上数学探索与表达规律例题解析.pdf

七 上 数 学 探 索 与 表 达 规 律 例 题 解 析( 带 答 案 北 师 大 版 ) ( 共 4 页 ) --本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可-- --内页可以根据需求调整合适字体及大小-- 2 七上数学探索与表达规律例题解析（带答案北师大版） 1．规律探索 规律探索是数学中常见的类型之一，是指从已知的几个数据或几个图形中发现其中的数据变化情况，并用代数式表示出来．规律探索体现了从特殊到一般，再从一般到特殊的数学思想．探索规律的一般方法是： (1)观察：从具体的、实际的问题出发，观察各个数量的特点及相互之间的变化规律； (2)猜想：由此及彼，合理联想，大胆猜想； (3)归纳：善于类比，从不同的事物中发现其相似或相同点； (4)验证：总结规律，作出结论，并取特殊值验证结论的正确性． 探索规律问题，要从给出的几个有限的数据着手，认真观察其中的变化规律，尝试猜想、归纳其规律，并取特殊值代入验证． 在探索规律的过程中，要善于变换思维方式，这样可收到事半功倍的效果． 【例 1】 观察下列数表： 根据数表中所反映的规律，猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数应为__________，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为________． 解析：通过观察、分析、比较可知，第 1 行与第 1 列的交叉点上的数是1，第 2 行与第 2 列的交叉点上的数是 3，第 3 行与第 3 列的交叉点上的数是 5，第 4 行与第 4 列的交叉点上的数是 7，…，所以可猜想第 6 行与第 6 列的交叉点上的数是 11，第n行(n为正整数)与第n列的交叉点上的数应为 2n－1. 答案：11 2n－1 2．探索规律的常见类型及方法 (1)数字规律和代数式规律 常见的几种数字规律形式： ① ② 3 (2)新运算的规律 新运算是指用特定的符号表示与加、减、乘、除不相同的一种规定运算． 新运算的实质是有理数的几种混合运算，关键是观察出用到了哪些运算，要特别注意运算的顺序． (3)图形规律 探索图形规律的实质是用字母表示数，即列代数式．要从不同的角度分析，可用去括号、合并同类项验证规律． 【例 2－1】 符号“§”表示一种运算，它对一些数的运算结果如下：(1)§(1)＝0，§(2)＝1，§(3)＝2，§(4)＝3，… (2)§12＝2，§13＝3，§14＝4，§15＝5，… 利用上面的规律计算：§12 013－§(2 012)． 分析：从(1)中的运算可以看出，当括号内的数是整数时，运算的结果等于括号内的数减去 1，所以§(2 012)＝2 011；从(2)中可以看出，当括号内的数是一个分子是 1 的分数时，运算的结果等于括号内那个数的倒数，所以§12 013＝2 013. 解：§12 013－§(2 012)＝2 013－2 011＝2. 【例 2－2】 观察下列图形及图形所对应的算式，根据你发现的规律计算 1＋8＋16＋24＋…＋8n(n是正整数)的结果为( )． A．(2n＋1)2 B．(2n－1)2 C．(n＋2)2 D．n2 解析：观察图形和下面的式子可以知道，1＋8＝1＋8×1＝9＝32,1＋8＋16＝1＋8×1＋8×2＝52,1＋8＋16＋24＝1＋8×1＋8×2＋8×3＝72，…，其规律是：计算的结果是连续奇数的平方，所以 1＋8＋16＋24＋…＋8n＝(2n＋1)2.故选 A. 答案：A 3．探索规律的应用 常见的探索规律的应用：探索日历中的规律和折叠中的规律． (1)探索日历中的规律 在日历中一般我们可以从横行、竖列、斜列三个方向去寻找规律，当然也可以从其他角度去探索． 4 ①横行：相邻两数相差 1.如左下图所示： ②竖列：相邻两数相差 7.如右上图所示． ③斜列：从左上到右下的斜列相邻两数相差 8；从右上到左下的斜列相邻两数相差 6. ④日历中的 3×3 方框内的规律： 在这 9 个方格中的数的和是中间方框中的数的 9 倍． 若将中间数设为a，则其余 8 个数可按规律如上图所示，则这 9 个数的和即为(a－8)＋(a－7)＋(a－6)＋(a－1)＋a＋(a＋1)＋(a＋6)＋(a＋7)＋(a＋8)＝9a，正好是中间数a的 9 倍． (2)折叠中的规律 将一张纸折叠，每折叠一次就会得到纸的层数、折痕数，将这些数记录下来，找出规律，就可预测当折叠n次后，相应的层数与折痕数． 折叠次数：1,2,3,4,5，…，n. 层数：2,4,8,16,32，…，2n. 平行对折的折痕数： 1,3,7,15,31，…，2n－1. _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ _______________________________________________________ 【例 3－1】 2013 年的元宵节是阳历 2 月 24 日，根据下面的日历，你知道春节和初夕分别是哪一天吗？请你填在下面的横线上： 春节：2 月__________日，除夕：2 月__________日． 解析：根据日历中竖列和横列的规律可以求出．如图，春节与元宵节在同一竖列中，根据竖列中相邻两数相差 7，可知春节比元宵节少 14，即 24－14＝10，春节是 10 日，根据横列中相邻相差 1 的规律，可知除夕是 9 日． 答案：10 9 5 【例 3－2】 将连续的偶数 2,4,6,8，…排列成如右图所示的数表． (1)“十”字框内 5 个数的和，与框内中间的数 18 有什么关系？ (2)若将“十”字框上、下、左、右平移，框住另外 5 个数，这 5 个数还有这样的规律吗？ (3)设中间的数为a，用代数式表示“十”字框内 5 个数之和． 分析：观察对比可以发现：左右相邻两数相差 2，上下相邻两数相差 12.再换另一组数，同样有这样的规律． 解：(1)6＋16＋18＋20＋30＝90，而 90÷18＝5，所以框内 5 个数的和是框内中间的数 18 的 5 倍． (2)将框上、下、左、右平移，任意框住 5 个数，同样有这样的规律． (3)若中间的数为a，则框住的 5 个数分别为a－12，a－2，a，a＋2，a＋12，其中a为偶数，故它们的和为(a－12)＋(a－2)＋a＋(a＋2)＋(a＋12)＝5a. 【例 3－3】 如果将一张长方形的纸，平行对折 7 次，展开后，会有__________条平行折痕，折痕会把这张长方形的纸分成__________个小长方形． 解析：根据折叠中的规律：对折 7 次，即当n＝7 时，平行折痕数为 2n－1＝27－1＝127(条),1 条折痕能把长方形分成 2 个小长方形，2 条能分成 3 个，…，127 条折痕则分成128 个小长方形． 答案：127 128 。