第4讲 溷凝土的徐变收缩理论.ppt

桥桥 梁梁 结结 构构 理理 论论任课教师：吴金荣任课教师：吴金荣安徽理工大学土木建筑学院安徽理工大学土木建筑学院混凝土的徐变收缩理论v徐变、收缩及其影响因素v徐变、收缩的数学模型v徐变效应分析v徐变、收缩微分方程v徐变、收缩代数方程v徐变收缩有限元、拟弹性逐步分析法 徐徐变变、、收收缩缩是是混混凝凝土土这这种种粘粘弹弹性性材材料料的的基基本本特特性性之之一一，，它它不不但但对对桥桥梁梁结结构构影影响响大大，，而而且且持持续续的的时时间间长长，，且且其其变变化化过过程程复复杂杂，不易把握不易把握1.徐变、收缩及其影响因素徐变、收缩及其影响因素 (1) 徐变与收缩徐变与收缩 徐徐变变——当当荷荷载载作作用用在在混混凝凝土土构构件件上上，，试试件件首首先先发发生生瞬瞬时时弹弹性性变变形形，，随随后后，，随随时时间间缓缓慢慢地地进进一一步步增增加加变变形形这这种种缓缓慢慢增增加的变形称为混凝土的徐变变形加的变形称为混凝土的徐变变形 收收缩缩——在在无无荷荷载载情情况况下下，，混混凝凝土土构构件件随随时时间间缓缓慢慢变变形形，，这种变形称为混凝土的收缩变形。

这种变形称为混凝土的收缩变形 在在实实际际混混凝凝土土结结构构中中，，徐徐变变、、收收缩缩与与温温度度应应变变是是混混杂杂在在一一起起的的从从实实测测的的应应变变中中，，应应扣扣除除温温度度应应变变和和收收缩缩应应变变，，才才能能得得到到徐徐变变应应变变在在分分析析计计算算中中温温度度应应力力与与温温度度应应变变往往往往单单独独考考虑虑徐变与收缩则可在一起考虑徐变与收缩则可在一起考虑根根据据1990年年CEB-FIP标标准准规规范范，，在在时时刻刻 承承受受单单轴轴向向、、不不变变应应力为力为 的混凝土构件，在时刻的混凝土构件，在时刻 的总应变的总应变 可分解为可分解为 加加载载时时初初始应变始应变在在 时时刻刻时的徐变应变时的徐变应变收缩应变收缩应变温度应变温度应变由应力产生的应变由应力产生的应变不由应力产生的应变不由应力产生的应变在不包括温度应变时，混凝土的应变可进一步分解为（下图）在不包括温度应变时，混凝土的应变可进一步分解为（下图） ——初始瞬时弹性应变初始瞬时弹性应变 ；； ————滞后弹性应变，属可恢复的徐变；滞后弹性应变，属可恢复的徐变； ————初始瞬时流塑应变，主要不可恢复；初始瞬时流塑应变，主要不可恢复； ————基本徐变应变，不可恢复；基本徐变应变，不可恢复； ————干燥徐变应变，部分可能恢复。

干燥徐变应变，部分可能恢复 混混凝凝土土的的徐徐变变，，通通常常采采用用徐徐变变系系数数 来来描描述述目目前前国国际际上上对对徐徐变变系系数数有有两两种种不不同同的的定定义义如如在在 时时刻刻开开始始作作用用于于混混凝凝土土的的单单轴轴向向常常应应力力 至至时时刻刻 所所产产生生的的徐徐变变应应变变为为 ，，第第一一种种徐徐变变系系数数采采用用混混凝凝土土在在28天天时时的的瞬瞬时时弹弹性性应应变变定定义义，，即即 采采用用这这种种定定义义的的是是CEB-FIP标标准准规规范范（（1990年年版版））及及英英国标准国标准BS5400第四部分（第四部分（1984年版）徐变系数的另一种定义可表示为徐变系数的另一种定义可表示为 这一定义是由美国这一定义是由美国ACI209委员会委员会报告所建议的（报告所建议的（1982年年版）在该建议中，混凝土的标准加载龄期版）在该建议中，混凝土的标准加载龄期 ，对于潮湿养，对于潮湿养护的混凝土为护的混凝土为7天，对于蒸汽养护的混凝土为天，对于蒸汽养护的混凝土为1～～3天。

天 从时刻从时刻 开始对混凝土作用单轴向单位应力，在时刻开始对混凝土作用单轴向单位应力，在时刻所所产产生生的的总总应应变变通通常常定定义义为为徐徐变变函函数数 对对于于上上述述两两种种徐徐变系数的定义方法，徐变函数可分别表示为变系数的定义方法，徐变函数可分别表示为 CEB-FIP AC1209  混混凝凝土土的的收收缩缩是是混混凝凝土土硬硬固固由由于于所所含含水水分分的的蒸蒸发发及及其其它它物物理理化化学学的的原原因因（（但但不不是是由由于于应应力力的的原原因因））产产生生的的体体积积的的缩缩小小与与收收缩缩相相反反的的是是混混凝凝土土凝凝固固因因含含水水量量的的增增加加也也导导致致的的体体积积的的增增加加混混凝凝土土的的收收缩缩应应变变，，一一般般表表达达为为 的的函函数数形形式式混混凝凝土土收收缩缩应应变变终终值值的的预预计计，，主主要要依依据据环环境境条条件件、、混混凝凝土土成成分分及及构构件件尺尺寸寸，，CFB-FIP建建议议、、ACI209委委员员会会建建议议及及BS5400规范都有相应计算方法。

