中考数学二轮专题第02讲 旋转问题专题(教师版).doc

一、旋转的理解1. 将图形绕一个定点旋转一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转，如图所示；2. 旋转前后的两个图形全等，即旋转只改变图形的位置，不改变图形的大小与形；状如△AOB≌△A1OB1；3. 图形的旋转，本质上是图形上的点在同心圆上作同步运动；4. 以每组对应点和旋转中心为顶点的三角形相似，且都是等腰三角形，如等腰△AOA1∽等腰△BOB'1；5. 当旋转角为特殊角时，如60°、90°等，会出现特殊等腰三角形，如等边三角形、等腰直角三角形等；6. 当旋转角不大于90°时，对应线段所在直线的夹角等于旋转角，如AB与A1B1所在直线的夹角等于∠AOA1；7. 当旋转角不大于90时，两组对应点连线所在直线（如AA1与BB1)的夹角等于∠AOB 图1 图2二、位似的理解1. 如果两个图形不仅相似，而且每组对应点的连线交于同一点，对应边互相平行或在同一条直线上，那么这两个图形叫做位似图形，这个交点叫位似中心，这时的相似比又称为位似比，如图2所示；2. 位似前后的两个图形相似，即位似不改变图形的形状，它可以将一个图形进行放大或缩小；3. 图形的位似，本质上是图形上的点在共顶点的直线上的同步运动。

旋转运用<1>：共顶点模型的旋转全等1. 如图1-1，△ABC绕点A旋转到△AB1C1，则有△ABB1≌△ACC1（SAS）；2. 如图1-2，若△ABC与△AED式等边三角形，则△ABE≌△ACD（SAS）；3. 如图1-3，若△ABC与△AED式等腰直角三角形，则△ABD≌△ACE（SAS）； 图1-1 图1-2 图1-3旋转运用<2>：角含半角旋转模型1. 如图2-1，在正方形 ABCD中，若∠EBF=45°，将△BAE绕点B旋转至△BCG，则有①EF=AE+CF；②BE平分∠AEF；③BF平分教EFC.2. 如图2-2，在四边形ABCD中，若BA=BC， ∠ABC+∠D=180°，且∠EBF=∠ABC， 图2-1则有①EF=AE+CF；②BE平分∠AEF；③BF平分教EFC.3. 如图2-3，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=45°，可将△ABD绕点A旋转至△ACF，则有DE2=BD2+CE2；4. 如图2-4，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=45°，可将△ABD绕点A旋转至△ACF，仍有DE2=BD2+CE2；5. 如图2-5，在等腰Rt△ABC中，若交DAE=135°， 图2-2可将△ABD绕点A旋转至△ACF，则有DE2=BD2+CE2；图2-3 图2-4 图2-5旋转运用<3>：对角互补模型1. 如图3-1，已知四边形ABCD中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC，则有AB+AC=AD；2. 如图3-2，已知四边形ABCD中，∠BDC=∠BAC=90°，且DB=DC，则有AB-AC=AD； 图3-1 图3-23. 如图3-3，已知等边△ABC，且∠BPC=120°，则有PA=PB+PC；4. 如图3-4，已知等边△ABC，且∠BPC=30°，则有PA2=PB2+PC2； 图3-3 图3-45. 如图3-5，已知等腰△ABC，且∠BAC=120°，且∠BPC=60°，则有PB+PC=PA；6. 如图3-6，已知等腰△ABC，且∠BAC=120°，且∠BPC=120°，则有PC-PB=PA； 图3-5 图3-6旋转运用<4>：旋转相似模型1. 如图4-1，已知等腰△ABC，AB=AC，将△ABD旋转至△ACE，则有△ADE∽△ABC；2. 如图4-2，若△ADE∽△ABC，则有△ADE∽△ABC； 图4-1 图4-2旋转运用<5>：费马旋转模型1. 如图5-1，在△ABC中找一点P，使得AP+BP+CP的值最小，将△APC绕点A逆时针旋转60°至△AQE，则有AP+BP+CP=PQ+BP+QE≥BE，当且仅当B、P、Q、E四点共线时取得最小值为BE，且此时有∠APB=∠BPC=∠APC=120°. 图5-1 2. 如图5-2，等腰△ABC中，∠BAC=120°，P是△ABC内部一点，且AP=1，CP=，∠APC=120°，求BP的长。

