近世代数2-6.ppt

2018/9/14 00:32,近世代数,第二章 群论 §6 置换群,2018/9/14 00:32,一、置换,定义1：称有限集合的一一变换为置换.,置换,可表示为,其中,是,的全排列.,2018/9/14 00:32,例1,设,,求A的全体置换.,三次对称群为：,2018/9/14 00:32,注意：置换乘法没有交换律,是有限非交换群.,2018/9/14 00:32,二、置换群的概念,定义2,次对称群,的任意一个子群，,次置换群，简称置换群.,（由部分置换关于变换乘法做成的群）,都叫做一个,定理1 任何n阶有限群都同n次置换群同构.,因为任何n阶有限群都与一个具体的n次,置换群同构，所以常用n次置换群来举有限群,的例子.,2018/9/14 00:32,三、循环置换及循环置换分解,定义3,中的一个将,变到,，,变到,变回到,而其余元素（如果还有其他元素）不发生,变化的置换，叫做 k—循环(置换)，记为,,,,,,例1中的3元置换都是循环置换，且,2018/9/14 00:32,注：并不是每个置换都是循环置换.,设,和,都是循环置换,如果,是不相连的.,则称,与,不是循环置换，但,定义4,2018/9/14 00:32,定理2.,每个置换都可表成不相连循环置换之积.,证：,,注：将置换写成不相连的循环置换之积是,表示置换的第二种方法.,2018/9/14 00:32,例：四次对称群,2018/9/14 00:32,四、循环置换的性质,定理3 两个不相连的循环置换是可以交换的.,定理4 k—循环置换的阶为k.,定理5 不相连的循环置换乘积的阶为阶的 最小公倍数.,,定理6,2018/9/14 00:32,作业：给出下列6元置换：,求（1）循环置换分解，（2）逆元，（3）阶,（4）,。