中：（410）18北京航空航天大学自动化学院301结论闭环系统根轨迹增益等于系统前向通道的根轨迹增益；对于单位反馈系统，闭环系统根轨迹增益等于开环系统根轨迹增益19北京航空航天大学自动化学院301闭环系统的零点由前向通道的零点和反馈通道的极点组成；对于单位反馈系统，闭环系统的零点就是开环系统的零点20北京航空航天大学自动化学院301根轨迹法的任务是在已知开环零、极点分布的情况下，如何通过图解法求出闭环极点一旦闭环极点确定，就可写出闭环传函，进而求得系统的时间响应特性；或者以主导极点的概念估计系统的性能指标闭环系统的极点与开环系统的极点、零点以及开环根轨迹增益有关21北京航空航天大学自动化学院301三、根轨迹方程 根轨迹方程 G(s)H(s)=-1 （4-12） 式中G(s)H(s)是系统开环开环传递函数，该式明确表示出开环开环传递函数与闭环极点的关系 闭环特征方程 D(s)=1+G(s)H(s)=0 （4-11） 闭环极点就是闭环特征方程的解，也称为特征根。

22北京航空航天大学自动化学院301设开环传递函数有m个零点，n个极点，并假定nm，这根轨迹方程又可以写成：不难看出，上式为关于s的复数方程，因此，可分解成模值方程模值方程和相角方程相角方程23北京航空航天大学自动化学院301相角方程（415）模值方程（414）复平面上根轨迹上的点，必然同时满足上述两个方程24北京航空航天大学自动化学院301 在实际应用中，用相角方程相角方程绘制根轨迹， 而模模 值方程值方程主要用来确定已知根轨迹上某一点的 值 模值方程模值方程不但与开环零、极点有关，还与开环根轨迹增益有关；而相角方程相角方程只与开环零、极点有关 相角方程相角方程是决定系统闭环根轨迹的充分必要条件充分必要条件相角方程的解和根轨迹上的点一一对应，而模值方程的解很多）25北京航空航天大学自动化学院301例4-1已知系统的开环传递函数试证明复平面上点 是该系统的闭环极点证明： 该系统的开环极点将它们和s1、s2画在复平面上，如下图所示26北京航空航天大学自动化学院301 若 为系统闭环极点，则它们应在根轨迹上，应该满足相角方程：图4427北京航空航天大学自动化学院301(k=0)以 为试验点，可得以 为试验点，观察图44，可得图4428北京航空航天大学自动化学院301已知系统开环传递函数 当 变化时其根轨迹如图4-5所示，求根轨迹上点 所对应的K值。

解 根据模值方程求解 值模值方程图4-5例4229北京航空航天大学自动化学院301图4-5由图45可得所以30北京航空航天大学自动化学院301上面两个例子说明如何应用根轨迹方程确定复平面上一点是否是闭环极点以及确定根轨迹上一点对应的 值但例4-1的试探方法用来确定K变化时的所有闭环极点将很麻烦在实际应用中，根轨迹法是以根轨迹方程为依据，建立一些准则，以便在已知开环零、极点时，迅速求出开环增益（或其他参数）从零变到无穷时闭环特征方程所有根在复平面上的分布，即根轨迹31北京航空航天大学自动化学院30142 绘制根轨迹的基本法则一、根轨迹的分支数 分支数开环极点数 开环特征方程的阶数因为此时系统具有n个闭环极点，当K从零变化到无穷时，每个闭环极点也将跟着变化，每个极点在s平面上都有一条随K变化的轨迹， n 个极点就有n条根轨迹32北京航空航天大学自动化学院301 闭环极点为连续曲线，且对称于实轴： 实数在实轴上 复数共轭对称于实轴二、根轨迹的连续性和对称性33北京航空航天大学自动化学院301开环增益k无限小的增量与s平面上长度|s-pi| （i=1， 2， .， n）及|s-zi|（i=1， 2， .， m）的无限小的增量相对应， 这时复变量s在n条根轨迹上将产生一个无限小的位移。

