2014高考数学必考热点大调查：热点16三角函数的性质和解三角形问题【学生版】.pdf

Go the distance 【最新考纲解读】 1.借助图象理解正弦函数、余弦函数在 [0,2π]，正切函数在  － π2， π2 上的性质 (如单调性、最大和最小值、图象与 x 轴交点等 )． 2.结合具体实例，了解 y＝ Asin(ωx＋ φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出 y＝ Asin(ωx＋ φ)的图象，观察参数 A， ω， φ对函数图象变化的影响． 3.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型． 4．正弦定理和余弦定理掌握正弦 定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题． 5．应用能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何计算有关的实际问题． 【回归课本整合】 1 三角函数的定义域 : (1) 正弦函数sin ( )y x x R、余弦函数cos ( )y x x R的 定义域都是 R； (2) 正切函数tanyx定义域{ | , }2x x k k Z   . 2 三角函数的值域： （ 1）正弦、余弦函数值域 都是 1,1. 对sin，当 x 2 2k k Z 时，y取最大值 1；当 x 32 2k k Z时，y取最小值－ 1； 对cos，当 x 2k k Z 时，y取最大值 1，当 x  2k k Z时，y取最小值－ 1. （ 2） 正切函数 值域是 R，在上面定义域上无最大值也无最小值 . 3.三角函数的单调区间： [来源 :Zxxk.Com] （ 1）sin 在  , 222k k Z  上单调递增，在 32 , 2k k k Z  单调递减； （ 2）cos在  2 , 2k k k Z  上单调递减，在  2 , 2 2k k k Z     上单调递增； （ 3） tanyx在开区间 ,22k k k Z   内都是增函数 .注意 在整个定义域上不具有单调性 . 4.sin( )y A x型单调区间的确定 （ A、 ＞ 0） 的单调性，把x看作一个整体，放在正弦函数的 Go the distance 递增区间内解出 x，为12222,kk       上增函数； 放在 正弦函数的递减区间内解出x为3,       上减函数（ Zk） 对与c os( ) ta n( )y A x y A x      、的单调区间的求解和上述类似 . 5.三角函数的周期性 （ 1） 正弦函数sinyx、余弦函数cos的最小正周期都是 2；正切函数tanyx的最小正周期是 ，它与直线ya的两个相邻交点之间的距离是一个周期 . （ 2）函数图象在其对称轴处取得最大值或最小值，且相邻的最大值与最小值间的距离为其函数的半个周期；函数图象与 x 轴的交点是其对称中心，相邻两对称中心间的距离也是其函数的半个周期；函数取最值的点与相邻的与 x 轴的交点间的距离为其函数的14个周期 . 6．( ) si n( )f x A x型周期 f和( ) c os( )f x A x的最小正周期都是 T2||； ( ) ta n( )f x A x最小正周期 T. 7.三 角函数的对称性 （ 1）正弦函数sin ( )y x x R是奇函数，对称中心是  ,0k k Z ，对称轴是直线 2x k k Z  ； （ 2）余弦函数cos ( )y x x R是偶函数，对称中心是 ,0k k Z，对称轴是直线  x k k Z. 注意 :正 (余 )弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x轴的直线，对称中心为图 象与 x轴的交点 . （ 3）正切函数tanyx是奇函数，对称中心是,02k kZ. 注意： 正 (余 )切型函数的对称中心有两类：一类是图象与 x轴的交点，另一类是渐近线与 x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处 . 8.求角问题 （ 1）内角和定理：三角形三角和为 .任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余 . （ 2） 正弦定理： si n si n si na b cA B C  2R(R 为三角形外接圆的半径 ). 正弦定理的变式： si n si n si nA B C  abc, siA2aR,si B2bR,sinC2cR； （ 3） 余弦定理： cosA2 2 22b c abc， cosB2 2 22a c bac， cos2 2 22b a cba； Go the distance （ 4）利用面积公式： sinC2Sab， sinB2Sac， sinA2Sbc. 9.求边问题 （ 1） 边与边关系： a + b > c， b + c > a， c + a > b， a－ b b； （ 2） 正弦定理的变式 : 2 sinRA, 2 sinRB, 2 sinRC； （ 3） 余弦定理 :a 22 2 cosc bc A.