12第十五章普哇松分布.ppt

第一节第一节概述概述普哇松分布普哇松分布(Poisson distribution) PoissonPoisson分分分分布布布布为为为为二二二二项项项项分分分分布布布布的的的的特特特特例例例例例例例例如如如如，，，，某某某某些些些些现现现现象象象象的的的的发发发发生生生生率率率率π π甚甚甚甚小小小小，，，，而而而而样样样样本本本本含含含含量量量量n n趋趋趋趋向向向向于于于于无无无无穷穷穷穷大大大大时时时时，，，，则则则则二二二二项项项项分分分分布布布布逼逼逼逼近近近近于于于于PoissonPoisson分分分分布布布布PoissonPoisson分分分分布布布布多多多多专专专专用用用用于于于于研研研研究究究究单单单单位位位位容容容容积积积积（（（（或或或或面面面面积积积积、、、、时时时时间间间间等等等等））））内内内内某某某某事事事事件件件件的的的的发发发发生生生生数数数数，，，，即即即即分分分分母母母母（（（（n n））））甚甚甚甚大大大大时时时时，，，，罕罕罕罕见见见见事事事事件件件件的的的的发发发发生生生生数数数数例例例例如如如如，，，，单单单单位位位位体体体体积积积积水水水水样样样样中中中中大大大大肠肠肠肠杆杆杆杆菌菌菌菌数数数数、、、、单单单单位位位位空空空空间间间间中中中中某某某某些些些些野野野野生生生生动动动动物物物物或或或或昆昆昆昆虫虫虫虫数数数数的的的的分分分分布布布布、、、、单单单单位位位位时时时时间间间间内内内内放放放放射射射射性性性性物物物物质质质质放放放放射射射射出出出出的的的的质质质质点点点点数数数数的的的的分分分分布布布布、、、、单单单单位位位位人人人人群群群群中中中中某某某某些些些些患患患患病病病病率率率率很很很很低低低低的的的的非非非非传传传传染染染染性性性性疾疾疾疾病病病病患患患患病病病病数数数数或或或或死亡数等。

死亡数等死亡数等死亡数等 单单单单位位位位容容容容积积积积（（（（或或或或面面面面积积积积、、、、时时时时间间间间等等等等））））内内内内某某某某事事事事件件件件发发发发生生生生数为数为数为数为x x的概率为：的概率为：的概率为：的概率为： P P( (x x)=()=(e e- -μ μμ μx x)/ )/x x! ! ( (x x=0,1,2,=0,1,2,……,n……,n……,n……,n) )PoissonPoisson分布的概率密度函数分布的概率密度函数 试验的次数试验的次数n n很大时很大时, ,在每一观察单位在每一观察单位内出现成功次数内出现成功次数X X( (X X=0,1,2,...,)=0,1,2,...,)的概率的概率： 式中式中: :e e是是自然对数的底，自然对数的底，e e≈2.71828≈2.71828；； 是大于是大于0 0的常数，称为的常数，称为PoissonPoisson分布的参分布的参数Poisson分布的递推公式分布的递推公式 由由二二项项分分布布的的计计算算公公式式可可以以发发现现，，当当 很很大大时时，，二二项项分分布布概概 率率的的计计算算相相当当复复杂杂。

利利用用二二项项分分布布 的的 Poisson Poisson 近近似似这这一一性性质质，，当当 很很大大，，且且 很很小小时时，，可可以以利利用用PoissonPoisson分分布布的的概概率率计计算算近近似似地替代二项分布的概率计算地替代二项分布的概率计算二项分布的二项分布的PoissonPoisson近似近似 Poisson分布的特征分布的特征1 1、、、、PoissonPoisson分布的分布的分布的分布的方差等于均数方差等于均数方差等于均数方差等于均数，即，即，即，即σ σ2 2＝＝＝＝μ μ；；；；2 2、、、、PoissonPoisson分分分分布布布布的的的的可可可可加加加加性性性性以以以以较较较较小小小小的的的的度度度度量量量量单单单单位位位位观观观观察察察察某某某某一一一一现现现现象象象象的的的的发发发发生生生生数数数数时时时时如如如如果果果果它它它它呈呈呈呈PoissonPoisson分分分分布布布布，，，，那那那那么么么么把把把把若若若若干干干干个个个个小小小小单单单单位位位位合合合合并并并并为为为为一一一一个个个个大大大大单单单单位位位位后后后后，，，，其其其其 计计计计 数数数数 亦亦亦亦 呈呈呈呈 PoissonPoisson分分分分 布布布布 。

