高中数学 2.2.2向量减法运算及其几何意义课件 新人教A版必修4.ppt

2.2.2 向量减法运算及其几何意义 一、相反向量一、相反向量 定义定义与与a长度长度_____,_____,方向方向__________的向量的向量, ,叫做叫做a的相反向量的相反向量, ,记作记作:___.:___.规定规定: :零向量的相反向量是零向量的相反向量是______________结论结论-(--(-a)=__, )=__, a+(-+(-a)=(-)=(-a)+)+a=__=__若若a, ,b互为相反向量互为相反向量, ,则则a=___, =___, b=___, =___, a+ +b=__=__相等相等相反相反- -a零向量零向量a0- -b- -a0思考思考:(1):(1)相反向量相反向量就是方向相反的向量吗就是方向相反的向量吗? ?(2)(2)若若| |a|=||=|b|,|,则则a= =b或或a=-=-b吗吗? ?提示：提示：(1)(1)不是不是. .相反向量是方向相反且长度相等的向量相反向量是方向相反且长度相等的向量. .(2)(2)若若| |a|=||=|b|,|,则则a, ,b不一定共线不一定共线, ,有可能有可能a≠≠b且且a≠-≠-b. .二、向量的减法二、向量的减法 定义定义a- -b=_______,=_______,即减去一个向量相当于加上这个向量即减去一个向量相当于加上这个向量的的__________________作法作法在平面内任取一点在平面内任取一点O O，，作作则向量则向量a- -b=____=____，，如图所示如图所示 几何几何意义意义如果把两个向量如果把两个向量a, ,b的起点放在一起的起点放在一起, ,则则a- -b可以表示可以表示为从向量为从向量b的终点指向的终点指向________________________的向量的向量a+(-+(-b) )相反向量相反向量向量向量a的终点的终点判断：判断：( (正确正确的打的打““√√””，错误的打，错误的打““×”×”) )(1)(1)两个向量的差仍是一个向量两个向量的差仍是一个向量.( ).( )(2) ( )(2) ( )(3)(3)向量向量a－－b与与b－－a是相反向量是相反向量.( ).( )(4)|(4)|a+ +b| |＞＞| |a- -b|.( )|.( )提示：提示：(1)(1)正确正确. .两个向量的差仍是一个既有大小又有方向两个向量的差仍是一个既有大小又有方向的量，是向量的量，是向量. .(2)(2)正确正确. .根据向量减法的几何意义可知根据向量减法的几何意义可知 正确正确. .(3)(3)正确正确.(.(a－－b)+()+(b－－a)=)=0. .(4)(4)错误错误.|.|a+ +b| |与与| |a- -b| |的大小关系不确定的大小关系不确定. .答案：答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)(1)√ (2)√ (3)√ (4)××【知识点拨【知识点拨】】1.1.相反向量的意义相反向量的意义(1)(1)在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法在相反向量的基础上，可以通过向量加法定义向量减法. .(2)(2)为向量的为向量的““移项移项””提供依据提供依据. .利用利用(-(-a)+)+a= =0在向量等式的在向量等式的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的两端加上某个向量的相反向量，实现向量的““移项移项””. .例如由例如由a＋＋b＝＝c＋＋d可得可得a－－c＝＝d－－b. .2.2.剖析向量减法剖析向量减法(1)(1)向量减法的两种定义方法向量减法的两种定义方法①①将向量减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果将向量减法定义为向量加法的逆运算，也就是，如果b+ +x= =a, ,则则x叫做叫做a与与b的差，记作的差，记作a- -b. .②②在相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，即定在相反向量的基础上，通过向量加法定义向量减法，即定义义a- -b= =a+(-+(-b).).