这个结论对于参变量k在 0， )上取任意值都正确， 这便说明了根轨迹是连续的 由于系统特征方程的系数仅与系统参数有关， 而对实际的物理系统来说， 系统参数又是实数， 从而特征方程的系数也必然是实数 因此具有实系数的代数方程的根如有复数， 则必然为共轭复数34北京航空航天大学自动化学院301起于开环极点，终于开环零点三、根轨迹的起点与终点由根轨迹方程有：如果开环零点数m小于开环极点数n，则有（n-m）条根轨迹终止于无穷远处(的零点)证明: 根轨迹起点是指根轨迹增益*= 0的根轨迹点，而终点则是指*的根轨迹点35北京航空航天大学自动化学院301 起点终点36北京航空航天大学自动化学院301关于起点的进一步说明37北京航空航天大学自动化学院301四、实轴上的根轨迹实轴上根轨迹区段的右侧，开环实数零、极点数目之和为奇数证明:设系统开环零、极点分布如图在实轴上任取一试验点任何一对共轭复根到s1的相角之和为零，如图中的S1左侧实轴上的开环零、极点到S1处的相角为零38北京航空航天大学自动化学院301考虑s1右侧实轴上的开环零、极点所以相角方程成立，即 是根轨迹上的点39北京航空航天大学自动化学院301一般，设试验点右侧有L个开环零点，h个开环极点，则有关系式证毕如满足相角条件必有所以，L-h必为奇数，当然L+h也为奇数。

40北京航空航天大学自动化学院301例43 解：解：将开环传递函数写成零、极点形式设一单位负反馈系统的开环传递函数为 G(s)=K(s+1)/s(0.5s+1) 求 时的闭环根轨迹有一个零点z1=-1,两个极点p1=0、 p2=-241北京航空航天大学自动化学院301最后绘制出根轨迹如图47所示n法则一，有两条根轨迹n法则三，两条根轨迹分别起始于开环极点0、2，一条终于有限零点1，另一条趋于无穷远处n法则四，在负实轴上，0到1区间和2到负无穷区间是根轨迹首先将开环零、极点布置在s平面上，然后按绘制根规迹法则逐步进行：42北京航空航天大学自动化学院301图47例43根轨迹43北京航空航天大学自动化学院301设某负反馈系统的开环传递函数求k变化时的闭环根轨迹44北京航空航天大学自动化学院301法则五、根轨迹的渐近线 渐近线与实轴正方向的夹角为：渐近线与实轴相交点的坐标为：当系统的开环零点数目m小于开环极点数目n时， 则随k将有(n-m)条根轨迹沿着一组渐近线趋于无穷远处.45北京航空航天大学自动化学院301证明:将开环传递函数的分母分子分别写成多项式形式46北京航空航天大学自动化学院301根据根轨迹方程有:47北京航空航天大学自动化学院301 将左边第二个因子在x=0（ ）处展成泰勒级数，并取前两项： 所以：48北京航空航天大学自动化学院30149北京航空航天大学自动化学院301 解 由于给定系统中n=3， m=0， 因此该系统的根轨迹共有3条渐近线， 它们与实轴的交点坐标设某负反馈系统的开环传递函数例4-4试确定根轨迹的渐近线50北京航空航天大学自动化学院301 渐近线与实轴正方向的夹角分别是： 51北京航空航天大学自动化学院301根轨迹的渐进线 52北京航空航天大学自动化学院301例4-4已知系统的开环传递函数试根据法则五，求出根轨迹的渐近线。

极点解：零点53北京航空航天大学自动化学院301按照公式得-5/354北京航空航天大学自动化学院301以下是几种开环传递函数的根轨迹渐近线55北京航空航天大学自动化学院301n-m条渐近线将s平面进行等分：只要求出其中一条渐近线的夹角，即可得到其他渐近线的位置56北京航空航天大学自动化学院301法则六、根轨迹。