设设设设x x1 1，， x x2 2，，…………, ,x xn n为为为为n n个个个个相相相相互互互互独独独独立立立立的的的的从从从从均均均均数数数数分分分分为为为为μ μ1 1，，，， μ μ2 2，，，，……,……,……,……,μ μn n的的的的PoissonPoisson分分分分布布布布总总总总体体体体中中中中随随随随机机机机抽抽抽抽取取取取的的的的样样样样本本本本 计计计计 数数数数 ，，，，T=xT=x1 1+x+x2 2+ +……+……+x xn n服服服服 从从从从 均均均均 数数数数 为为为为μ μ1 1+ +μ μ2 2+ +…… …… + +μ μn n的的的的 PoissonPoisson分分分分 布布布布 因因因因 此此此此PoissonPoisson分分分分布布布布资资资资料料料料可可可可利利利利用用用用可可可可加加加加性性性性原原原原理理理理，，，，使使使使μ μ≥20≥20，，，，用正态近似法处理；用正态近似法处理；用正态近似法处理；用正态近似法处理；3 3、、、、PoissonPoisson分布属分布属分布属分布属离散型分布离散型分布离散型分布离散型分布。

Poisson分布的可加性分布的可加性 如果如果如果如果X X X X1 1 1 1, , , , X X X X2 2 2 2 , …, , …, , …, , …, X X X Xk k k k相互独立，且它们分相互独立，且它们分相互独立，且它们分相互独立，且它们分别服从以别服从以别服从以别服从以 为参数的为参数的为参数的为参数的 PoissonPoissonPoissonPoisson分布，则分布，则分布，则分布，则T T T T= = = =X X X X1 1 1 1+ + + +X X X X2 2 2 2+…+ +…+ +…+ +…+ X X X Xk k k k也服从也服从也服从也服从PoissonPoissonPoissonPoisson分布，分布，分布，分布，其参数为其参数为其参数为其参数为 。

举例举例举例举例: : : : 设某放射性物质平均每分钟放射设某放射性物质平均每分钟放射设某放射性物质平均每分钟放射设某放射性物质平均每分钟放射计数为计数为计数为计数为 5 5 5 5现考虑测现考虑测现考虑测现考虑测3 3 3 3个个个个1 1 1 1分钟的放射计数，分分钟的放射计数，分分钟的放射计数，分分钟的放射计数，分别记为别记为别记为别记为X X X X1 1 1 1, , , , X X X X2 2 2 2, , , , X X X X3 3 3 3则则则则 X X X Xi i i i～～～～P P P P(5)(5)(5)(5)，，，，i i i i=1,2,3=1,2,3=1,2,3=1,2,3。

据据据据PoissonPoissonPoissonPoisson分布的可加性可得分布的可加性可得分布的可加性可得分布的可加性可得X X X X1 1 1 1+ + + +X X X X2 2 2 2+ + + +X X X X3 3 3 3～～～～P P P P(15)(15)(15)(15) 第二节第二节二项分布的要求二项分布的要求满足满足PoissonPoisson分布分布的三个条件的三个条件 1 1、平稳性、平稳性: : X X的取值与观察单位的位置无的取值与观察单位的位置无关，只与观察单位的大小有关关，只与观察单位的大小有关2 2、、独立增量性独立增量性( (无后效性无后效性) ): : 在某个观察在某个观察单位上单位上X X的取值与前面各观察单位上的取值与前面各观察单位上X X的的取值独立（无关）取值独立（无关）3 3、、普通性普通性: : 在充分小的观察单位上在充分小的观察单位上X X的取的取值最多为值最多为1 1 第三节第三节 Poisson分布的分布的形态形态Poisson分布的图形分布的图形 在在PoissonPoisson分布中，已知分布中，已知µ，即可，即可计算出随机变量计算出随机变量x x=0,1,2,……,=0,1,2,……,n n时的时的p p( (x x) )值，值，以以x x为横坐标，为横坐标，p p( (x x) )为纵坐标为纵坐标，，在直角坐标纸上作图，可以绘制出在直角坐标纸上作图，可以绘制出PoissonPoisson分布分布的图形。

