北大随机过程课件：第 3 章 第 5 讲 更新过程.pdf

马尔可夫过程马尔可夫过程 更新过程更新过程 更新过程的基本概念 定义、更新过程的基本参数，参数间的关系 更新过程分析 计算 N(t)的概率分布 计算更新过程的期望 计算更新过程的强度 计算更新过程的速率 典型更新过程-泊松过程 泊松过程的分布特性 更新时间间隔呈负指数分布的更新过程 事件间隔、更新时刻、计数过程 N(t)、均值过程、更新过程的强度 更新过程举例： 例1、 给定一种更新间隔分布，计算更新过程 N(t)的概率分布 例 2、给定更新强度，计算更新间隔的概率分布 例 3、给定更新间隔分布，计算更新过程的速率 例 4、计算更新过程的速率 例 5、计算更新过程的速率 例６、事件间隔呈负指数分布的更新过程 1．更新过程的基本概念．更新过程的基本概念 1.1 更新过程定义更新过程定义 设{N(t), t>0}是一个计数过程，nx) 1( ≥n表示第 n-1 次事件和第 n 次事件的时间间隔，再设{}?,,21xx 为非负、独立、同分布的随机变量序列，则称计数过程{N(t), t>0}为更新过程 特点：根据事件间隔的特征(独立、同分布)定义； 举例： 假设灯泡的寿命是统计独立、同分布的随机变量，若每次使用一个灯泡，当灯泡损坏后立刻更换新的，则在时间 t 内损害的灯泡数是一个更新过程{N(t), t>0}，其中N(t)是在时间 t 内损坏的灯泡数。

1.2 更新过程的基本参数及其关系更新过程的基本参数及其关系 N(t)：[0，t）内发生的事件数，更新次数； nx：第 n 次事件的更新间隔； nS：第 n 次事件的更新时刻； nS与nx的关系： ∑ ==niinxS1，00=S表示过程的起始时刻； 若给定事件间隔nx ) 1( ≥n的概率分布函数 F(t)，或概率密度函数 f(t) 时，设更新时刻nS的分布函数是)(tFn、 概率密度函数是)(tfn， 因为∑ ==niinxS1，{}?,,21xx 为非负、独立、同分布的随机变量序列，则)(tFn应是)(tF的 n 次卷积，)(tfn应是)(tf的 n 次卷积 N(t)与nS的关系： 如果nSt0}的时间间隔nx的概率密度 解： 若更新强度为λ，其对应的拉氏变换为： sdtedtetsststλλλ===Λ∫∫∞ −∞ −00)()( 设nx的概率密度函数 f(t)的拉氏变换为( )sφ，根据( )( )1( )sssφΛ=+Λ得： ( ) 1sss sλ λφλλ==++则nx的概率密度函数 f(t)为： {} ⎩⎨⎧<≥==− − 000)()(1 ttesLtftλλφ 更新间隔的分布服从参数为λ的负指数分布， 则更新计数过程服从参数为λ的泊松分布。

结论： 更新强度是常数的更新计数过程服从泊松分布，更新间隔服从负指数分布 例例 3、计算更新过程的速率、计算更新过程的速率 当电池失效时， 立刻更换新的电池 电池的寿命是在 30 小时到 60 小时均匀分布的随机变量，问长时间工作情况下，更换电池的速率？ 解： 电池的平均寿命为： 453016030=⋅=∫dttμ 长时间工作的条件下，电池更新的速率是 μ/1)(lim= ∞→ttNt平均每 45 小时更新一次电池 例例 4、计算更新过程的速率、计算更新过程的速率 当电池失效时， 立刻到市场去购买同一型号的电池， 获得新电池的时间也是一个均匀分布的随机变量，均匀分布于 0 到 1 小时之间，问长时间工作情况下，更换电池的速率？ 解, 设第 i 次电池使用的时间是ix，购买电池的时间是iu，它们都是随机变量， 则平均更新间隔为: [ ][ ]iiuExE+=μ [ ]453016030=⋅=∫dttxEi[ ]2/1110=⋅=∫dttuEi5 .45=μ 平均每 45.5 小时更新一次电池 例例 5、计算更新过程的速率、计算更新过程的速率 顾客以泊松律到达银行，到达率为 λ顾客到达时，如果服务员空闲，他就进入银行接受服务， 如果到达时服务员正在接待顾客他就离去， 顾客接受服务的时间是一个随机变量，服从某种服务规律 G，平均值是 μG。