(2)(2)向量加法和减法几何意义的联系向量加法和减法几何意义的联系①①如图所示，平行四边形如图所示，平行四边形ABCDABCD中，中，若若 则则②②类比类比||||a|-||-|b||≤|||≤|a+ +b|≤||≤|a|+||+|b|.|.可知可知||||a|-||-|b||≤|||≤|a- -b|≤||≤|a|+||+|b|. |. 类型类型 一一 向量减法的几何意义及应用向量减法的几何意义及应用 【典型例题【典型例题】】1.1.在在△ABC△ABC中，中， 则则ABAB等于等于( )( )A.A.a+ +b B. B.－－a+(+(－－b) C.) C.a－－b D. D.b－－a2.2.如图所示，如图所示，O O为为△△ABCABC内一点，内一点，求作向量求作向量b+ +c－－a. . 【解题探究【解题探究】】1.1.向量向量 如何用向量如何用向量 与与 表示？向量表示？向量 与与 有什么关系？有什么关系？2.2.两个向量差的作图方法是什么？两个向量和的作图方法是两个向量差的作图方法是什么？两个向量和的作图方法是什么？什么？探究提示：探究提示：1.1.2.2.两个向量差的作图方法是根据向量减法的几何意义利用三两个向量差的作图方法是根据向量减法的几何意义利用三角形法则角形法则. .两个向量和的作图方法是三角形法则和平行四边形两个向量和的作图方法是三角形法则和平行四边形法则法则. .【解析【解析】】1.1.选选B.B.2.2.方法一：以方法一：以 为邻边作为邻边作▱ ▱OBDCOBDC，连接，连接ODOD，，ADAD，，则则方法二：作方法二：作 连接连接ADAD，，则则【互动探究【互动探究】】题题2 2中，求作向量中，求作向量a－－b－－c. .【解析【解析】】如图所示，如图所示，【拓展提升【拓展提升】】1.1.平移作两向量的差的步骤平移作两向量的差的步骤此步骤可以简记为此步骤可以简记为““作平移，共起点，两尾连，指被减作平移，共起点，两尾连，指被减””. .2.2.利用相反向量作两向量差的方法利用相反向量作两向量差的方法作向量作向量a－－b时，先作向量时，先作向量 再作再作则向量则向量类型类型 二二 向量式化简变形问题向量式化简变形问题 【典型例题【典型例题】】1.1.给出下列论述：给出下列论述：①①若若 则则 ②②若若 则则③③若若 则则④④若若 则则其中所有正确的序号为其中所有正确的序号为____________________________．．2.2.化简下列各式：化简下列各式：(1)(1)(2)(2)【解题探究【解题探究】】1.1.对于向量等式对于向量等式, ,““移项移项””法则是否成立？法则是否成立？2.2.有向线段表示向量进行加减混合运算时，为了应用向量加有向线段表示向量进行加减混合运算时，为了应用向量加法和减法的几何意义，应该用向量加法的交换律和结合律变法和减法的几何意义，应该用向量加法的交换律和结合律变形出哪些形式？形出哪些形式？探究提示：探究提示：1.1.对于向量等式对于向量等式, ,““移项移项””法则是成立的法则是成立的. .2.2.变形出以下两种形式：变形出以下两种形式：(1)(1)向量相加首尾相接的形式向量相加首尾相接的形式.(2).(2)向向量相减共起点的形式量相减共起点的形式. .【解析【解析】】1.①1.①正确正确. .若若 则则 即即②②正确正确. .若若 则则 即即③③正确正确. .由由 知其正确知其正确. .④④正确正确. .若若 则则 即即答案：答案：①②③④①②③④2.2.方法一：方法一：(1)(1)(2)(2)方法二：方法二：(1) (1) (2)(2)方法三：方法三：设设O O是平面内任一点，则是平面内任一点，则(1) (1) (2)(2)【拓展提升【拓展提升】】1.1.向量减法运算的常用方法向量减法运算的常用方法2.2.向量加减法化简的两种形式向量加减法化简的两种形式(1)(1)首尾相连且为和首尾相连且为和. .(2)(2)起点相同且为差起点相同且为差. .做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用. .3.3.向量式变形中应注意的问题向量式变形中应注意的问题(1)(1)利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项．利用相反向量的定义，向量在等式中可以移项．例如：例如：a＋＋b＝＝c⇔⇔a＝＝c－－b⇔⇔b＝＝c－－a. .(2)(2)用有向线段表示向量时，相反向量之间具有以下关系用有向线段表示向量时，相反向量之间具有以下关系. .