将△APB绕点A逆时针旋转120°至△ADC，连接PD计算可得BP=）3. 如图5-3，等腰Rt△ABC中，∠BAC=90°，P是△ABC内部一点，且CP=1，AP=，BP=，求∠APC的度数将△APB绕点A逆时针旋转90°至△ADC，连接PD计算可得∠APC=135°） 图5-2 图5-3 【例题1】（1）如图1，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，AC＝BC＝6，CD＝CE，AE＝3，∠CAE＝45°，求AD的长．（2）如图2，已知∠ACB＝∠DCE＝90°，∠ABC＝∠CED＝∠CAE＝30°，AC＝3，AE＝8，求AD的长．【解答】解：（1）如图1，连接BE，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠ACB+∠ACE＝∠DCE+∠ACE，即∠BCE＝∠ACD，又∵AC＝BC，DC＝EC，在△ACD和△BCE中，，∴△ACD≌△BCE，∴AD＝BE，∵AC＝BC＝6，∴AB＝6，∵∠BAC＝∠CAE＝45°，∴∠BAE＝90°，在Rt△BAE中，AB＝6，AE＝3，∴BE＝9，∴AD＝9；（2）如图2，连接BE，在Rt△ACB中，∠ABC＝∠CED＝30°，tan30°＝＝，∵∠ACB＝∠DCE＝90°，∴∠BCE＝∠ACD，∴△ACD∽△BCE，∴＝＝，∵∠BAC＝60°，∠CAE＝30°，∴∠BAE＝90°，又AB＝6，AE＝8，∴BE＝10，∴AD＝．【例题2】（1）如图1，已知等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且∠ADB=45°，BD=4，CD=，求AD的长.（2） 如图2，已知等腰Rt△ABC，∠BAC=90°，且∠ADB=75°，BD=6，AD=，求CD的长.（3） 如图3，在四边形ABCD中，BC=CD，∠BCD=90°，若AB=4，AD=3，求对角线AC的最大值. 图1 图2 图3 解：如图（1）AD=；（2）CD=BE=14；（3）AC最大值=【例题3】如图②，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=，AC=，将△ABC绕着点A旋转得到△ADE，连接DB、EC，直线DB、EC相交于点F，点P是AC中点，线段PF的最大值为_________.解：旋转相似，辅助圆，答案为【例题4】（1）如图1，AC，BD是四边形ABCD的对角线，若∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°，则线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？（2）如图2，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝45°”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？（3）如图3，如果把“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝60°”改为“∠ACB＝∠ACD＝∠ABD＝∠ADB＝α”，其它条件不变，那么线段BC，CD，AC三者之间有何等量关系？ 图1 图2 图3【解答】解：（1）如图，延长CB到E，使BE＝CD，连接AE，证得△ABE≌△ADC，从而容易证明△ACE是等边三角形，故AC＝CE，所以AC＝BC+CD（2）BC+CD＝AC；理由：如图1，延长CD至E，使DE＝BC，连接AE，易得，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB＝∠AED＝45°，AC＝AE，∴△ACE是等腰直角三角形，∴CE＝AC，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝AC；（3）BC+CD＝2AC•cosα．理由：如图2，延长CD至E，使DE＝BC，∵∠ABD＝∠ADB＝α，∴AB＝AD，∠BAD＝180°﹣∠ABD﹣∠ADB＝180°﹣2α，∵∠ACB＝∠ACD＝α，∴∠ACB+∠ACD＝2α，∴∠BAD+∠BCD＝180°，∴∠ABC+∠ADC＝180°，∵∠ADC+∠ADE＝180°，∴∠ABC＝∠ADE，在△ABC和△ADE中，，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠ACB＝∠AED＝α，AC＝AE，∴∠AEC＝α，过点A作AF⊥CE于F，∴CE＝2CF，在Rt△ACF中，∠ACD＝α，CF＝AC•cos∠ACD＝AC•cosα，∴CE＝2CF＝2AC•cosα，∵CE＝CD+DE＝CD+BC，∴BC+CD＝2AC•cosα．【例题5】【操作】BD是矩形ABCD的对角线，AB＝4，BC＝3．将△BAD绕着点B顺时针旋转α度（0°＜α＜360°）得到△BEF，点A、D的对应点分别为E、F．若点E落在BD上，如图①，则DE＝　　．【探究】当点E落段DF上时，CD与BE交于点G．其它条件不变，如图②．（1）求证：△ADB≌△EDB；（2）CG的长为　　．【拓展】连结CF，在△BAD的旋转过程中，设△CEF的面积为S，直接写出S的取值范围．【解答】【操作】解：∵四边形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AD＝BC＝3，∴BD＝＝＝5，由旋转的性质得：BE＝BA＝4，∴DE＝BD﹣BE＝5﹣4＝1；故答案为：1；【探究】（1）证明：由旋转的性质得：△BEF≌△BAD，∴∠BEF＝∠A＝90°，BE＝BA，∴∠BED＝180°﹣∠BEF＝90°＝∠A，在Rt△ADB和Rt△EDB中，，∴Rt△ADB≌Rt△EDB（HL）；（2）解：∵四边形ABCD是矩形，∴AB∥CD，CD＝AB＝4，∠BCD＝90°，∴∠ABD＝∠CDB，由折叠的性质得：∠ABD＝∠EBD，∴∠CDB＝∠EBD，∴DG＝BG，设CG＝x，则DG＝BG＝4﹣x，在Rt△BCG中，由勾股定理得：x2+32＝（4﹣x）2，解得：x＝，即CG＝；故答案为：；【拓展】解：∵△CEF的边长EF＝AD＝3，∴点C到EF的距离最小时，△CEF的面积最小；点C到EF的距离。