规范都有相应计算方法 (2) 徐变、收缩对桥梁结构的影响徐变、收缩对桥梁结构的影响 混凝土的徐变、收缩对桥梁结构的影响表现在：混凝土的徐变、收缩对桥梁结构的影响表现在： （（a））在在钢钢筋筋砼砼、、预预应应力力砼砼等等配配筋筋构构件件中中，，随随时时间间而而变变化化的的混混凝凝土土徐徐变变、、收收缩缩受受到到内内部部配配筋筋约约束束将将导导致致内内力力的的重重分分布布预预应应力力损损失失实实际际上上也也是预应力是预应力砼砼构件内力重分布的一种构件内力重分布的一种 （（b b））预预制制的的砼砼梁梁或或钢钢梁梁与与就就地地灌灌筑筑的的混混凝凝土土板板组组成成的的结结合合梁梁，，将将由由于于预预制制部部件件与与现现场场浇浇筑筑部部件件之之间间不不同同的的徐徐变变、、收收缩缩值值而而导导致致内内力力的的重重分分布布同同样样，，梁梁体体的的各各组组成成部部分分具具有有不不同同的的徐徐变变、、收收缩缩特特性性者者亦亦将将由由于于变变形不同、相互制约而引起内力或应力的变化形不同、相互制约而引起内力或应力的变化 （（c c））分阶段施工的预应力混凝土超静定结构分阶段施工的预应力混凝土超静定结构，如连续梁、，如连续梁、刚架、斜拉桥、拱桥等，在施工过程中发生体系转换时，从前期刚架、斜拉桥、拱桥等，在施工过程中发生体系转换时，从前期结构继承下来的应力状态所产生的徐变受到后期结构的约束，从结构继承下来的应力状态所产生的徐变受到后期结构的约束，从而导致结构内力与支点反力的重分布。

而导致结构内力与支点反力的重分布 （（d d））外加强迫变形如支座沉降或支座标高调整外加强迫变形如支座沉降或支座标高调整所产生的约所产生的约束内力，也将在混凝土徐变的过程中发生变化，部分约束内力将束内力，也将在混凝土徐变的过程中发生变化，部分约束内力将逐渐释放逐渐释放 （（e e））徐变对细长混凝土压杆会产生的附加挠度徐变对细长混凝土压杆会产生的附加挠度 混混凝凝土土的的徐徐变变、、收收缩缩及及其其对对结结构构性性能能影影响响的的预预计计和和控控制制，，是是十十分分复复杂杂又又难难以以获获得得精精确确答答案案的的问问题题正正如如美美国国混混凝凝土土学学会会第第209委委员员会会1982年年的的报报告告所所指指出出的的那那样样，，几几乎乎所所有有影影响响徐徐变、收缩的因素，连同它们所产生的结果本身变、收缩的因素，连同它们所产生的结果本身 因因此此，，对对于于一一些些特特别别重重要要的的工工程程，，应应该该通通过过模模型型试试验验或或实实物物测测量量的的方方法法来来校校核核计计算算中中所所用用的的参参数数，，以以提提高高计计算算结结果果与实际接近的程度。

与实际接近的程度 (3) 影响徐变、收缩的因素影响徐变、收缩的因素 徐徐变变、、收收缩缩虽虽各各有有自自身身的的特特点点，，但但它它们们都都可可以以与与混混凝凝土土内内水水化化水水泥泥浆浆的的特特性性联联系系起起来来化化学学成成分分截截然然不不同同的的水水泥泥制制造造的的混混凝凝土土，，所所反反映映的的徐徐变变、、收收缩缩性性能能并并没没有有本本质质上上的的差差异异，，这这说说明明徐徐变变、、收收缩缩的的机机理理在在于于混混凝凝土土水水化化水水泥泥浆浆的的物物理理结结构构，，而而不不在于水泥的化学性质在于水泥的化学性质 关于混凝土收缩的原因及机理可归纳为：关于混凝土收缩的原因及机理可归纳为： （（a a））自发收缩自发收缩这是在没有水分转移下的收缩，其原因是这是在没有水分转移下的收缩，其原因是水泥水化物的体积小于参与水化反应的水泥和体积，因此是一水泥水化物的体积小于参与水化反应的水泥和体积，因此是一种水化反应所产生的固有收缩这种收缩的量值较小种水化反应所产生的固有收缩这种收缩的量值较小  （（b b））干燥收缩干燥收缩这是混凝土内部吸附水的消失而产生的收。

这是混凝土内部吸附水的消失而产生的收缩也是混凝土收缩应变的主要部分也是混凝土收缩应变的主要部分 （（c c））碳化收缩碳化收缩这是由混凝土中的水泥水化物与空气中的这是由混凝土中的水泥水化物与空气中的二氧化碳发生化学反应而产生碳化收缩是不久以前才发现的二氧化碳发生化学反应而产生碳化收缩是不久以前才发现的现象 关于混凝土徐变机理的各种理论和假设，关于混凝土徐变机理的各种理论和假设，迄今为止还没有迄今为止还没有一种能被广泛接受一种能被广泛接受美国混凝土学会美国混凝土学会209委员会在委员会在1972年的报年的报告中将徐变的主要机理分为告中将徐变的主要机理分为 （（a a））在应力和吸附水层的润滑作用下，水泥胶浆体的滑动在应力和吸附水层的润滑作用下，水泥胶浆体的滑动或剪切所产生的水泥石的粘稠变形或剪切所产生的水泥石的粘稠变形 （（b））在应力作用下，由于吸附水的渗流或层间水转移而导在应力作用下，由于吸附水的渗流或层间水转移而导致的紧缩致的紧缩 （（c c））在水泥胶凝体对骨架弹性变形的约束作用所引起的滞在水泥胶凝体对骨架弹性变形的约束作用所引起的滞后弹性变形。