可见，由于的图形可见，由于p p( (x x) )是根据是根据µ计算出来的，故计算出来的，故PoissonPoisson分布分布的形状取决于的形状取决于µ的大小的大小，，µ值愈小，分值愈小，分布愈偏随着布愈偏随着µ的增大，分布趋于对称，的增大，分布趋于对称，当当µ=20=20时，分布接近正态分布时，分布接近正态分布µ=50=50时，可以认为时，可以认为PoissonPoisson分布呈正态分布分布呈正态分布第四节第四节 Poisson分布分布在医学在医学上的应用上的应用Poisson分布的应用分布的应用一一、、Poisson分布总体均数分布总体均数μμ（总体（总体计数）的计数）的可信区间可信区间；；二二、、Poisson分布分布样本均数与总体均样本均数与总体均数数（样本计数与总体计数）的比较；（样本计数与总体计数）的比较；三三、、Poisson分布分布两个样本均数两个样本均数（两（两个样本计数）的比较；个样本计数）的比较；四、四、Poisson分布分布多个样本均数多个样本均数（多（多个样本计数）的比较；个样本计数）的比较；五、五、Poisson分布对分布对聚集性聚集性的研究 一、一、Poisson分布总体均数分布总体均数μμ（总体计数）的可信区间（总体计数）的可信区间1 1、、查表法查表法查表法查表法 ⑴⑴、、、、适用条件适用条件适用条件适用条件：样本均数（样本计数）：样本均数（样本计数）：样本均数（样本计数）：样本均数（样本计数）x x≤50≤50；； ⑵⑵、、、、方法方法方法方法：以样本计数：以样本计数：以样本计数：以样本计数x x查表查表查表查表“ “普哇松分布用上下普哇松分布用上下普哇松分布用上下普哇松分布用上下可信区间可信区间可信区间可信区间” ”，，可得总体均数可得总体均数可得总体均数可得总体均数μμμμ的的的的95%95%或或或或99%99%可信可信可信可信区间。

区间2 2、、正态近似法正态近似法正态近似法正态近似法 ⑴⑴、、、、适用条件适用条件适用条件适用条件：样本均数（样本计数）：样本均数（样本计数）：样本均数（样本计数）：样本均数（样本计数）x x>50>50 ⑵⑵、、、、方法方法方法方法：：：： 总体均数总体均数总体均数总体均数μμμμ95%95%可信区间可信区间可信区间可信区间: : x x±1.96√±1.96√x x 总体均数总体均数总体均数总体均数μμμμ99%99%可信区间可信区间可信区间可信区间: : x x±2.58√±2.58√x x 1 1．查表法．查表法 PoissonPoisson分分布布总总体体均均数数的的可可信信区区间间可可以以根根据据PoissonPoisson分分布布的的理理论论计计算算而而得得，，但但计计算算较较复复杂杂，，为为方方便便使使用用，，统统计计学学家家编编制制了了据据样样本本计计数数X X查查PoissonPoisson分分布布总总体体均均数数 的的95%95%和和99%99%可可信信区区间间的的表表格格( (附附表表7)7)。

当当X X≤50≤50时时，，可可以以很很方方便便地地从从附附表表7 7查查得总体均数的得总体均数的95%95%或或99%99%可信区间可信区间 2 2．正态近似法．正态近似法 当当样样本本计计数数X X>50>50时时，，附附表表7 7上上查查不不到到相相应应的的可可信信区区间间，，但但此此时时可可利利用用PoissonPoisson分分布布的的正正态态近近似似性性，，计计算算其其总总体均数体均数 ( ) ( )可信区间如下：可信区间如下： 式式中中：：X X 为为样样本本计计数数；； 为为标标准准正态分布正态分布 水平双侧临界值水平双侧临界值二、二、Poisson分布样本均数与总体均分布样本均数与总体均数（样本计数与总体计数）的比较数（样本计数与总体计数）的比较1、直接计算概率法直接计算概率法　　适用条件适用条件：总体均数：总体均数μμ<20<20；；　　方法方法：计算：计算Poisson分布分布的概率和累的概率和累 计概率。

