高数3-差分方程.ppt

5.1.1差分,微分方程是自变量连续取值的问题, 但在很多实际问题中, 有些变量不是连续取值的. 例如, 经济变量收入、储蓄等都是时间序列, 自变量 t 取值为0, 1, 2, , 数学上把这种变量称为离散型变量. 通常用差商来描绘因变量对自变量的变化速度.,1. 差分的定义,定义5.1.1 设函数,我们称,一、 差分方程的根本概念,称,为三阶差分.,同样，称,依此类推，函数的 n 阶差分定义为：,且有,二阶及二阶以上的差分统称为高阶差分,性质5.1.1 当,是常数，,是函数时，,有以下结论成立：,例1 求,解,有某种商品 t 时期的供给量St与需求量Dt都是这一时期价格Pt 的线性函数：,5.1.2 差分方程,一个例子：,设 t 时期的价格Pt由 t 1时期的价格 与供给量及需求量之差 按如下关系确定.,（ 为常数），,即,这样的方程就是差分方程.,定义5.1.2 含有未知函数差分或未知函数几个时期值的方程就称为差分方程.,例如,差分方程的不同形式之间可以互相转化.,差分方程中含有未知函数下标的最大值与最小值之差数称为差分方程的阶.,5.1.2 差分方程,是一个二阶差分方程，,假如将原方程的左边写为,那么原方程还可化为,例如，,可以化为,又如：,可化为,定义5.1.3 假如一个函数代入差分方程后，方程两边,其中A为任意常数.,恒等，那么称此函数为差分方程的解.,我们往往要根据系统在初始时刻所处的状态，对差分方程附加一定的条件，这种附加条件称之为初始条件.满足初始条件的解称之为特解. 假如差分方程中含有互相独立的任意常数的个数恰好等于差分方程的阶数，那么称它为差分方程的通解.,其中A为任意常数.,(3),为常数，,为函数.,时，称方程,(4),那么 (3) 称为一阶常系数非齐次线性,一阶常系数线性差分方程的一般形式为,其中,当,为一阶常系数齐次线性差分方程.,假设,差分方程.,一阶常系数线性差分方程,3. 常系数线性差分方程及解的性质,的差分方程称为n 阶常系数线性差分方程，其中,为常数，且,为函数.,时，差分方程(1)称为齐次的，,对应的齐次差分方程为,(2),定义A 形如,(1),当,否那么称为非齐次的. 当,时，与差分方程 (1),定理A 设,的k个特解，那么线性组合,也是该差分方程的解，其中,是n阶常系数齐次线性差分方程,为任意常数.,的n个线性无关的解，那么方程 的通解为,定理B n阶常系数齐次线性差分方程一定存在n个线性无关的特解假设,是方程,定理C n阶非齐次线性差分方程,的通解与它自己本身的一个特解之和，,它对应的齐次方程,即通解等于,以上三个定理提醒了n阶齐次及非齐次线性差分方程的通解构造, 它们是求解线性差分方程非常重要的根底知识,在本书中,我们只讨论一阶常系数线性差分方程的解法,(1) 迭代法求解：,一般地，,对于一阶常系数齐次线性差分方程,通常有如下两种解法.,5.2.1 一阶常系数齐次线性差分方程的通解,(2) 特征方程法求解：设,化简得：,即,分别称为方程,和,是方程 (4) 的解.,再由解的构造及通解的定义知：,的特征方程和特征根.,是齐次方程的通解.,为任意常数),故,例4 求,的通解.,从而特征根为,于是原方程的通解为,其中C为任意常数.,解 特征方程为,的右端项为某些特殊形式的函数时的特解.,考虑差分方程,(c为任意常数),那么差分方程为,1) 采用迭代法求解：,有迭代公式,给定初值,5.2.2一阶常系数非齐次线性差分方程的通解,2)一般法求解：设差分方程,的特解.,具有形如,(1) 当,时，,(2) 当,时，,例5 求差分方程 的通解.,解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为：,代入方程，解得：,故原差分方程通解为：,设差分方程 (6) 具有形如,的特解。

于是,即,解得,于是,和,例6 求差分方程 的通解解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为：,代入方程，解得：,故原差分方程通解为：,例6 求差分方程 的通解解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为：,代入方程，解得：,故原差分方程通解为：,设差分方程(7) 具有形如,的特解.,将特解代入差分方程(7)后比较两端同次项系数,确定系数,例7 求差分方程 的通解解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为,代入方程，得,比较系数：,原差分方程通解为,解得,故方程特解为,例7 求差分方程 的通解解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为,代入方程，得,比较系数：,原差分方程通解为,解得,故方程特解为,设差分方程具有形如,的特解.,综上所述，有如下结论：,假设,当 时，(*)式左端为 次多项式，要使 (*) 式成立，则要求,故可设差分方程8具有形如,的特解.,前面三种情况都是差分方程8的特殊情形：,当 时，取 否则，取,例8 求差分方程 的通解解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为,代入方程消去,比较系数：,得,原差分方程通解为,解得,故方程特解为,例9 求差分方程 的通解。

解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为,代入方程消去 ，得,比较系数：,原差分方程通解为,解得,故方程特解为,例10 求差分方程 的通解解 对应齐次差分方程的通解为,由于,故可设其特解为,代入方程消去,比较系数：,得,原差分方程通解为,解得,故方程特解为,例8存款模型),为,期存款总额，,利率，按年复利计息，那么,与,有如下关系式：,这是关于,的一个一阶常系数齐次线性差分方程，,其中,为初始存款总额.,为存款,其通解为,设,三、 差分方程在经济问题中的简单应用,。