后弹性变形 （（d））由于局部发生微裂及结晶破坏以及重新结晶与新的联结由于局部发生微裂及结晶破坏以及重新结晶与新的联结而产生的永久变形而产生的永久变形 在在下下图图中中，，影影响响混混凝凝土土收收缩缩因因素素是是与与荷荷载载条条件件无无关关的的部部分分，，但但对对混混凝凝土土徐徐变变与与收收缩缩均均有有影影响响的的因因素素，，其其作作用用不不尽尽相相同 对对于于混混凝凝土土徐徐变变，，另另一一项项重重要要的的影影响响因因素素就就是是荷荷载载条条件件在在徐徐变变试试验验中中施施加加于于构构件件的的应应力力一一般般取取低低于于混混凝凝土土强强度度45%左左右右的的单单轴轴向向压压应应力力大大量量试试验验结结果果表表明明，，当当压压应应力力小小于于混混凝凝土土强强度度的的50%时时，，徐徐变变应应变变可可以以被被认认为为与与所所施施加加应应力力具具有有线线性性关关系系超超过过这这一一应应力力，，将将导导致致非非线线性性关关系系这这种种现现象象被被认认为为是是由由于于骨骨料料与与凝凝固固水水泥泥浆浆交交界界面面上上出出现现的的微微裂裂所所致致当当应应力力小小于于混混凝凝土土强强度度的的50%时时，，拉拉力力徐徐变变与与所所施施应应力力呈呈线线性性关关系系，，拉拉力力徐徐变变初初始始速速度度较较大大但但降降速速快快，，最最终终徐徐变变可可能能小小于于压力徐变。

压力徐变混凝土徐变泊松比一般可视为与弹性泊松比相等混凝土徐变泊松比一般可视为与弹性泊松比相等 内部因素内部因素1 1骨料种类骨料种类2 2水泥品种水泥品种 3 3配合比配合比 4 4水灰比水灰比5 5外加剂外加剂 6 6构件外形尺寸构件外形尺寸7 7搅拌捣固搅拌捣固8 8养护时间养护时间 9 9养护湿度养护湿度 1010养护温度养护温度 材材料料性性质质构件几何性质构件几何性质制制造造养养护护构件构件性质性质与与荷荷载载有有关关( (无无关关) )的的随随时时间间的的应应变变 外部因素外部因素 1 环境湿度环境湿度2 2环境温度环境温度 3 3环境介质环境介质4 4加载加载( (或干燥或干燥) )开始龄期开始龄期 5 5荷载持续时间荷载持续时间 6 6荷载循环次数荷载循环次数 7 7卸荷时间卸荷时间 8 8应力大小应力大小 9 9应力分布应力分布1010加荷速度加荷速度 环境条件环境条件加载历史加载历史荷载性质荷载性质荷荷载载条条件件与与荷荷载载有有关关︵︵无无关关︶︶的的随随时时间间的的应应变变 影响徐变、收缩的因素2.徐变、收缩的数学模型 (1) 徐变、收缩数学表达式徐变、收缩数学表达式 （（a））徐变数学表达式徐变数学表达式 目前国际上徐变系数的数学表达式有多种，但是可以分为目前国际上徐变系数的数学表达式有多种，但是可以分为两类：两类： 一类一类将徐变系数表达为一系列系数的乘积将徐变系数表达为一系列系数的乘积，每一个系，每一个系数表示一个影响徐变值的重要因素；另一类则将数表示一个影响徐变值的重要因素；另一类则将徐变系数表达徐变系数表达为若干个性质互异的分项系数之和。

为若干个性质互异的分项系数之和 ①①H.Tost与与W.Rat在在1967年年提提出出徐徐变变系系数数 的的一一般般表达式可写成表达式可写成加载加载龄期龄期 ——常应力常应力 持续作用的时间；持续作用的时间； ——加载龄期的影响系数；加载龄期的影响系数； ——徐变随时间发展的函数徐变随时间发展的函数  ——徐变系数特征值，徐变系数特征值， ，其中，其中 分别为取决于环境、混凝土成分及稠度、构件尺分别为取决于环境、混凝土成分及稠度、构件尺寸寸 的系数上式又可写成上式又可写成加载龄期为加载龄期为 时徐变系数终值时徐变系数终值 在在上上式式中中，，连连乘乘系系数数的的多多少少视视考考虑虑因因素素的的多多少少而而定定，，每每一一种种系系数数可可以以从从现现成成的的图图表表中中查查得得，，或或按按一一定定的的公公式式计计算算。

目目前前，，采采用用这这种种表表达达式式的的有有英英国国规规范范BS5400（（1984年年版版第第四四部部分分）），，及美国及美国ACI209委员会的建议（委员会的建议（1982年版）②②CEB-FIP标准规范（标准规范（1978年版）采用下述的徐变系数表达式年版）采用下述的徐变系数表达式 ——加载后最初几天产生的不可恢复的变形系数；加载后最初几天产生的不可恢复的变形系数； ——可恢复的弹性变形系数，或徐弹系数；可恢复的弹性变形系数，或徐弹系数； ——不可恢复的流变系数，或徐塑系数；不可恢复的流变系数，或徐塑系数； ③③Z.P.Bazant提提出出了了由由基基本本徐徐变变和和干干燥燥徐徐变变组组成成的的徐徐变变表表达式，称为达式，称为BP模式，用徐变函数模式，用徐变函数 表示为总应变表示为总应变 —分别表示干燥龄期、加载龄期及计算徐变时的龄期；分别表示干燥龄期、加载龄期及计算徐变时的龄期； ——单位应力产生的初始弹性应变；单位应力产生的初始弹性应变；——单位应力产生的基本（无水分转移）徐变；单位应力产生的基本（无水分转移）徐变； ——干燥以后徐变的减小值。

