电动力学laplace equation拉氏方程完全解读.ppt

数学表述如下:,(在每个小区Vi),(在整个区域V 的边界面S上给定,按约定,边界面法线 指向V 外),或,惟一性定理指出,满足以上定解问题的电势解就是区域V 中静电场分布的惟一解.,复习,§2.3 拉普拉斯方程，分离变量法 Laplace's equation, method of separate variation,基本问题：电场由电势描述 电势满足泊松方程+边界条件,只有在界面形状是比轻简单的几何曲面时，这类问题的解才能以解析形式给出，而且视这体情况不同而有不同解法,本节和以下几节我们研究几种求解的解析方法,具体的工作：解泊松方程,在许多实际问题中，静电场是由带电导体决定的．,例如,电容器内部的电场是由作为电极的两个导体板上所带电荷决定的 电子光学系统的静电透镜内部，电场是由分布于电极上的自由电荷决定的,这些问题的特点：自由电荷只出现在一些导体的表面上，在空间中没有其他自由电荷分布．,选择导体表面作为区域V的边界，V内部自由电荷密度ρ＝0，泊松方程化为比较简单的拉普拉斯方程,它的通解可以用分离变量法求出拉氏方程在球坐标中、并若该问题中具有对称轴，取此轴为极轴，这种情形下通解为,因此剩下的问题归结为：怎样利用边界条件及边值关系确定常数，得到满足边界条件的特解。

利用边界条件定解说明两点： 第一，如果考虑问题中有i 个区域（均匀分布），必须有i个相应的Laplace's equation .,第二，在每个区域的交界面上，应该满足边值关系：,边界条件：,及导体的总电荷,3、举例说明定特解的方法 [例3 P68] 半径为R0的导体球置于均匀外电场E0中，求电势和导体上的电荷面密度[例1 P64]一个内径和外径分别为R2和R3的导体球壳，带电荷为Q 同心地包围着一个半径为R1的导体球（R1R2)，使半径R1的导体球接地，求空间各点的电势和这个导体球的感应电荷Solution: 第一步：分析题意，找出 定解条件 根据题意，具有球对称性， 电势不依赖于极角 ，只与半径r有关即,故定解条件为：,边界条件： (i)因为导体球接地，有,(ii)因整个导体球壳为等势体，有,(iii)球壳带电量为Q，根据Gauss theorem,第二步，根据定解条件确定通解和待定常数,不依赖于θ，取 , 故得到导体球壳内、外空间的电势：,从而得到,令,因此得到：,导体球上的感应电荷为,[例2 P66 ]介电常数为ε的均匀介质球，半径为R，被置于均匀外场 中，球外为真空。

求电势分布Solution: 第一步：根据题意， 找出定解条件由于这个问题具有轴对称性，取极轴z沿外电场 方向，介质球的存在使空间分为两个均匀区域—球内、球外两区域内都没有自由电荷因此电势 满足Laplace's equation以 代表球外区域的电势， 代表球内区域的电势，故,,第二步：根据定解条件确定通解和待定常数,由（2）式得,比较两边系数，得,由（6）式得,从中可见,故有：,再由 得:,比较 的系数，得,由此得到电势为,其中,由此可见，球内的场是一个与球外场平行的恒定场而且球内电场比原则外场 为弱，这是极化电荷造成的▲在球内总电场作用下，介质球的极化强度为,▲介质球的总电偶极矩为,第一步：分析题意，找出定解条件第二步：写出通解,分离变量法基本步骤：,第三步：根据定解条件确定待定常数,总结本节课的内容,作业：课本P93 习题2,。