【变式训练【变式训练】】化简：化简：(1)(1)(2)(2)【解析【解析】】(1) (1) (2)(2)类型类型 三三 用已知向量表示其他向量用已知向量表示其他向量 【典型例题【典型例题】】1.1.如图所示，已知如图所示，已知O O为平行四边形为平行四边形ABCDABCD内内的一点，的一点，则则 可以用可以用a，，b，，c表示为表示为________.________.2.2.在五边形在五边形ABCDEABCDE中，中，设设用用a, ,b, ,c, ,d表示表示【解题探究【解题探究】】1.1.根据题根据题1 1条件，可以得到哪些向量相等？是否条件，可以得到哪些向量相等？是否可以转化为关于可以转化为关于 的等式？的等式？2.2.题题2 2中，可以利用哪两种方法表示出向量中，可以利用哪两种方法表示出向量 由此可以思考由此可以思考如何用如何用a, ,b, ,c, ,d表示表示探究提示：探究提示：1. 1. 利用向量减法的几何意义，可以转化为利用向量减法的几何意义，可以转化为2. 2. 由此可得由此可得 进而进而““移项移项””用用a, ,b, ,c, ,d表示表示【解析【解析】】1.1.因为四边形因为四边形ABCDABCD是平行四边形是平行四边形, ,所以所以 所以所以所以所以答案：答案：a－－b＋＋c2.2.因为因为所以所以即即b＋＋d= =a+ +c+ +所以所以【拓展提升【拓展提升】】用已知向量表示其他向量要注意的问题用已知向量表示其他向量要注意的问题(1)(1)解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共解决此类问题应搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与线向量以及构成三角形三向量之间的关系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道被表示向量的转化渠道. .(2)(2)注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合注意综合应用向量加法、减法的几何意义以及加法的结合律、交换律来分析解决问题律、交换律来分析解决问题. .(3)(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则. .例如四边形例如四边形ABCDABCD中，中，【变式训练【变式训练】】如图所示，在五边形如图所示，在五边形ABCDEABCDE中，若四边形中，若四边形ACDEACDE是是平行四边形，且平行四边形，且 试用向量试用向量a，，b，，c表示表示向量向量 及及【解题指南【解题指南】】解答本题要注意解答本题要注意 及向量加法减法几何及向量加法减法几何意义的应用意义的应用. .【解析【解析】】因为四边形因为四边形ACDEACDE是平行四边形，是平行四边形，所以所以所以所以 用向量法证明平面几何问题用向量法证明平面几何问题【典型例题【典型例题】】1.1.已知已知P P为为△ABC△ABC所在平面内一点，当所在平面内一点，当 时，点时，点P P位位于于( )( )A.△ABCA.△ABC的的ABAB边上边上 B.△ABCB.△ABC的的BCBC边上边上 C.△ABCC.△ABC的内部的内部 D.△ABCD.△ABC的外部的外部2.2.试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形试用向量方法证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形. .【解析【解析】】1.1.选选D.D.由由 得得所以所以P P在过在过A A与与BCBC平行的直线上运动，平行的直线上运动，故故P P位于位于△ABC△ABC的外部的外部. .2.2.已知四边形已知四边形ABCDABCD，其中，其中ACAC与与BDBD相交于点相交于点O O，，且且AO=OCAO=OC，，DO=OBDO=OB，，求证：四边形求证：四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. .证明：由题意知证明：由题意知又由已知：又由已知：所以所以 即即ABAB与与DCDC平行且相等，平行且相等，所以四边形所以四边形ABCDABCD为平行四边形为平行四边形. .