干燥以后徐变的减小值式中：式中：式中：式中： ④④1990年年版版CEB-FIP标标准准规规范范的的徐徐变变系系数数表表达达式式有有很很大大变变动，形式上也类似于系数乘积动，形式上也类似于系数乘积式中：式中： ——名义徐变系数；名义徐变系数； ——环境相对湿度修正系数；环境相对湿度修正系数； ——混凝土强度修正系数混凝土强度修正系数 ；； ——加载龄期修正系数；加载龄期修正系数； ——徐变进程时间系数；徐变进程时间系数； 以以上上 、、 除除与与环环境境相相对对湿湿度度有有关关，，也也与与构构件件的的理理论论厚厚度度有有关关水水泥泥品品种种、、养养护护温温度度对对徐徐变变的的影影响响，，通通过过修修正正加加载龄期载龄期 予以考虑予以考虑 混凝土徐变混凝土徐变随加载龄期的增长而单调地衰减，又随着加载随加载龄期的增长而单调地衰减，又随着加载持续时间的增加而单调地增加持续时间的增加而单调地增加，但增加的速度随时间的增加而，但增加的速度随时间的增加而递减关于徐变系数是否存在极限的问题，递减。

关于徐变系数是否存在极限的问题， 学术界有着不同的意见学术界有着不同的意见认为极限存在者，一般用指数函认为极限存在者，一般用指数函数或双曲线函数作为表达式数或双曲线函数作为表达式, ,认为不存在极限者，则多采用幂函认为不存在极限者，则多采用幂函数或对数函数作为表达式数或对数函数作为表达式 ⑤⑤指指数数函函数数表表达达式式最最有有代代表表性性的的是是老老化化理理论论表表达达式式，，也也称称Dischinger法法，，假假定定不不同同加加载载龄龄期期的的徐徐变变系系数数——龄龄期期曲曲线线，，可能可能由通过原点的徐变系数由通过原点的徐变系数——龄期曲线的垂直平移而得龄期曲线的垂直平移而得，即，即按指数形式可表达为按指数形式可表达为徐变速率徐变速率 这这种种表表达达式式是是F.Dischinger在在1937年年首首先先应应用用于于复复杂杂结结构分析而被称为构分析而被称为Dischinger法 ⑥⑥ 双双曲曲线线幂幂函函数数系系数数表表达达式式是是D.E.Branson于于1964年年提提出的，也是美国出的，也是美国ACI209委员会所建议的形式委员会所建议的形式 、、 ——由由试试验验确确定定的的常常数数，，美美国国ACI209委委员员会会在在1982年报告中取年报告中取⑦⑦1975年年Z.P.Bazant提出了双幂函数来表示基本徐变提出了双幂函数来表示基本徐变式式中中 是是一一些些与与影影响响徐徐变变因因素素有有关关的的函函数数。

这这是是徐徐变变系系数最为复杂的时间函数，但其适合计算机编程运算数最为复杂的时间函数，但其适合计算机编程运算 （（b））收缩应变的数学表达式收缩应变的数学表达式 混混凝凝土土收收缩缩应应变变一一般般表表达达式式为为收收缩缩应应变变终终值值与与时时间间函函数数的的乘积，即乘积，即收缩应变发展的时间函数收缩应变发展的时间函数 收收缩缩应应变变的的终终值值取取决决于于环环境境的的相相对对湿湿度度、、混混凝凝土土成成分分和和构构件件理论厚度理论厚度等因素收缩应变时间函数的表达式有如下几种形式：等因素收缩应变时间函数的表达式有如下几种形式：①①美国美国ACI209委员会建议的双曲线函数表达式委员会建议的双曲线函数表达式与与混混凝凝土土的的养养护护条条件有关的参数件有关的参数 ②②1978年年Z.P.Bazant教教授授提提出出的的BP模模式式中中，，采采用用平平方方根根双双曲线函数形式表示收缩应变的时间函数曲线函数形式表示收缩应变的时间函数常常数数由由构构件件形形状状、、有有效效厚厚度度及及开开始始干干燥燥的的龄龄期期等因素而定等因素而定 ③③收收缩缩应应变变另另一一种种时时间间函函数数是是假假定定其其发发展展速速度度同同徐徐变变一一样样，，故通常取指数函数的形式，即故通常取指数函数的形式，即收缩的速率收缩的速率 （（c））混凝土弹性模量随时间的发展混凝土弹性模量随时间的发展 在在混混凝凝土土徐徐变变的的分分析析中中，，混混凝凝土土弹弹性性模模量量随随时时间间的的发发展展规规律是一个重要的参数，尤其在较精确的分析计算中。

律是一个重要的参数，尤其在较精确的分析计算中 ①①根根据据美美国国ACI209委委员员会会1982年年的的报报告告，，混混凝凝土土的的弹弹性性模量的时间函数表示为模量的时间函数表示为常数，根据养护条件常数，根据养护条件和水泥品种而定和水泥品种而定 ②②1990年年版版的的CEB-FIP标标准准规规范范给给出出的的混混凝凝土土的的割割线线模模量量的时间函数则为的时间函数则为与与水水泥泥品品种种有有关关的的系系数数和与龄期有关的函数和与龄期有关的函数 以上两种规范所给出的混凝土割线弹性模量函数的形式以上两种规范所给出的混凝土割线弹性模量函数的形式完完全不同全不同事实上，由于决定混凝土弹性模量的因素复杂，随着事实上，由于决定混凝土弹性模量的因素复杂，随着试验的深入，同一规范在不同时期也会有较大改变，如试验的深入，同一规范在不同时期也会有较大改变，如CEB-FIP1978年版的与其上式完全不同年版的与其上式完全不同 （（2）徐变、收缩应变、应力的关系）徐变、收缩应变、应力的关系 （（a））线性叠加原理线性叠加原理 如如前前所所述述，，在在工工作作应应力力下下，，混混凝凝土土的的弹弹性性应应变变和和徐徐变变应应变变都都与与应应力力呈呈线线性性关关系系。

