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1第一讲 几 何 光 学§1.1 几何光学基础1、光的直线传播：光在同一均匀介质中沿直线传播2、光的独立传播：几束光在交错时互不妨碍，仍按原来各自的方向传播3、光的反射定律：①反射光线在入射光线和法线所决定平面内；②反射光线和入射光线分居法线两侧；③反射角等于入射角4、光的折射定律：①折射光线在入射光线和法线所决定平面内；②折射光线和入射光线分居法线两侧；③入射角 1i与折射角 2i满足 21sinin；④当光由光密介质向光疏介质中传播，且入射角大于临界角 C 时，将发生全面反射现象（折射率为 1 的光密介质对折射率为 2n的光疏介质的临界角 12sinC） §1.2 光的反射1.2.1、组合平面镜成像：1.组合平面镜 由两个以上的平面镜组成的光学系统叫做组合平面镜，射向组合平面镜的光线往往要在平面镜之间发生多次反射，因而会出现生成复像的现象先看一种较简单的现象，两面互相垂直的平面镜（交于 OABSS1S2 S3O图 1-2-12点）镜间放一点光源 S（图 1-2-1） ， S 发出的光线经过两个平面镜反射后形成了 1S、 2、 3三个虚像用几何的方法不难证明：这三个虚像都位于以O 为圆心、 OS 为半径的圆上，而且 S 和 1、 S 和 2、 1和 3S、 2和 3之间都以平面镜（或它们的延长线）保持着对称关系。

用这个方法我们可以容易地确定较复杂的情况中复像的个数和位置两面平面镜 AO 和 BO 成 60º 角放置（图1-2-2） ，用上述规律，很容易确定像的位置：①以 O 为圆心、 OS 为半径作圆；②过 S 做 AO和 BO 的垂线与圆交于 1S和 2； ③过 1和2S作 BO 和 AO 的垂线与圆交于 3和 4；④过3和 4作 AO 和 BO 的垂线与圆交于 5S， 51~便是 S 在两平面镜中的 5 个像双镜面反射如图 1-2-3，两镜面间夹角a=15º,OA=10cm， A 点发出的垂直于 2L的光线射向1L后在两镜间反复反射，直到光线平行于某一镜面射出，则从 A 点开始到最后一次反射点，光线所走的路程是多少？如图 1-2-4 所示，光线经 1L第一次反射的反射线为 BC，根据平面反射的对称性, BC，且∠ aCBO上述 DCBA,均在同一直线上，因此光线在 1L、 2之间的反复反射就跟光线沿A直线传播等效设 N是光线第 n 次反射的αL1L2AOCBC¹O¹D图 1-2-4 图 1-2-3 αL1L2AOSS1S2S3S4S5O图 1-2-23入射点，且该次反射线不再射到另一个镜面上，则 n 值应满足的关系是 na<90ºan)1(， 690。

取 n=5，∠ 075OAN，总路程cmOAtgN3.752、全反射全反射光从密度媒质 1 射向光疏媒质 2，当入射角大于临界角21sina时，光线发生全反射全反射现象有重要的实用意义，如现代通讯的重要组成部分——光导纤维，就是利用光的全反射现象图 1-2-5 是光导纤维的示意图AB 为其端面，纤维内芯材料的折射率 3.1n，外层材料的折射率 2.1n，试问入射角在什么范围内才能确保光在光导纤维内传播？图 1-2-5 中的 r 表示光第一次折射的折射角，β 表示光第二次的入射角，只要 β 大于临界角，光在内外两种材料的界面上发生全反射，光即可一直保持在纤维内芯里传播 21sin0112 4.673.ii ooor6.24.7902/sin/r只要 o0,5.i即可例 1、如图 1-2-6 所示， AB 表示一平直的平面镜， 2P是水平放置的米尺（有刻度的一面朝着平面镜） ， MN 是屏，三者相互平行，屏 MN 上的iγ βABn1n2图 1-2-5P1 P2M Na bA BS图 1-2-6 4ab 表示一条竖直的缝（即 ab 之间是透光的） 某人眼睛紧贴米尺上的小孔S（其位置如图所示） ，可通过平面镜看到米尺的一部分刻度。