计概率2、正态近似法正态近似法（（u检验）检验）　　适用条件适用条件：总体均数：总体均数μμ≥≥2020；；　　方法方法：：u=∣ ∣x-μμ0 0 ∣ ∣/ √μμ0 0  三、三、Poisson分布两个样本均数分布两个样本均数（两个样本计数）的比较（两个样本计数）的比较1、、u检验检验 ⑴、两样本观察单位（时间、面积、、两样本观察单位（时间、面积、 容积等）相同容积等）相同 ⑵、两样本观察单位（时间、面积、、两样本观察单位（时间、面积、 容积等）不相同容积等）不相同 2、、校正校正u检验检验3、、χ2检验检验 Poisson分布两个样本均数分布两个样本均数（两个样本计数）的比较（两个样本计数）的比较( (u检验检验) ) 适用条件适用条件适用条件适用条件：总体均数的估计值（即两样本均：总体均数的估计值（即两样本均：总体均数的估计值（即两样本均：总体均数的估计值（即两样本均 数）均大于数）均大于数）均大于数）均大于2020。

⑴⑴、、、、两样本观察单位（时间、面积、容积等）相同两样本观察单位（时间、面积、容积等）相同两样本观察单位（时间、面积、容积等）相同两样本观察单位（时间、面积、容积等）相同 u=u=︱︱x x1 1-x-x2 2︱︱/ √x/ √x1 1+x+x2 2 = =︱︱∑x∑x1 1-∑x-∑x2 2︱︱/ √∑x/ √∑x1 1+∑x+∑x2 2 ( ( ( (式中式中式中式中x x1 1和和和和x x2 2分别为分别为分别为分别为两样本均数两样本均数两样本均数两样本均数, , ∑x∑x1 1和和和和∑x∑x2 2 分别为分别为分别为分别为两合并样本的均数两合并样本的均数两合并样本的均数两合并样本的均数) ) ) ) ⑵⑵、、、、两样本观察单位（时间、面积、容积等）不同两样本观察单位（时间、面积、容积等）不同两样本观察单位（时间、面积、容积等）不同两样本观察单位（时间、面积、容积等）不同 u=u=︱︱x x1 1-x-x2 2︱︱/ √x/ √x1 1 / n/ n1 1+x+x2 2 / n/ n2 2 ( ( ( (式中式中式中式中n n1 1和和和和n n2 2分别为分别为分别为分别为两样本例数两样本例数两样本例数两样本例数, ,即两样本观察即两样本观察即两样本观察即两样本观察 单位数单位数单位数单位数) ) ) )两个样本均数的比较两个样本均数的比较1 1、两个样本的观察单位数相等、两个样本的观察单位数相等( (n n1 1=n=n2 2) )时时2 2、两个样本的观察单位数不等、两个样本的观察单位数不等( (n n1 1≠n≠n2 2) )时时 Poisson分布两个样本均数分布两个样本均数（两个样本计数）的比较（两个样本计数）的比较( (校正校正u检验检验) ) 适用条件：适用条件： 总体均数的估计值（即两样本均数）总体均数的估计值（即两样本均数）在在5~20之间。

公式：公式： Poisson分布两个样本均数分布两个样本均数（两个样本计数）的比较（两个样本计数）的比较( (χ2检验检验) ) 适用条件适用条件适用条件适用条件：：：：两样本观察单位不同，且两样本观察单位不同，且两样本观察单位不同，且两样本观察单位不同，且总体均数的估总体均数的估总体均数的估总体均数的估计值较小计值较小计值较小计值较小计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤：：：： 1 1、计算、计算、计算、计算μ μ的估计值的估计值的估计值的估计值 2 2、将、将、将、将x x1 1、、、、x x2 2分别转换为分别转换为分别转换为分别转换为z z1 1、、、、z z2 2 3 3、计算、计算、计算、计算x x2 2值值值值四、四、Poisson分布多个样本均数分布多个样本均数（多个样本计数）的比较（多个样本计数）的比较( (χ2检验检验) ) 计算步骤计算步骤计算步骤计算步骤：：：： 1 1、计算、计算、计算、计算μ μ的估计值的估计值的估计值的估计值 2 2、将各、将各、将各、将各x xi i值转换为值转换为值转换为值转换为z zi i值值值值 3 3、计算、计算、计算、计算x x2 2值值值值五、五、Poisson分布对聚集性的研究分布对聚集性的研究 利用利用Poisson分布的均数与分布的均数与方差相等的特点，可以检验样本中方差相等的特点，可以检验样本中各计数各计数x x1 1，，x x2 2，，…………，，x xn n是否来自是否来自于同一个于同一个Poisson分布总体的随分布总体的随机样本。