变形式： si n si n si nabcA B C si sinabABsinaA； （ 4）利用面积公式： a2aShab、 SC; （ 5） 射影定理： cos cosb C c B. 10.求三角形的面积问题 三角形的 面积公式： （ 1）S＝21aha＝ bhb＝12 cch（ ha、 hb、 hc 分别表示 a、 b、 c 上的高）； （ 2） ＝sinab＝sinbc A＝1 sin2ac B； （ 3 ）S＝1 ()2r a b c（ 其 中 r为 三 角 形 内 切 圆 半径） ,2 ,Sr abc  内 切 圆r 直 角 内 切 圆2b c斜 边； （ 4）221 ( | | | |) ( )2O A BS O A O B O A O B   .(与向量的数量积联系 )[来源 :学科网 ][来源 :Z.xx.k.Com] 11.求三角形的综合问题 （ 1） 求解三角形中的问题时，一定要注意 A B C   这个特殊性： , si n( )A B C A B   sinC,sin 2 cos2C； cos( )ABcosC, ABsin2C； tan( )tan,tan 2 cot； ta n ta n ta nA B C  n ta n ta nB C. （ 2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化 ,达到角的统一或边的统一 . （ 3）在△ ABC 中，熟记并会证明： ∠ A，∠ B，∠ C 成等差数列的充分必要条件是∠ B=60°；△ ABC 是正三角形的充分必要条件是∠ A、∠ B、∠ C 成等差数列且 a b c、 、成等比数列 . （ 4）锐角三角形 三内角都是锐角 三内角的余弦值为正值 任两角和都是钝角 任意两边的平方和大于第三边的平方； 钝角角三角形 三内角一个为钝角 一个角的余弦值为负值 两锐角的 和 仍为锐角两个锐角对应的两边的平方和小于第三 边的平方 . （ 5）三角形内常见的不等关系 ① a b A B   sin sin; ②锐角 ABC中 , 2, sinAcosB,cosAsin; ③钝角 中，设 C为钝角，则 2AB, AcosB,cosAsin. 12.三角函数的最值 Go the distance 求三角函数的最值，主要利用正、余弦函数的有界性，一般通过三角变换化为下列基本类型处理： （ 1）siny a x b，设 sintx化为一次函数y at b在闭区间[ 1,1]t上的最值求之； (2)si n c osa x b x c  ，引入辅助角2 2 2 2( c os , si n )aba b a b  ，化为22 si n( )y a b x c   求解方法同类型 (1)； (3)2si n si na x b x c ，设 sin，化为二次函数2y at bt c  在[ 1,1]t上的最值求之； (4)si n c os ( si n c os )y a x x b x x c   ，设 sin cost x x化为二次函数2( 1)2at bt c  在闭区间[ 2, ]t上的最值求之； (5)ta n coty a x b x，设 tan化为2at by t用 法求值；当 0ab时，还可用平均值定理求最值； (6)sinsina x bc x d根据正弦函数的有界性，可转换为|si | 1x解决； (7)sincosbxax的最值，可转化为讨论点( , )Aab与动点(cos ,sin )P x连线的斜率，而动点P在单位圆上运动，利用几何方法易得所求三角函数的最值 . 【方法技巧提炼】 1．如何判断函数()fx的奇偶性 根据三角函数的奇偶性，利用诱导公式可推得函数fx的奇偶性，常见的结论如下： (1)若sin( )y A x为偶 函数，则有()2k k Z  ;若为奇函数则有()k k Z； (2) 若cos( )x为 偶 函 数 ， 则 有k k Z; 若 为 奇 函 数 则 有 2k k Z  ； (3)若ta n( )y A x为奇函数则有k k Z. 2.如何确定函数si n( ) ( 0)y A x A  当 0时函数的单调性 对于函数sin( )y A x求其单调区间，要特别注意 的正负，若为负值，需要利用诱导公式把负号提出来，转化为si n( )y A x   的形式，然后求其单调递增区间，应把x放在正弦函数的递减区间之内；若求其递减区间，应把x放在正弦函数的递增区间之内 . 3.求三角函数的周期的方法 （ 1）定义法： 使得当 x 取定义域内的每一个值时，都有 f (x+T)=f (x).利用定义我们可采用取值 Go the distance 进行验证的思路，非常适合选择题； （ 2）公式法：( ) si n( )f x A x和( ) c os( )f x A x的最小正周期都是2||T ，( ) ta )f x A的周期为T .要特别注意两个公式不要弄混； (3)图象法：可以画出函数的图象，利用图象的重复的特征进行确定，一般适应于不易直接判断，但是能够容易画出函数草图的函数； (4)绝对值或平方对三角函数周期性的影响： 一般说来，某一周期函数解析式加绝对值或平方，其周期性是：弦减半、切不变．既为周期函数又是偶函数的函数自变量加绝对值，其周期性不变，其它不定 . 如xyxy sin,sin 2 的周期都是 。