因因此此，，只只要要总总应应力力不不超超过过混混凝凝土土强强度度的的50%左左右右，，分分批批施施加加应应力力所所产产生生的的应应变变可可以以采采用用叠叠加加原原理理至至于于卸卸载载或或减减载载后后的的徐徐变变恢恢复复是是否否可可叠叠加加和和如如何何叠叠加加的的问问题题是是值值得得进进一一步步探探讨讨的的1943年年D.McHenry提提出出了了徐徐变变可可逆逆性性理理论论，，他他将将卸卸载载考考虑虑为为施施加加负负荷荷载载，，其其所所产产生生的的徐徐变变与与同同一一时时刻刻施施加加的的正正荷荷载载所所产产生生的的徐徐变变相相等等，，但但方方向向相相反反混混凝凝土土试试件件的的试试验验都都说说明明叠叠加加原原理理对对基基本本徐徐变变符符合合得得很很好好，，但但是是对对于于包包括括干干燥燥徐徐变变的的总总徐徐变变来来说说，，由由叠叠加加原原理理所所得得出出的的徐徐变变恢恢复复一一般般大大于于实实际际恢恢复复因因此此，，应应用用叠叠加加原原理理对对递递减减荷荷载载将将会会产产生生少少量量偏偏差差叠加原理仍是设计工作中有价值的工具叠加原理仍是设计工作中有价值的工具 根根据据叠叠加加原原理理，，对对于于在在 时时刻刻施施加加初初应应力力 ，，又又在在不不同同的的时时刻刻 分分阶阶段段施施加加应应力力增增量量 的的混混凝凝土土，，其在以后任何时刻其在以后任何时刻 包括收缩应变在内的总应变可以表达为包括收缩应变在内的总应变可以表达为 对对后后加加应应力力为为连连续续变变化化的的应应力力，，则则可可写写出出描描述述叠叠加加原原理理的的积分表达式积分表达式进行分部积分，并假定进行分部积分，并假定收缩应变的发展进程与徐变相似收缩应变的发展进程与徐变相似，即，即 则则 （（b））应力、应变关系的微分方程表达式应力、应变关系的微分方程表达式 将将不不同同的的徐徐变变系系数数表表达达式式代代入入上上式式可可推推导导出出应应力力、、应应变变关关系系的的微微分分方方程程表表达达式式。

如如对对于于Dischinger法法，，应应力力、、应应变变的的微微分方程为分方程为 但是，有些徐变系数表达式不能得出常微分方程，故不能但是，有些徐变系数表达式不能得出常微分方程，故不能利用微分方程求解，正因为如此，利用微分方程求解，正因为如此，Dischinger法在国内外广泛法在国内外广泛被采用，直到被采用，直到20世纪世纪60年代后期才逐渐为年代后期才逐渐为Trost-Bazant法所法所取代取代  （（c））应力、应变关系的代数方程表达式应力、应变关系的代数方程表达式 1967年年H.Trǒst教教授授在在他他的的论论文文中中，，从从混混凝凝土土应应力力—应应变变的的线线性性关关系系和和叠叠加加原原理理出出发发，，引引入入了了老老化化系系数数（（松松弛弛系系数数））的的概概念念，，并并假假定定混混凝凝土土弹弹性性模模量量为为常常数数，，推推导导出出在在不不变变荷荷载载下下，，由由徐徐变变、、收收缩缩导导致致的的应应变变增增量量与与应应力力增增量量之之间间关关系系的的代代数数方方程程表达式为表达式为从上式又可推导出从应变变化求应力变化的公式，即从上式又可推导出从应变变化求应力变化的公式，即 ——老老化化系系数数（（当当初初H.T.rost称称其其松松弛弛系系数数，，1972年年Z.P.Bazant改称老化系数）改称老化系数）表示加载龄期对徐变表示加载龄期对徐变系数终值的影响系数系数终值的影响系数 1972年年Z.P.Bazant将将定义为按龄期调整的有效模量。

定义为按龄期调整的有效模量 老老化化系系数数可可根根据据所所采采用用的的徐徐变变系系数数表表达达式式进进行行推推算算如如采采用用Dischinger法的表达式，则老化系数可以表示为法的表达式，则老化系数可以表示为松弛函数松弛函数松弛系数松弛系数松弛系数定义为从龄期松弛系数定义为从龄期 至至 的应力降低值对初应力之比的应力降低值对初应力之比 在实际结构中，应力和应变往往是随时间同时变化，交错在实际结构中，应力和应变往往是随时间同时变化，交错影响的在影响的在静定结构中，应变或变形的增减并不导致应力的变静定结构中，应变或变形的增减并不导致应力的变化，但是应力的变化往往导致应变的变化化，但是应力的变化往往导致应变的变化在超静定结构中，在超静定结构中，不仅应力的变化将导致应变的变化，而且应变的变化也会导致不仅应力的变化将导致应变的变化，而且应变的变化也会导致应力的变化工程中一些重要的问题如：应力的变化工程中一些重要的问题如：①①已知支座的不均匀已知支座的不均匀沉陷量，求支座反力与内力的变化问题；沉陷量，求支座反力与内力的变化问题；②②结合梁的内力重分结合梁的内力重分布布问题。