试在本题图上用三角板作图求出可看到的部位，并在 21P上把这部分涂以标志分析: 本题考查平面镜成像规律及成像作图人眼通过小孔看见的是米尺刻度的像由反射定律可知，米尺刻度必须经过平面镜反射后，反射光线进入人的眼睛，人才会看到米尺刻度的像可以通过两种方法来解这个问题解法一：相对于平面镜 AB 作出人眼 S 的像 连接 Sa 并延长交平面镜于点 C，连接 S与点 C 并延长交米尺 21P于点 E，点 E 就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接 b并延长交米尺 于点 F，且 bS与平面镜交于 D，连接 S 与点 D，则点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端E 与 F 之间的米尺刻度就是人眼可看到部分，如图 1-2-7 所示解法二：根据平面镜成像的对称性，作米尺 21P及屏 MN 的像，分别是 21及 NM， a、 b 的像分别为 ba,，如图 1-2-8 所示连接 Sa 交 AB 于点 C，延长并交21P于点 E，过点 作)(AB的垂线，交于点 E，此点就是人眼看到的米尺刻度的最左端；连接bS交 AB 于点 D，延长并交 21P于点 F，过点 作 21P（ AB）的垂线 21P交于点 F，点 F 就是人眼看到的米尺刻度的最右端。

EF 部分就是人眼通过平面镜可看见的米尺部分点评：平面镜成像的特点是物与像具有对称性在涉及到平面镜的问题中，ABCDEMN2PSS1Pab图 1-2-7ABCDEFMN2PS1ab2P1P图 1-2-85利用这一特点常能使问题得以简洁明晰的解决例 2、两个平面镜之间的夹角为45º、60º、120º而物体总是放在平面镜的角等分线上试分别求出像的个数分析：由第一面镜生成的像，构成第二面镜的物，这个物由第二面镜所成的像，又成为第一面镜的物，如此反复下去以至无穷在特定条件下经过有限次循环，两镜所成像重合，像的数目不再增多，就有确定的像的个数解：设两平面镜 A 和 B 的夹角为 2θ ，物 P 处在他们的角等分线上，如图1-2-9（a）所示以两镜交线经过的 O 点为圆心， OP 为半径作一辅助圆，所有像点都在此圆周上由平面镜 A 成的像用 31,表示，由平面镜 B 成的像用42,P表示由图不难得出： 31在圆弧上的角位置为 42,)(k在圆弧上的角位置为其中 k 的取值为 k=1，2，… ABOPP1P2120º（d）ABO θP1P2P3P4（a）P5ABOP1P2P3P460º（b）P4ABO 45ºP1P2P3P5P6P7（c）图 1-2-96若经过 k 次反射， A 成的像与 B 成的像重合，则 )12()12(k即 k当 452o时，k=4，有 7 个像，如图1-2-9（a）所示；当 3602o时，k=3，有 5 个像，如图1-2-9（b）所示；当 3210o时，k=1.5，不是整数，从图 1-2-10（d）可直接看出，物 P 经镜 A 成的像在镜 B 面上，经镜 B 成的像则在镜 A 面上，所以有两个像。

