[高二数学]高中数学选修22第二章 推理与证明.doc

第二章 推理与证明目录§2.1.1合情推理--－归纳推理（新授课）§2.1.1合情推理――类比推理（新授课）§2.1.2 演绎推理（新授课）§2.2.1 综合法和分析法（一）（新授课）§2.2.1 综合法和分析法（二）（新授课）§2.2.2 反证法（新授课）§2.3 数学归纳法（一）（新授课）§2.3 数学归纳法（二）（新授课）选修2-2 第二章 推理与证明基础训练题（一）选修2-2 第二章 推理与证明基础训练题（一）答案选修2-2 第二章 推理与证明基础训练题（二）选修2-2 第二章 推理与证明基础训练题（二）答案选修2-2 第二章 推理与证明基础训练题（三）选修2-2 第二章 推理与证明基础训练题（三）答案第二章 推理与证明一、 课程目标：“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式推理一般包括合情推理和演绎推理合情推理是根据已有的事实和正确的结论、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法在解决问题的过程中，合情推理是根据已有的事实和正确的结论，按照严格的逻辑法则得到新结论的推理过程，培养和提高学生的演绎推理或逻辑证明的能力是高中数学课程的主要目标，合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成。

证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论二、 学习目标1、 结合已学过的数学实例和生活中的实例，了结合情推理的含义，能利用归纳和类比进行简单的推理，体会并认识合情推理在数学发现中的作用2、 结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单的推理3、 通过具体实例，了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异4、 结合已学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法――分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点5、 结合已学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法――反证法；了解反证法的思考过程、特点6、 了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题三、 本章知识结构框图：推理与证明推理证明合情推理演绎推理直接证明间接证明数学归纳法归纳类比综合法分析法反证法四、 课时安排本章共安排了3个小节，教学时间约需8课时，具体内容和课时分配如下：2.1 合情推理与演绎推理 约3课时2.2 直接证明与间接证明 约3课时2.3 数学归纳法 约2课时§2.1.1合情推理－归纳推理（新授课）一、教学目标：知识与技能：掌握归纳推理的技巧，并能运用解决实际问题。

过程与方法：通过“自主、合作与探究”实现“一切以学生为中心”的理念情感、态度与价值观：感受数学的人文价值，提高学生的学习兴趣，使其体会到数学学习的美感二、教学重点与难点重点：归纳推理及方法的总结难点：归纳推理的含义及其具体应用三、教学过程：(一)、问题情境1、原理初探引入：“阿基米德曾对国王说，给我一个支点，我将撬起整个地球！”提问：大家认为可能吗？他为何敢夸下如此海口？理由何在？探究：他是怎么发现“杠杆原理”的？从而引入两则小典故：A：一个小孩，为何轻轻松松就能提起一大桶水？B：修筑河堤时，奴隶们是怎样搬运巨石的？正是基于这两个发现，阿基米德大胆地猜想，然后小心求证，终于发现了伟大的“杠杆原理”思考：整个过程对你有什么启发？启发：在教师的引导下归纳出：“科学离不开生活，离不开观察，也离不开猜想和证明”归纳推理的发展过程证明猜想观察生活2、皇冠明珠 ―― “歌德巴赫猜想”相关链接:世界近代三大数学难题之一哥德巴赫是德国一位中学教师，也是一位著名的数学家，生于1690年，1725年当选为俄国彼得堡科学院院士1742年，哥德巴赫在教学中发现，每个不小于6的偶数都是两个素数（只能被1和它本身整除的数）之和。

如6＝3＋3，12＝5＋7等等公元1742年6月7日哥德巴赫写信给当时的大数学家欧拉，欧拉在6月30日给他的回信中说，他相信这个猜想是正确的，但他不能证明叙述如此简单的问题，连欧拉这样首屈一指的数学家都不能证明，这个猜想便引起了许多数学家的注意从哥德巴赫提出这个猜想至今，许多数学家都不断努力想攻克它，但都没有成功当然曾经有人作了些具体的验证工作，例如: 6 = 3 + 3, 8 = 3 + 5, 10 = 5 + 5 = 3 + 7, 12 = 5 + 7, 14 = 7 + 7 = 3 + 11,16 = 5 + 11, 18 = 5 + 13, ……等等有人对33×108以内且大过6之偶数――进行验算，哥德巴赫猜想(a)都成立但严格的数学证明尚待数学家的努力从此，这道著名的数学难题引起了世界上成千上万数学家的注意200年过去了，没有人证明它哥德巴赫猜想由此成为数学皇冠上一颗可望不可及的"明珠" 人们对哥德巴赫猜想难题的热情，历经两百多年而不衰世界上许许多多的数学工作者，殚精竭虑，费尽心机，然而至今仍不得其解到了20世纪20年代，才有人开始向它靠近1920年挪威数学家布朗用一种古老的筛选法证明，得出了一个结论：每一个比大偶数n（不小于6）的偶数都可以表示为（99）。