问题d））徐变与松弛徐变与松弛从龄期从龄期 开始施加常应变开始施加常应变 至龄期至龄期 时的应力时的应力可表达为可表达为 ③③分分阶阶段段施施工工的的超超静静定定结结构构在在体体系系转转换换后后的的内内力力重重分分布布问题等都属于问题等都属于松弛问题松弛问题 松松弛弛试试验验较较为为困困难难，，资资料料很很少少但但是是徐徐变变和和松松弛弛具具有有内内在在的的联联系系，，往往往往需需要要从从已已知知的的徐徐变变函函数数来来推推求求松松弛弛函函数数Z.P.Bazant从从徐徐变变函函数数与与松松弛弛函函数数的的基基本本概概念念出出发发，，推推导导出出从松弛函数到老化系数的计算公式：从松弛函数到老化系数的计算公式：将老化理论的徐变系数将老化理论的徐变系数把上式代入上式有把上式代入上式有 时刻总应力时刻总应力3.徐变效应分析徐变效应分析 （（1）） 老化理论分析老化理论分析 （（a））徐变微应变与微应力关系徐变微应变与微应力关系 若若弹弹性性模模量量取取为为常常数数，，并并不不计计弹弹性性应应变变和和收收缩缩影影响响，，则则应力、应变关系方程表达式为应力、应变关系方程表达式为（（b））徐变微应变与内力的关系徐变微应变与内力的关系 设设 、、 为为 时实际结构的初始弯矩和轴力，时实际结构的初始弯矩和轴力，它可以是静定的、超静定的、或者部分静定另一部分超静定结它可以是静定的、超静定的、或者部分静定另一部分超静定结构的内力，视具体情况而定。

在构的内力，视具体情况而定在 后结构成为超静定，后结构成为超静定， 为徐变引起超静定结构的赘余力（为徐变引起超静定结构的赘余力（ ），）， 为超为超静次数，静次数， 和和 为为 =1作用于基本结构产生的弯矩和轴作用于基本结构产生的弯矩和轴力，于是赘余力产生的任意截面的弯矩和轴力为力，于是赘余力产生的任意截面的弯矩和轴力为由它产生的徐变应力由它产生的徐变应力 轴轴力力和和徐徐变变应应力力以以受受拉拉为为正正，，弯弯矩矩适适用用于于右右手手规规则则，，以以指向指向 轴正向为正，如下图所示轴正向为正，如下图所示结构初始内力产生的应力结构初始内力产生的应力消去消去Mct，，Nct并微分有并微分有写成写成应力应变式有应力应变式有式中式中重心轴的曲率重心轴的曲率 截面重心处截面重心处的轴向应变的轴向应变（（c））变形协调及内力求解变形协调及内力求解设切口设切口 方向的变形为方向的变形为 ，利用虚力原理得，利用虚力原理得将将 和和 表达式代入上式有表达式代入上式有 应应当当注注意意，，结结构构不不同同位位置置的的徐徐变变系系数数是是不不同同的的，，如如果果最最年年轻轻混混凝凝土土的的徐徐变变系系数数为为 ，，那那么么，，由由老老化化理理论论知知，，其其他他龄龄期期混凝土的徐变系数可表示成混凝土的徐变系数可表示成则有则有根据变形协调条件，应当有根据变形协调条件，应当有写成矩阵形式为写成矩阵形式为 上上式式是是老老化化理理论论求求解解超超静静定定结结构构徐徐变变二二次次内内力力的的基基本本微微分分方方程组程组，当混凝土龄期相同时，即，当混凝土龄期相同时，即 ，于是有，于是有令令 于是于是由此解得由此解得即即 （（d））讨论讨论 如如果果用用 、、 表表示示后后期期结结构构的的弯弯矩矩和和轴轴力力，，即即一一次次落落架架的的内力，内力， 、、 为为 时刻的结构内力，则有时刻的结构内力，则有由于由于有有得得类似可以推得类似可以推得表明，当结构初始内力是一次落架的内力时，即表明，当结构初始内力是一次落架的内力时，即 那那么么这这两两式式右右边边的的第第二二项项等等于于零零，，亦亦就就是是徐徐变变的的二二次次内内力力等等于于零零；；另另外外，，也也表表明明，， 、、 的的差差值值越越大大，，徐徐变变二二次次力力亦亦越越大大，，结结构构内内力力变变化化亦亦越越大大，，这这些些性性质质对对了解结构的徐变效应是十分重要的。

了解结构的徐变效应是十分重要的2） T-B分析法 在在应应力力、、应应变变关关系系的的代代数数方方程程式式中中舍舍去去弹弹性性应应变变及及收收缩缩影影响，则有响，则有仿效上节老化理论分析过程，有仿效上节老化理论分析过程，有利用虚力原理可以求出切口方向的变形为利用虚力原理可以求出切口方向的变形为根据切口处的变形协调条件有根据切口处的变形协调条件有写成矩阵形式写成矩阵形式 上上式式是是T-B法法求求解解超超静静定定结结构构徐徐变变赘赘余余力力的的基基本本方方程程，，它它是代数方程组，很容易求解是代数方程组，很容易求解当结构混凝土龄期相同，且初始内力为一次落架时，则有当结构混凝土龄期相同，且初始内力为一次落架时，则有即即徐变不引起此种超静定结构内力重分布徐变不引起此种超静定结构内力重分布（（2）） 参数参数（（a））从前期继承下来在赘余力方向的初内力从前期继承下来在赘余力方向的初内力（（b））结构体系转换时刻为结构体系转换时刻为 （（c））体系转换后时刻体系转换后时刻 产生于赘余力方向的次内力为产生于赘余力方向的次内力为 （（ ）。

