一维势阱和势垒问题.doc

§15-4 一维势阱和势垒问题 上一节我们简要地阐述了量子力学的一些基本概念和基本原理，这些概念和原理都在一维无限深方势阱、势垒和一维谐振子等问题中以最简单的形式表现出来，所以本节和下一节的内容可以看作为量子力学概念和原理的具体应用同时，一维无限深方势阱是金属中自由电子的一个简化模型，是解释金属物理性质的基础；一维谐振子则是处理黑体辐射、晶格振动等多种物理问题的基础一、一维无限深方势阱所谓一维无限深方势阱，就是粒子在势阱中的势能为零，而在势阱外势能等于无限大，即(15-44) 这样，粒子就被限制在x=0和x= a两点之间的无限深的平底深谷中运动，如图 15-1 所示因为势能u(x)与时间无关，所以这是定态问题，可以用定态薛定谔方程求解在势阱内u(x) =0，哈密顿算符的形式成为，定态薛定谔方程可写作,(15-45)令, (15-46)图 15-1 方程(15-45)的解可以表示为, (15-47)式中a和是积分常数，应分别由归一化条件和边界条件确定粒子不可能穿越阱壁而到达阱外去，所以在阱壁和阱外波函数应为零根据，可以确定= 0或m，m =1,2,3,于是，式(15-47)可以写为. 根据，可以得到ka = n， n = 1,2,3,…(15-48)于是归一化波函数可以表示为(15-53) 由式(15-46)和式(15-48)可以得到(15-49)其中任意一个能量值en，都是能量的本征值，由式(15-49)所表示的整套能量本征值，就是系统的能谱。

显然，一维无限深方势阱的能谱是分立谱, 这个分立的能谱就是量子化了的能级粒子的最低能量状态称为基态，就是n = 1的状态，基态的能量为. (15-50)此本征值能量称为零点能，是束缚在无限深方势阱内的粒子所具有的最低能量既然量子系统具有零点能，就必定存在零点运动这一结果与经典物理学概念相矛盾，经典物理学的结论是当系统的温度达到绝对零度时，一切运动都将停止，能量变为零图 15-2 中画出了对应于能量本征值e1、e2、e3 和e4 的波函数1、2、3 和4，以及相应的概率密度、、和>>>>详细说明二、势垒穿透和隧道效应从上面对无限深方势阱的讨论我们已经看到，无限高的势垒把粒子完全束缚在阱区之内现在让我们看一下，有限高的势垒是否也能把粒子束缚住有一如图 15-3 所示的方形势垒，具有下面的形式当能量为e(

在s区，只可能存在沿x方向传播的透射波a3eikx ，所以势垒的透射系数可以表示为. (15-63)系数a1、b1、a2、b2和a3 可以根据归一化条件以及波函数及其导数在x = 0和x = a处连续的要求加以确定我们感兴趣的是，在粒子能量e

显然，隧道电流的大小与两极电子波函数交叠程度有关，而电子波函图 15-4数的交叠程度又与尖端到被测表面的距离十分敏感探针在被测表面上方的扫描可以采用两种方法，一种是控制隧道电流恒定，则探针在表面上方将起伏变化，另一种方法是控制针尖高度恒定，则隧道电流将发生大小变化无论探针起伏变化还是隧道电流大小的变化，都反映了材料表面的电子态的分布和原子的排布状况扫描隧道显微镜可以显示表面原子台阶和原子排布的表面三维图像，从而使人类第一次观测到物质表面的原子排布的阵列在表面物理、材料科学和生命科学等诸多领域中，扫描隧道显微镜都能提供十分有价值的信息。