“完全非弹性碰撞”模型及其应用.doc

作 者 E - m a i l : T e l ：“完全非弹性碰撞”模型及其应用湖北省沙市中学刘军 434000在高中物理学习中， 面对浩如烟海的习题， 学生只有做好题后总结，把握某一类型问题的共同特征和遵循的共同规律， 才能做到事半功倍，以一挡十．在习题教学中，教师则不仅要引导学生善于从具体问题的分析中抽象出其所适用的一般模型和遵循的基本规律， 而且要引导学生善于结合具体问题的特殊条件， 灵活地运用模型和规律． 下面以“完全非弹性碰撞模型”为例，在分析不同情景问题时，联想模型，通过类比和等效的方法，从而抓住问题的物理本质，使问题迅速得到解决．一、 “完全非弹性碰撞”模型如图１，质量为 m1 、 m2 的两大小相同的球分别以速度 v1 、 v2 在光滑的水平面上沿一直线运动，其中 v2 > v1 ，两球碰撞后粘合在一起以速度 v 一起运动．系统碰撞前后动量守恒有：m1m2v2v1m1 v1 + m2v2 = ( m1 + m2 )v ．碰撞后系统动能损失：图１Ek1 m1v121 m2 v2 2- 1 ( m1 m2 )v2 ．222上面就是典型的“完全非弹性碰撞”模型，在一些力学综合问题中，有很多两物体间的相互作用过程就与上面两球的碰撞过程类似， 具有以下共同特点： ① 相互作用后两物体具有共同速度；②作用前后系统动量守恒（或在某一方向守恒）；③作用后系统有动能损失，损失的动能转化为其它形式的能．二、“类完全非弹性碰撞”实例分析1．物块未滑落木板例 1 如图２所示，质量为 M 的平板小车放在光滑水平面上，平板右端上放有质量为 m 的木块，它们之间的动摩擦因数为μ，现使平板小车和木块分别向右和向左运动，初速度大小均为 v0 ，设平板足够长，v0v0且 M >m，求木块相对平板右端滑行的距离。

图２解析：木块在小车上的运动分两阶段：首先，木块和小车都做匀减速运动，木块速度先减为零，木块速度减为零时，小车仍有向右速度；之后，木块开始向右做匀加速运动，小车继续向右做匀减速运动，木块相对小车仍在远离其右端，直至木块与小车速度相等后，二者一起向右匀速运动．设木块与小车的最终速度为 v ，以向右为正，由动量守恒定律有：Mv 0 mv0 ( M m)v ①设物块相对小车右端滑行距离为△ S，因木块相对小车无往复运动， 则由功能关系有：mg s21 Mv 021 ( M m) v2 ②1 mv0222联立①、②解得：s2Mv02 ．( m M ) g简评：此题中两物体间通过摩檫力发生相互作用， 最终两物体具有共同速度，系统损失的动能转化为系统内能．2．子弹未打穿木块例 2 质量为 M 的木块被固定在光滑水平面上，一颗质量为m 的子弹以初速 v0 水平飞来穿透木块后的速度变为 v0 ，现使木块不固定，可以在光滑水平面2上滑动，同样的子弹仍以初速 v0 水平飞来射中木块， 如果 M 3m ，那么子弹（）Ａ．能够穿透木块B．不能穿透木块，留在木块中共同运动Ｃ．刚好穿透木块，但留在木块边缘共同运动Ｄ．条件不足，无法判断解析：设木快长为 l，子弹对木块的平均打击力为f ，当木块固定时，对子弹，由动能定理有：1v0212flm()mv0，222解得： fl3mv02①8当木块不固定时， 假设子弹不能穿透木块，留在木块中共同运动，且设子弹进入木块的深度为 l ，对子弹和木块组成的系统，由动量守恒和能量守恒有：mv0( mM )vmM212解得：f l1 mv02 1 (m M )v2f l2( m M )v0mmv0222(1M)因 M3m，则易得 f l3 mv02 ，与①式比较可得：l l ．8说明假设成立， 既子弹不能穿透木块，留在木块中共同运动，故正确答案为Ｂ．简评：此题中子弹与木块间通过“撞击力”发生相互作用，因子弹未穿出木块，最终两物体具有共同速度，系统损失的动能转化为系统内能．３．物块压缩弹簧至最短时例 3 如图 3，Ａ、Ｂ两个物块用弹簧相连接，它们静止在光滑水平面上，Ａ和Ｂ的质量分别为 99m和 100m，一颗质量为 m 的子弹以速度 v0 水平射入木块Ａ内没有穿出，求在后来过程中弹簧的最大弹性势能为多大？