例 3、要在一张照片上同时拍摄物体正面和几个不同侧面的像，可以在物体的后面放两个直立的大平面镜 AO 和 BO，使物体和它对两个平面镜所成的像都摄入照像机，如图 1-2-11 所示图中带箭头的圆圈 P 代表一个人的头部（其尺寸远小于 OC 的长度） ，白色半圆代表人的脸部，此人正面对着照相机的镜头；有斜线的半圆代表脑后的头发；箭头表示头顶上的帽子，图 1-2-11 为俯视图，若两平面镜的夹角∠AOB=72º，设人头的中心恰好位于角平分线 OC 上，且照相机到人的距离远大于到平面镜的距离1、试在图 1-2-11 中标出 P 的所有像的方位示意图2、在方框中画出照片上得到的所有的像（分别用空白和斜线表示脸和头发，图 1-2-13ABP O图 1-2-12ABCPO图 1-2-10AOCP图 1-2-117用箭头表示头顶上的帽子） 本题只要求画出示意图，但须力求准确解: 本题的答案如图 1-2-13 所示例 4、五角楼是光学仪器中常用的一种元件，如图 1-2-14 所示棱镜用玻璃制成， BC、 CD 两平面高度抛光， AB、 DE 两平面高度抛光后镀银试证明：经BC 面入射的光线，不管其方向如何，只要它能经历两次反射（在 AB与 DE 面上） ，与之相应的由 CD 面出射的光线，必与入射光线垂直。

解: 如图 1-2-15 所示，以 i 表示入射角,i表示反射角， r 表示折射角，次序则以下标注明光线自透明表面的 a 点入射，在棱镜内反射两次，由 CD 面的 e 点出射可以看得出，在 DE 面的 b 点；入射角为 ori5.21反射角为 .在四边形 bEAC 中， 112 5.67.290rriaoooo 而 ).(33610ao= 15.7ro于是， 135.290rio在△ cdb 中∠cdb=180º )()(32ii=180ºCAEBD112.5º112.5º112.5º90º图 1-2-14 i1ABC DE112.5º112.5º112.5º90ºγ 1i2i2i3i345ºi4γ 4F图 1-2-15 8011 9)5.2().(2rroo这就证明了：进入棱镜内的第一条光线 ab 总是与第三条光线 ce 互相垂直由于棱镜的 C 角是直角， 1r=360º-270º-∠dec=90º-∠dec= 1i设棱镜的折射率为 n，根据折射定律有 11siir44sinir4,r总是成立的，而与棱镜折射率的大小及入射角 1i的大小无关。

只要光路符合上面的要求，由 BC 面的法线与 CD 面的法线垂直，又有,41ri出射光线总是与入射光线垂直，或者说，光线经过这种棱镜，有恒点的偏转角——90º例 6、横截面为矩形的玻璃棒被弯成如图 1-2-16 所示的形状，一束平行光垂直地射入平表面 A 上试确定通过表面 A 进入的光全部从表面 B 射出的 R/d 的最小值已知玻璃的折射为1.5分析: 如图 1-2-17 所示，从 A 外侧入射的光线在外侧圆界面上的入射角较从 A 内侧入射的光线入射角要大，最内侧的入射光在外侧圆界面上的入射角α 最小如果最内侧光在界面上恰好发生全反射，并且反射光线又刚好与内侧圆相切，则其余的光都能保证不仅在外侧圆界面上，而且在后续过程中都能够发生全反射，并且不与内侧圆相交因此，抓住最内侧光线进行分析，使其满足相应条件即可解: 当最内侧光的入射角 α 大于或等于反射临界角时，入射光线可全部从 B 表面射出而没有光线从其他地方透出BRd图 1-2-16ABORd图 1-2-179即要求 na1si而 dRi所以 n1即 d故 215.minR点评 对全反射问题，掌握全反射产生的条件是基础，而具体分析临界条件即“边界光线”的表现是解决此类问题的关键。

例 7． 普通光纤是一种可传输光的圆柱形细丝，由具有圆形截面的纤芯 A和包层 B 组成， B 的折射率小于 A 的折射率，光纤的端面与圆柱体的轴垂直，由一端面射入的光在很长的光纤中传播时，在纤芯 A 和包层 B 的分界面上发生多次全反射现在利用普通光纤测量流体 F 的折射率实验方法如下：让光纤的一端（出射端）浸在流体 F 中令与光纤轴平行的单色平行光束经凸透镜折射后会聚在光纤入射端面的中心 O经端面折射进入光纤，在光纤中传播由于 O 点出发的光束为圆锥形，已知其边缘光线和轴的夹角为 0a，如图 1-2-18所示最后光从另一端面出射进入流体 。