问顾客进入银行的速率，进入银行的顾客占潜在顾客的比例 解: 分析： 首先分析顾客离开银行的速率 将顾客离开银行的事件视为更新事件， 即一个顾客离开银行到下一个顾客离开银行为一个更新间隔 更新间隔kx包括两段时间间隔：第一段时间间隔ky，前一个顾客离去，到下一个顾客到来，第二段时间间隔kz，新到来的顾客接受服务直到离开 kkkxyz=+ 由于顾客以泊松到达率到达银行，因而到达的时间间隔是参数为λ的无记忆的负指数分布，到达时间的间隔的均值为1/λ，根据负指数分布的无记忆特性，从上一个顾客离开的时刻到下一个顾客到达的时间间隔也是参数λ为的负指数分布，均值为1/λ，即[]1/kE yλ= 而顾客接受服务的时间的均值[]kE Z已知为 μG 因此，顾客接受服务离开系统的间隔的均值为： [][][]1/kkkGE xE yE zμλμ==+=+ 顾客以同样的速率到达系统接受服务 则：顾客进入系统接受服务的速率为： 1 1/1GGλλλμλμ==++入潜在顾客以λ的速率到达银行，其中部分顾客以λ入的速率进入银行接收服务，其它顾客则为接受服务即离去，则进入银行的顾客与潜在顾客的比例为： 11 1/1GGλλλλμλμ==++入例例 6 事件间隔呈负指数分布的更新过程事件间隔呈负指数分布的更新过程 如果事件的间隔是负指数分布，事件的时间间隔的概率密度函数和概率分布函数是： tt ttedtetFetfλλλλλ−−−−===∫1)(,)(0于是有， ()()() ()????λλλλλλλλλλλλλλλ⋅−=⋅=⋅=⋅=⊗==−−−−−−−−∫tnnttt ututenttfettfetdueetftftfetf!1)(!2)()()()()(12302()()() ()() ()????∑∫∫∫∫∫∫∫∫=−− −−−−−−−−−−−−−=⋅−==−−−=⋅==−−=⋅==−===nktkt tntnntttt ttttt tttt ttektdtentdttftFetetedtetdttftFetedtetdttftFedtedttftF11010202033002200!11!1)()(!21!2)()(1)()(1)()(λλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλλ更新计数过程的分布： {}() ()() ()() () ()tntnnktknktknnrententektekttFtFntNPλλλλλλλλ−−+=−−=−−+=−+=⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛−−−⎟⎟ ⎠⎞ ⎜⎜ ⎝⎛−−=−==∑∑!!11!11!11)()()(111111结论： 更新间隔为负指数分布的更新计数过程服从泊松分布。

总结总结 更新过程的基本概念 定义、更新过程的基本参数，参数间的关系 更新过程分析 给定更新间隔的分布，计算 N(t)的概率分布 计算更新过程的期望， 计算更新过程的强度， 研究更新过程的数字特征： 计算更新过程的极限μ= ∞→)(limtNtt典型更新过程-泊松过程 泊松过程的分布特性 更新时间间隔呈负指数分布的更新过程 事件间隔、更新时刻、计数过程 N(t)、均值过程、更新过程的强度 典型更新过程 例2、 计算更新过程 N(t)的概率分布 给定一种更新间隔分布，求更新计数过程分布 例 2、给定更新强度，计算更新间隔的概率分布 结论:更新强度是常数的更新计数过程服从泊松分布,更新间隔服从负指数分布. 例 3、给定更新间隔分布，计算更新过程的速率 基本概念：速率定义 例 4、计算更新过程的速率 分析更新间隔的构成 例 5、计算更新过程的速率 分析更新间隔构成 例６、事件间隔呈负指数分布的更新过程 结论：更新间隔为负指数分布的更新计数过程服从泊松分布。