解析：子弹打入木块Ａ的极短时间内，弹簧未发生形变（实际上是形变很小，忽略不计），设子弹和木块Ａ获得一共同速度 v ，由动量守恒定律有：mv0 = (m + 99m)v ①之后木块Ａ（含子弹）开始压缩弹簧推动 B 前进，当Ａ、Ｂ速度相等时弹簧压缩量最大，设此时弹簧的最大弹性势能为 E p ，Ａ、Ｂ共同速度为 v1 ，则对Ａ（含子弹）、Ｂ组成的系统，由动量守恒定律有：(m + 99m)v = (m + 99m + 100m)v1 ②由机械能守恒定律有1 ()2=1 ()2+ EP③2m + 99m v2m + 99m + 100m v11联立①②③式解得 EPmv02400简评：此题包含两个过程：一是子弹打入木块Ａ的“短暂作用过程”，在此过程中子弹与木块获得共同速度， 此过程与木块Ｂ无关， 此过程中动能损失转化为子弹与木块的内能； 、 二是木块Ａ（含子弹）压缩弹簧至最短的“持续作用过程”，压缩弹簧至最短时系统具有共同速度， 此过程中动能损失转化为弹性势能．４．两端拴有物体的细绳绷紧时例４ 在光滑水平面上，有一质量 m1 = 20 Kg 的小车，通过一根几乎不可伸长的轻绳与另一质量 m2 = 25Kg 的拖车相连接，一质量m3m3 = 15 Kg 的物体放在拖车的平板上，物体间动摩擦因数m2m1μ= 0.2，开始时，拖车静止，绳未被拉紧，如图４，小车以图４v0 = 3m / s 的速度前进，求：（1）当 m1 、 m2 、 m3 以同一速度前进时，其速度的大小；（2）物体在拖车平板上移动的距离（设平板足够长）．解析：对 m1 和 m2 组成的系统，绳绷紧的很短时间内， m1 和 m2 获得一共同速度 v1 ，由动量守恒定律有：m1v0 = (m1 + m2 )v1 ①设最终 m1 、 m2 、 m3 的共同速度为 v2 ，对 m1 、 m2 、 m3 组成的系统，由动量守恒定律有：(m1 + m2 )v1 = (m1 + m2 + m3 )v2 ②设 m3 在 m2 上滑动距离为△ S，由功能关系有：1212μm3 g s = 2 (m1 + m2 )v1- 2 (m1 + m2 + m3 )v2③联立①、②、③解得： v2 = 1m / s ， s = 0.33m ．简评：此题包含两个过程：一是绳被拉紧的“短暂作用过程”，在此过程中车与拖车获得一共同速度， 此过程与物块无关， 此过程中动能损失转化为内能； 、、二是物块在拖车上发生相对滑动直至两者达共同速度的“持续作用过程”，此过程中动能损失转化为内能．５．物块冲上圆弧形小车最高点时例５ 在光滑水平面上放有一质量为 M 带光滑弧形槽的小车，一质量为 m的小球以速度 v0 沿水平槽口滑上小车，如图５，求：（１）小球能滑至弧形槽内的最大高度．（设小球不会从小车右端滑出）（２）求小车的最大速度．（３）当小球从小车左端脱离后将做什么运动？v0解析：（１）当小球滑至弧形槽内的最大高度时，M设小球和小车具有共同速度 v ，对小球和小车组成的??系统，由水平方向动量守恒有：mv0 = (m + M )v ①图５设小球能滑至弧形槽内的最大高度为h ，由系统机械能守恒有：1mv02 =1( m + M ) v2 + mgh②22Mv02．由①②解得： h =2(m + M ) g（２）当小球滑至弧形槽内的最大高度后，又会从弧形槽内滑下，小球刚滑离小车时小车速度最大， 设此时小球速度为 v1 ，小车具有向右的速度为 v2 ，以向右为速度正方向，由水平方向动量守恒有：mv0 = mv1 + Mv 2 ③由系统机械能守恒有：1 mv02 = 1 mv12 + 1 Mv2 2④222由③④解得： v1 =m - Mv0 ， v22mv0 ．m + M=m + M（３）由上面解得v1 =m - Mv0 知：m + M当 m = M 时， v1 = 0，小球从小车左端脱离后做自由落体运动；当 m > M 时， v1 > 0，小球从小车左端脱离后向右做平抛运动；当 m < M 时， v1 < 0 ，即小球脱离小车时速度向左，则小球从小车上脱离后向左做平抛运动．简评：此题中两物体间通过弹力发生相互作用，系统只在水平方向动量守恒．当小球滑至弧形槽内的最大高度时两物体具有共同速度，此时类似 “完全非弹性碰撞”，系统损失的动能转化为小球增加的势能． 对小球从冲上小车又滑离小车的全过程，类似“弹性碰撞”，全过程系统机械能守恒．６．物块在挡板车上多次来回碰撞后一起运动例６ 如图６，在光滑水平面上有一质量为 M 带挡板的小车，车长为 L ，车中央有一质量为 m 的小物块， m 与 M 间动摩擦因数为．开始时M静止， m 以初速v0 水平向右运动，设物块Mmv0μ与小车上挡板每次碰撞时无机械能损失，求m 与 M 间能发生多少次碰撞．图６解析：设物块在挡板车上多次来回滑动和碰撞后，最终两者的共同速度为 v ，由动量守恒有：。