机样本应用应用Poisson分布应注意的问题分布应注意的问题1 1、、、、PoissonPoisson分分分分布布布布的的的的x x虽虽虽虽为为为为样样样样本本本本计计计计数数数数，，，，由由由由于于于于观观观观察察察察的的的的单单单单位位位位（（（（时时时时间间间间、、、、面面面面积积积积、、、、容容容容积积积积等等等等））））是是是是固固固固定定定定的的的的，，，，可可可可看看看看成成成成n n=1=1，，，，故故故故有有有有均均均均数数数数的的的的含含含含义义义义按按按按照照照照PoissonPoisson分分分分布布布布的的的的特特特特征征征征μ μ＝＝＝＝σ σ2 2，，，，而而而而标标标标准准准准误误误误＝＝＝＝√ √μ μ／／／／n n，，，，当当当当n n=1=1时时时时，，，，标标标标准准准准差差差差与与与与标标标标准准准准误误误误相相相相等等等等样样样样本本本本标标标标准准准准误误误误的的的的平平平平方方方方等等等等于于于于均均均均数数数数x x，，，，当观察单位不同时，标准误＝当观察单位不同时，标准误＝当观察单位不同时，标准误＝当观察单位不同时，标准误＝√ √x/nx/n；；；；2 2、、、、若若若若利利利利用用用用正正正正态态态态分分分分布布布布法法法法时时时时，，，，要要要要满满满满足足足足μ μ≥ ≥2020的的的的条条条条件件件件。

为为为为此此此此，，，，可可可可利利利利用用用用PoissonPoisson分布的可加性，把若干个观察单位合并；分布的可加性，把若干个观察单位合并；分布的可加性，把若干个观察单位合并；分布的可加性，把若干个观察单位合并；3 3、、、、两两两两均均均均数数数数比比比比较较较较时时时时，，，，要要要要注注注注意意意意观观观观察察察察单单单单位位位位（（（（时时时时间间间间、、、、面面面面积积积积、、、、容容容容积积积积、、、、人人人人口口口口基基基基数数数数等等等等））））是是是是否否否否相相相相同同同同若若若若不不不不相相相相同同同同，，，，须须须须化化化化为为为为相相相相同同同同的的的的观观观观察察察察单单单单位位位位后后后后再再再再作作作作比比比比较较较较，，，，且且且且只只只只能能能能将将将将大大大大单单单单位位位位化化化化为为为为小小小小单单单单位位位位，，，，不不不不能能能能将将将将小小小小单单单单位位位位化化化化为为为为大大大大单单单单位位位位例例例例如如如如不不不不能能能能将将将将人人人人口口口口基基基基数数数数不不不不足足足足1010万万万万人人人人口口口口查查查查得得得得的的的的结结结结果果果果，，，，按按按按比比比比例例例例把把把把基基基基数数数数扩扩扩扩大大大大为为为为1010万万万万。

再再再再者者者者，，，，以以以以1010万万万万人人人人口口口口为为为为观观观观察察察察单单单单位位位位，，，，两两两两样样样样本本本本均均均均数数数数差差差差别别别别有有有有显显显显著著著著性性性性，，，，不不不不等等等等于于于于以以以以1 1万万万万人人人人口口口口为为为为观观观观察单位，差别也有显著性察单位，差别也有显著性察单位，差别也有显著性察单位，差别也有显著性 二项分布二项分布 Poisson分布分布  ：：总体率总体率 µ＝＝n  :总体中一定计量总体中一定计量基本符号基本符号 n:样本例数样本例数 单位内发生某单位内发生某 X：：某类事件发生数某类事件发生数 事件的总均数事件的总均数 p= X/n:样本率样本率 X或或X :样本均数样本均数恰有恰有X X 例阳例阳性的概率性的概率 最多有最多有k例例累积概率累积概率 至少有至少有k例例正态近似条件正态近似条件 n   与与n（（1－－  ））均大于均大于5 µ  20 均数均数 u= n   u= n  （率）（率） µ = n   = 2标准差标准差 可信区间估计可信区间估计n  ≦ ≦ 50 查表查表 查表查表正态近似正态近似 p u Sp 样本率（均数）与总体样本率（均数）与总体 算出算出p(x≦ ≦k)或或P(X≧ ≧k)与与 比较比较 率（均数）比较（单侧）率（均数）比较（单侧） 正态近似（单、双侧）正态近似（单、双侧）两样本率（均数）两样本率（均数）比较（正态近似）比较（正态近似）小小 结结。