离散傅里叶变换及其快速算法.doc

第五章 离散傅里叶变换及其快速算法1 离散傅里叶变换 (DFT) 的推导(1) 时域抽样：目的：解决信号的离散化问题效果：连续信号离散化使得信号的频谱被周期延拓2) 时域截断：原因：工程上无法处理时间无限信号方法：通过窗函数 (一般用矩形窗 )对信号进行逐段截取结果：时域乘以矩形脉冲信号，频域相当于和抽样函数卷积3) 时域周期延拓：目的：要使频率离散，就要使时域变成周期信号方法：周期延拓中的搬移通过与(t nTs) 的卷积来实现表示：延拓后的波形在数学上可表示为原始波形与冲激串序列的卷积结果：周期延拓后的周期函数具有离散谱4) 经抽样、截断和延拓后，信号时域和频域都是离散、周期的过程见图1原函数0t0f用于抽样0t0f抽样后叠加干涉0t0f用于截断0t0f截断后有卷积波纹0t0f用于延拓0t0f延拓后0t0f定义 DFT0Nt 或 nTs0Nf 或 kf0图 1 DFT 推导过程示意图(5) 处理后信号的连续时间傅里叶变换：~N 1j 2 kn / Nh( nTs )e( f kf 0 )H ( f )kn 0(i)~f kf 0kk处存在冲激， 强度为 a k ，其H ( f ) 是离散函数， 仅在离散频率点T0NTS余各点为 0。

ii)~NN1N 个不同的幅值H ( f ) 是周期函数，周期为Nf0NTs，每个周期内有T0Ts(iii) 时域的离散时间间隔 (或周期 )与频域的周期 (或离散间隔 )互为倒数2 DFT 及 IDFT 的定义(1)DFT 定义：设 h nTs是连续函数 h (t) 的 N 个抽样值 n0,1,, N1 ，这 N 个点的宽度为N 的 DFT 为： DFTNN 1j 2 nk / Nkh(nT s)h(nTs) eH,(k0,1,..., N1)n 0NTs(2)IDFT定义：设 Hk是连续频率函数H ( f ) 的 N 个抽样值 k0,1, , N1，这N个点NTs的宽度为 N 的 IDFT 为：DFT Nk1 N 1kh nTs ,( k0,1,..., N1)1 HHej 2 nk / NNT sN k 0NTs(3) e j 2 nk / N 称为 N 点 DFT 的变换核函数， e j 2 nk / N 称为 N 点 IDFT 的变换核函数 它们互为共轭4) 同样的信号， 宽度不同的 DFT 会有不同的结果 DFT 正逆变换的对应关系是唯一的，或者说它们是互逆的。

5) 引入 WN e j 2 / N(i) 用途：(a) 正逆变换的核函数分别可以表示为WNnk 和 WN nk N 1(b) 核函数的正交性可以表示为：WNkn WNkr *N ( nr )k0N 1(c) DFT 可以表示为：Hkh(nTs )WNnk ,( k0,1,, N1)NTsn 0(d) IDFT 可以表示为：1 N1knk , ( n0,1,, N1)h( nTs)HWNN k0NTs(ii) 性质：周期性和对称性：(a)WNNe j 21(b)WNN /2e j1(c)WNN rW NN WNr WNr(d)WNN /2rWNN / 2WNrWNr(e) WNm 1 ( m Z )(f) WmNmn e j 2 mn / mN e j2 n / N WNn ( m, n Z)3 离散谱的性质(1) 离散谱定义： 称 H k Hk( k Z ) 为离散序列 h (nTs )(0n N ) 的 DFT 离散谱， 简称离NTS散谱2) 性质：(i) 周期性：序列的 N 点的 DFT 离散谱是周期为 N 的序列。

ii) 共扼对称性：如果 x (nTs )(0 n N ) 为实序列，则其 N 点的 DFT 关于原点和 N/2 都具有共轭对称性即H kH k* ； H N k H k*； H NH *Nk2k2(iii) 幅度对称性：如果x (nTs )(0n N ) 为实序列，则其N 点的 DFT 关于原点和 N/2 都具有幅度对称性即H kH k ； H N kH k ； H NH Nkk22(3) 改写：(i) 简记 h( nTs ) 为 h(n)(ii)简记 Hk为 H ( k)NTs(iii)DFTDFT 对简记为： h(n)H ( k) 或 h (n ) H ( k)N 1(iv)(v)4 DFT 总结H kDFT h( n)h(n)WNnk ,(k0,1, , N1)n0h(n)DFT 1 H (k)1 N 1H k WN nk ,(n 0,1,,N 1)N k 0(1) DFT 的定义是针对任意的离散序列 x(nTs ) 中的有限个离散抽样 (0 n N ) 的，它并不要求该序列具有周期性k(2) 由 DFT 求 出 的 离 散 谱 H ( k) H k H (k Z) 是 离 散 的 周 期 函 数 ， 周 期 为NT SNf 0N11f s1k 的周期为N /T0f s 、离散间隔为NTsf 0 。

离散谱关于变元NTsTsN T0N3)如果称离散谱经过IDFT 所得到的序列为重建信号，x'(nTs )(n Z )，则重建信号是离散的周期函数，周期为NTsT01) 、离散间隔为( 对应离散谱的离散间隔的倒数f 0TsT01)NTs / N( 对应离散谱周期的倒数NNf 0(4)经 IDFT 重建信号的基频就是频域的离散间隔，或时域周期的倒数，为f011TNT0S(5)实序列的离散谱关于原点和N(如果 N 是偶数 )是共轭对称和幅度对称的因此，真正2有用的频谱信息可以从 0~ N 1 范围获得，从低频到高频2(6) 在时域和频域 0 ~ N 范围内的 N 点分别是各自的主值区间或主值周期5 DFT 性质M M(1) 线性性：对任意常数 am (1 m M ) ，有 DFT amxm ( n) am DFT xm ( n)m 1 m 1(2) 奇偶虚实性：(i) DFT 的反褶、平移：先把有限长序列周期延拓，再作相应反褶或平移，最后取主值区间的序列作为最终结果ii) DFT 有如下的奇偶虚实特性：奇 奇；偶 偶；实偶 实偶；实奇 虚奇；实 (实偶 ) + j( 实奇 )；实 (实偶 ) ·EXP( 实奇 )。

3) 反褶和共轭性：时域 频域反褶 反褶共轭 共轭＋反褶共轭＋反褶 共轭(4)对偶性： X (n )Nx ( k)(i) 把离散谱序列当成时域序列进行DFT ，结果是原时域序列反褶的N 倍；(ii) 如果原序列具有偶对称性，则DFT 结果是原时域序列的 N 倍5)时移性： x (n m)X (k)WNkm 序列的时移不影响 DFT 离散谱的幅度6)频移性： x (n)WN nlX (kl )(7)时域离散圆卷积定理：x( n) y( n)X (k )Y (k)(i) 圆卷积：周期均为 N 的序列 x(n ) 与 y(n ) 之间的圆卷积为N 1x(n)y(n)x(i) y(n i)i 0x(n )y (n) 仍是 n 的序列，周期为 Nii) 非周期序列之间只可能存卷积，不存在圆卷积；周期序列之间存在圆卷积，但不存卷积8)频域离散圆卷积定理：x( n) y(n)1X (k ) Y (k )N(9)时域离散圆相关定理：Rxy(P) (n)X (k)Y* (k)N 1周期为 N 的序列。