3）） 相容方程相容方程 在在体体系系转转换换后后的的任任何何时时刻刻 的的 时时间间内内，，第第 个个赘赘余余力力方方向的变位增量分别为：向的变位增量分别为：（（a））由次内力增量由次内力增量 产生的变位增量：产生的变位增量：（（b））由徐变增量产生的变位增量：由徐变增量产生的变位增量： 4.徐变、收缩微分方程徐变、收缩微分方程 （（1）） 基本假定基本假定 （（a））桥梁结构的所有构件具有相同的徐变和收缩特性桥梁结构的所有构件具有相同的徐变和收缩特性 （（b））体体系系转转换换之之前前结结构构继继承承下下来来的的荷荷载载为为 ，，内内力力为为 ，，体体系转换之后结构具有系转换之后结构具有 次超静定次超静定 （（c））由荷载及初内力由荷载及初内力 产生的变位增量：产生的变位增量： （（d））由混凝土收缩变化产生的变位增量：由混凝土收缩变化产生的变位增量：则变位相容条件为则变位相容条件为式式中中：： —— 所所产产生生于于基基本本静静定定结结构构第第 个个赘赘余余力力方方向向的变位；的变位； ——由荷载由荷载 及初内力及初内力 产生于基本静定结构第产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位；个赘余力方向的变位； ——时间时间 混凝土的徐变系数。

混凝土的徐变系数 体体系系转转换换后后经经 的的时时间间 内内，，混混凝凝土土收收缩缩产生于基本静定结构第产生于基本静定结构第 个赘余力方向的变位个赘余力方向的变位（（4）） 求解方法求解方法 若收缩速度与徐变相似，则若收缩速度与徐变相似，则则变位相容条件式可化为则变位相容条件式可化为式式中中：： ——荷荷载载 产产生生于于基基本本静静定定结结构构第第 个个赘赘余余力力方方向向的的变位；变位； ——在在 混混凝凝土土收收缩缩产产生生于于基基本本静静定定结结构构第第 个个赘余力方向的变位赘余力方向的变位 ；； ——在在 混凝土的徐变系数，即徐变系数终极混凝土的徐变系数，即徐变系数终极值值  另另一一方方面面，，若若以以同同样样的的外外荷荷载载和和与与收收缩缩应应变变终终极极值值瞬瞬时时施施加加于于经经体体系系转转换换的的后后期期结结构构中中，，令令第第 个个赘赘余余力力方方向向的的弹弹性性次次内力为内力为 ，则有相应方程，则有相应方程比较式得到比较式得到解微分方程，并根据初始条件：解微分方程，并根据初始条件：故故式式中中：： ——第第 个个赘赘余余力力方方向向因因徐徐变变与与收收缩缩而而产产生生的的内内力变化；力变化； ——先期结构在第先期结构在第 个赘余力方向的截面内力；个赘余力方向的截面内力； ——先先期期结结构构荷荷载载加加上上与与收收缩缩应应变变终终极极值值时时的的瞬瞬时荷载，按后期结构计算得到的第时荷载，按后期结构计算得到的第 个赘余力方向的截面内力。

个赘余力方向的截面内力 可可以以看看到到，，在在推推导导过过程程中中，，忽忽略略了了实实际际存存在在的的构构件件施施工工节节段段之之间间徐徐变变特特性性的的差差异异，，而而经经过过体体系系转转换换后后超超静静定定结结构构几几乎乎毫毫无无例例外外地地存存在在着着这这种种差差异异，，这这是是该该式式的的缺缺点点但但是是该该式式使使我我们们能能够够直直接接估估计计体体系系转转换换后后的的徐徐变变影影响响，，看看到到实实际际的的内内力力线线总总是是在在前前期期结结构构的的内内力力线线和和后后期期结结构构的的内内力力线线之之间间变变动动，，变变动动的的辐辐度与徐变大小有关度与徐变大小有关5.徐变、收缩代数方程 （（1）） 基本假定基本假定 （（a））桥梁结构各构件的徐变、收缩特性相同桥梁结构各构件的徐变、收缩特性相同 （（b））后期结构为后期结构为 次超静定结构次超静定结构 （（2）） 相容方程相容方程 体体系系转转换换时时刻刻为为 ，，转转换换后后任任一一时时刻刻 ，，因因徐徐变变、、收收缩缩产产生生于第于第 个赘余力方向的相容变位有：个赘余力方向的相容变位有： （（a））由截面徐变次内力由截面徐变次内力 产生的变位：产生的变位： （（b））由荷载及前期结构继承下来的初内力产生的变位：由荷载及前期结构继承下来的初内力产生的变位： （（c））由收缩增量产生的变位由收缩增量产生的变位则变位相容条件为则变位相容条件为式式中中：： ——由由荷荷载载及及前前期期结结构构继继承承下下来来的的初初内内力力产产生生于于基基本本静静定结构第定结构第 个赘余力方向的变位；个赘余力方向的变位； ——从从时时刻刻 至至时时刻刻 的的时时间间内内，，产产生生于于第第 个个赘赘余余力方向的截面徐变次内力；力方向的截面徐变次内力； ——当当 时时产产生生于于基基本本静静定定结结构构第第 个个赘赘余余力力方向的变位；方向的变位； ——从从 到到 时时间间内内的的收收缩缩增增量量产产生生的的基基本本静静定定结结构构第第 个赘余力方向的变位个赘余力方向的变位有有整理有整理有若认为若认为微分方程微分方程式与式与代数方程代数方程式的求解结果相同，则式的求解结果相同，则此即为前述的老化系数此即为前述的老化系数（（3）） 求解方法求解方法 假定收缩发展的速度与徐变相同，则假定收缩发展的速度与徐变相同，则式式中中：： 、、 ——第第 个个赘赘余余力力在在 段段作作用用引引起起的的第第 个个赘余力方向的变位；赘余力方向的变位； ——荷荷载载及及前前期期结结构构内内力力对对 段段作作用用引引起起的的第第 个赘余力方向的变位；个赘余力方向的变位； （（4）） 考虑不同徐变、收缩特性考虑不同徐变、收缩特性 如如结结构构各各节节段段混混凝凝土土具具有有不不同同的的徐徐变变、、收收缩缩特特性性，，则则 、、 、、 等等均均应应按按徐徐变变特特性性分分段段计计算算。