【拓展提升【拓展提升】】1 1．用向量法解决平面几何问题的步骤．用向量法解决平面几何问题的步骤(1)(1)将平面几何问题中的量抽象成向量将平面几何问题中的量抽象成向量. .(2)(2)化归为向量问题，进行向量运算化归为向量问题，进行向量运算. .(3)(3)将向量问题还原为平面几何问题将向量问题还原为平面几何问题. .2.2.用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键用向量法证明四边形为平行四边形的方法和解题关键(1)(1)利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边利用向量证明线段平行且相等从而证明四边形为平行四边形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可形，只需证明对应有向线段所表示的向量相等即可. .(2)(2)根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系根据图形灵活应用向量的运算法则，找到向量之间的关系是解决此类问题的关键是解决此类问题的关键. .【易错误区】【易错误区】向量减法的几何意义应用中的误区向量减法的几何意义应用中的误区【典例】【典例】(2013(2013··兰州高一检测兰州高一检测) ) 已知已知 D D，，E E，，F F分别是分别是△ABC△ABC的边的边ABAB，，BCBC，，CACA的中点，则的中点，则( )( )A. B.A. B.C. D.C. D.【解析】【解析】选选A.A.因为因为D D，，E E，，F F分别是分别是△ABC△ABC的边的边ABAB，，BCBC，，CACA的中点，的中点，所以所以所以所以 故故A A成立成立. . 故故B B不成立不成立. . 故故C C不成立不成立. . 故故D D不成立不成立. .【误区警示】【误区警示】【防范措施】【防范措施】1.1.重视向量知识与平面几何知识的结合重视向量知识与平面几何知识的结合利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向利用平面几何中线线平行、线段相等可以推出向量共线，向量相等等结论，为向量式的变形提供依据量相等等结论，为向量式的变形提供依据. .如本例中，利用线如本例中，利用线段中点及三角形中位线的性质可以推出段中点及三角形中位线的性质可以推出 等结论等结论. .2.2.记准向量减法的几何意义记准向量减法的几何意义根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平根据向量减法的几何意义作两个向量的差的基本步骤：作平移，共起点，两尾连，指被减移，共起点，两尾连，指被减. .本例中本例中一定要注意指向被减向量一定要注意指向被减向量. . 【类题试解】【类题试解】如图，在如图，在△ABC△ABC中，若中，若D D是边是边BCBC的中点，的中点，E E是边是边ABAB上一点，则上一点，则【解析】【解析】因为因为 所以所以答案：答案：01.1.设设b是是a的相反向量，则下列说法错误的是的相反向量，则下列说法错误的是( )( )A.A.a与与b的长度必相等的长度必相等 B.B.a∥∥b C.C.a与与b一定不相等一定不相等 D.D.a是是b的相反向量的相反向量【解析】【解析】选选C.C.若若 b是是a的相反向量，则的相反向量，则b与与a长度相等方向相反，长度相等方向相反，结合向量共线和向量相等的定义可知，结合向量共线和向量相等的定义可知，A A，，B B，，D D中说法正确，中说法正确，C C中说法错误中说法错误. .2.2.已知已知ABCDEFABCDEF是一个正六边形，是一个正六边形，O O是它的中心，是它的中心，其中其中 则则 ＝＝( )( )A.A.a+ +bB.B.b- -aC.C.c- -bD.D.b- -c【解析】【解析】选选D.D.3.3.化简以下各式：化简以下各式：结果为零向量的个数是结果为零向量的个数是( )( )A.1 B.2 C.3 D.0A.1 B.2 C.3 D.0【解析】【解析】选选C.C.4.4.化简：化简：(1) (1) (2)(2)【解析】【解析】(1)(1)(2)(2)答案：答案：(1)(1)0 (2) (2)5.5.如图，已知如图，已知a，，b, ,求作求作a－－b. .【解析】【解析】。