这种缩小包围圈的办法很管用，科学家们于是从（9十9）开始，逐步减少每个数里所含质数因子的个数，直到最后使每个数里都是一个质数为止，这样就证明了哥德巴赫猜想 思考：其他偶数是否也有类似的规律？讨论：组织学生进行交流、探讨检验：2和4可以吗？为什么不行？归纳：通过刚才的探究，由学生归纳“归纳推理”的定义及特点二）、数学建构把从个别事实中推演出一般性结论的推理,称为归纳推理(简称归纳).注:归纳推理的特点;简言之,归纳推理是由部分到整体、由特殊到一般的推理归纳推理的一般步骤：实验．观察　　　　　概括．推广　　　　　猜测一般性结论（三）、师生活动例1、前提：蛇是用肺呼吸的，鳄鱼是用肺呼吸的,海龟是用肺呼吸的，蜥蜴是用肺呼吸的蛇、鳄鱼、海龟、蜥蜴都是爬行动物.结论：所有的爬行动物都是用肺呼吸的例2、前提：三角形的内角和是1800，凸四边形的内角和是3600，凸五边形的内角和是5400，……结论：凸n 边形的内角和是（n—2）×1800例3、探究：上述结论都成立吗？强调：归纳推理的结果不一定成立！ （四）．提高巩固探索：先让学生独立进行思考活动：鼓励学生说出自己的解题思路活动：鼓励其他同学给予评价，对在哪里？错在哪里？还有没有更好的方法？思考：怎么求？组织学生进行探究，寻找规律。

归纳：由学生讨论，归纳技巧，得到技巧①和②．技巧①:有整数和分数时,往往将整数化为分数.技巧②:当分子分母都在变化时,往往统一分子 (或分母),再寻找另一部分的变化规律.（五）、课堂练习：课本７７页１．２　　（六）、布置作业：习题２.１：Ａ组１　Ｂ组１（七）、课堂小结1、归纳推理是由部分到整体，从特殊到一般的推理通常归纳的个体数目越多，越具有代表性，那么推广的一般性命题也会越可靠，它是一种发现一般性规律的重要方法2、归纳推理的一般步骤：通过观察个别情况发现某些相同的性质 从已知的相同性质中推出一个明确表述的一般命题（猜想）　　　证明四．课后反思§2.1.1合情推理――类比推理（新授课）一、教学目标：知识与能力：通过对已学知识的回顾，认识类比推理这一种合情推理的基本方法，并把它用于对问题的发现中去过程与方法：类比推理是从特殊到特殊的推理，是寻找事物之间的共同或相似性质，类比的性质相似性越多，相似的性质与推测的性质之间的关系就越相关，从而类比得出的结论就越可靠情感态度与价值观：1、正确认识合情推理在数学中的重要作用，养成从小开始认真观察事物、分析问题、发现事物之间的质的联系的良好个性品质，善于发现问题，探求新知识。

2、认识数学在日常生产生活中的重要作用，培养学生学数学，用数学，完善数学的正确数学意识二、教学重点与难点：重点：了解合情推理的含义，能利用类比进行简单的推理难点：用类比进行推理，做出猜想三、教学过程：（一）．问题情境从一个传说说起：春秋时代鲁国的公输班（后人称鲁班，被认为是木匠业的祖师）一次去林中砍树时被一株齿形的茅草割破了手，这桩倒霉事却使他发明了锯子.他的思路是这样的：茅草是齿形的；茅草能割破手.我需要一种能割断木头的工具；它也可以是齿形的.这个推理过程是归纳推理吗？（二）．数学活动我们再看几个类似的推理实例例1、试根据等式的性质猜想不等式的性质等式的性质： 猜想不等式的性质：(1) a=bÞa+c=b+c; (1) a＞bÞa+c＞b+c;(2) a=bÞ ac=bc; (2) a＞bÞ ac＞bc;(3) a=bÞa2=b2;等等 (3) a＞bÞa2＞b2;等等问：这样猜想出的结论是否一定正确？例2、试将平面上的圆与空间的球进行类比.圆的定义：平面内到一个定点的距离等于定长的点的集合.球的定义：到一个定点的距离等于定长的点的集合.圆 球弦←→截面圆直径←→大圆周长←→表面积面积←→体积圆的性质球的性质圆心与弦(不是直径)的中点的连线垂直于弦球心与截面圆(不是大圆)的圆点的连线垂直于截面圆与圆心距离相等的两弦相等；与圆心距离不等的两弦不等，距圆心较近的弦较长与球心距离相等的两截面圆相等；与球心距离不等的两截面圆不等，距球心较近的截面圆较大圆的切线垂直于过切点的半径；经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点球的切面垂直于过切点的半径；经过球心且垂直于切面的直线必经过切点经过切点且垂直于切线的直线必经过圆心经过切点且垂直于切面的直线必经过球心上述两个例子均是这种由两个（两类）对象之间在某些方面的相似或相同，推演出他们在其他方面也相似或相同；或其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理（简称类比）． 简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．类比推理的一般步骤：⑴ 找出两类对象之间可以确切表述的相似特征；⑵ 用一类对象的已知特征去推测另一类对象的特征，从而得出一个猜想；⑶ 检验猜想。

即观察．比较　　　　　联想．类推　　　　　猜想新结论例3.在平面上,设ha,hb,hc是三角形ABC三条边上的高.P为三角形内任一点,P到相应三边的距离分别为pa,pb,pc,我们可以得到结论:试通过类比,写出在空间中的类似结论.（三）．巩固提高1、已知两个圆①x2+y2=1:与②x2+(y-3)2=1,则由①式减去②式可得上述两圆的对称轴方程.将上述命题在曲线仍然为圆的情况下加以推广,即要求得到一个更一般的命题,而已知命题应成为所推广命题的一。