例例如如，，以以徐徐变变系系数数为为 者者为为 段，徐变系数为段，徐变系数为 者为者为 段等等，这有段等等，这有式式中中：： 、、 —— 至至 时时间间内内由由徐徐变变与收缩引起的应变增量和应力增量；与收缩引起的应变增量和应力增量；—— 时刻的应力增量；时刻的应力增量； —— 至至 时间内发生的收缩应变增量；时间内发生的收缩应变增量； —— 时刻的弹性模量时刻的弹性模量6.徐变收缩有限元、拟弹性逐步分析法 用用Dischinger法法、、Trost—Bazant法法或或其其它它方方法法，，都都可可以以表表示示徐徐变变、、收收缩缩产产生生的的应应力力增增量量与与应应变变增增量量之之间间的的关关系系以以下下将将仅仅考考虑虑Trost—Bazant法法设设 为为计计算算时时刻刻，，用用较较精精确确的的形形式式将将应力与应变增量的关系表达为应力与应变增量的关系表达为式式中中：： 、、 —— 至至 时时间间内内由由徐徐变变与与收收缩引起的曲率增量和弯矩增量；缩引起的曲率增量和弯矩增量； —— 时刻的弯矩增量；时刻的弯矩增量； —— 至至 时间内收缩引起的曲率增量；时间内收缩引起的曲率增量； ——混凝土截面的抗弯惯性矩。

混凝土截面的抗弯惯性矩注意到注意到 上上式式考考虑虑了了混混凝凝土土弹弹性性模模量量随随时时间间的的变变化化，，还还考考虑虑了了初初应应力力和和初初应应变变形形成成的的历历史史同同理理，，可可写写出出截截面面曲曲率率增增量量与与弯弯矩矩增增量量的的关系并设并设 代代入入应应力力与与应应变变增增量量的的关关系系式式，，若若以以 为为通通过过形形心点的应力增量，则轴力增量可表示为心点的应力增量，则轴力增量可表示为混凝土截面面积混凝土截面面积 同同样样将将 、、 代代入入截截面面曲曲率率增增量量与与弯弯矩矩增增量量式，表示为弯矩增量形式，即式，表示为弯矩增量形式，即 由以上公式可知，如用按龄期调整得由以上公式可知，如用按龄期调整得有效模量有效模量代代替替混混凝凝土土的的弹弹性性模模量量 ，，则则在在第第 个个时时间间内内，，因因徐徐变变、、收收缩缩产产生生的的应应力力或或内内力力增增量量与与应应变变增增量量之之间间具具有有线线性性关关系系，，因因而可用解弹性结构的方法来求解混凝土结而可用解弹性结构的方法来求解混凝土结的徐变和收缩问题。

的徐变和收缩问题 在采用刚度法时，只需将刚度矩阵中的在采用刚度法时，只需将刚度矩阵中的 用用 代替代替即可 根根据据有有限限单单元元法法形形成成荷荷载载矩矩阵阵的的原原理理，，如如对对结结构构中中任任一一平平面面梁梁单单元元施施加加约约束束，，使使在在第第 个个时时间间内内节节点点变变位位增增量量保保持持为为0，，则则可可得得节节点点约约束束（（或或锁锁定定））产产生生的的轴轴向向力力增增量量与与节节点点弯弯矩矩增量分别为增量分别为 由上两式并考虑到单元两端由上两式并考虑到单元两端 及及 的的区区别别，，按按单单元元规规定定的的坐坐标标系系即即可可形形成成单单元元徐徐变变、、收缩荷载矩阵收缩荷载矩阵 在在对对混混凝凝土土桥桥梁梁的的徐徐变变与与收收缩缩进进行行有有限限单单元元分分析析时时，，可可将将从从施施工工开开始始到到竣竣工工直直至至收收缩缩、、徐徐变变完完成成的的过过程程划划分分为为若若干干计计算算阶阶段段，，每每个个计计算算阶阶段段再再划划分分为为数数个个适适当当的的时时间间间间隔隔；；每每个个计计算算阶阶段段已已建建结结构构划划分分成成若若干干个个单单元元，，使使每每个个单单元元的的混混凝凝土土具具有有均均一一的的徐徐变变、、收收缩缩特特性性。

在在静静定定结结构构阶阶段段，，徐徐变变、、收收缩缩只只发发生生变变形形增增量量不不产产生生内内力力增增量量，，亦亦即即徐徐变变次次内内力力为为零零，，这这时时仍仍可可用用有有限限单元进行分析，但老化系数取为单元进行分析，但老化系数取为1.0 若若将将混混凝凝土土徐徐变变系系数数、、收收缩缩应应变变模模拟拟成成以以 为为底底的的多多项项指指数数系系数数表表达达式式，，上上列列两两式式可可通通过过递递代代方方式式计计算算前前期期内内力力对对徐徐变变的的影影响响，，则则在在采采用用有有限限元元分分析析计计算算时时，，计计算算机机的的内内存存消消耗耗将将大大大减少，计算速度加快这方面的内容可参考有关文献大减少，计算速度加快这方面的内容可参考有关文献。