数学金融学第八章总结.doc

数学金融学第八章总结§8.1 证券市场的描述一、预备知识设为概率测度空间(一) 随机变量的概率测度积分定义1.0.0 (1). (1.0.1)(2) 若为非负, () (1.0.2)(3) 若可测,设,,若存在,则称该值为在概率测度空间上的积分,记. (1.0.3)注: 10 ,20 设.30离散型,;连续型,.40 (二) 随机积分1.随机积分定义1.0.1 设、(,或)为随机过程,令其中. 的关于随机积分────存在,. (1.0.4)2. Lebesgue积分定义1.0.2 的Lebesgue积分──=存在. (1.0.5)3. Ito积分定义1.0.3 称一维随机过程(,或)服从标准的始于0的一维Brown运动(简称一维标准的Brown运动),若满足(1) 具有独立增量,即对任何,相互独立;(2) ,在上连续;(3) ,;(4) .注: 若服从Brown运动,则增量具有平稳性,即与分布相同,记为定义1.0.4 设是二阶矩过程, (,或)为一维Brown运动,若存在, 关于的Ito积分───,. (1.0.6)(三) Ito过程和 Ito引理1. Ito过程(1) 设d 维随机变量取值于Rd .设服从d 维正态分布,其中, 则, ① ;② ;③ 为与的相关系数,;④ 为对角矩阵,相互独立;(2) 标准的始于0的维Brown运动.定义1.0.4 称()维随机过程服从标准的始于0的维Brown运动(简称标准的维Brown运动),若满足(1) 具有独立增量,即对任何,相互独立;(2) ,在上连续;(3) ,,I是阶单位矩阵;(4) .注: 10 ,.20 ,.30 相互独立(3) Ito过程: 定义1.0.5 若随机过程满足 (1.0.6)()其中,为带域流的概率空间上的一个d 维标准Brown 运动,其中为Brown 运动生成的自然-域流.则称随机过程为Ito过程(广义布朗运动).2. Ito引理定理1.0.6 (Ito引理)若随机过程为广义Ito过程,且具有二阶连续偏导数,则. (1.0.7)证明: ① . (1.0.8)② ,其中为的高阶无穷小.令,则. (1.0.9)③ , (1.0.10)又 ,其中为的高阶无穷小∴ .▲例 1.0.7 ,均为正常数───几何布朗运动.,. (1.0.11)① , 但.② 可以证明满足(1.0.11)的有,.取,则.▲ (1.0.12)(四) Holder不等式定理1.0.8 (Holder不等式) (1) 若在上Lebesgue可积,则,. (1.0.13)(2) 若 , 则. (1.0.14)(3) 若在上Lebesgue可积,,则. (1.0.15)证明: (1) 所以(2)证明略.(3) .▲例 1.0.9 证明 , (1.0.16)其中, .证明：对于任何有.▲ 二、基本假设和债券、价格过程1. 基本假设定义1.1 称市场M为无摩擦的,如果(1) 资产的交易时间和额度是连续的;(2) 不存在交易费和税收;(3) 对资产的交易没有约束(比如,可以卖空等);(4) 存款与借款的利率相同.2. 债券、股票价格过程记债券的价格过程为,假定:, (1.1)称为时刻t的短期利率.我们记股票的价格过程为,.在内满足 (过程): (1.2) 在方程(1.2)中,为带域流的概率空间上的一个d 维标准Brown 运动,其中为Brown 运动生成的自然-域流,为第i 种股票的平均回报率,称为股票价格的波动系数(它表示第j 种不定因素对第i 种股票价格过程的影响), pi>0第i 种股票的初始价格.我们记,由上面(1.1)和(1.2)可知,当和给定时,债券和股票的价格过程就完全确定了.因此,当和给定时,人们就认为一个(连续时间的)证券市场给定了.我们将用M来记这个市场以强调市场对和的依赖.;;;. (1.3)现在,我们对市场M引人三种可能的假定:(M1) 为-循序可测的有界随机过程.(相空间,对均有)(M2) 为有界可测函数.(M3) 为常数.在上述条件中, (M1)最弱, (M2)其次, (M3)最强,以后,我们总假定市场M至少满足(M1).4. 债券、股票价格的解析式容易知道,在(M1)条件下,常微分方程(1.1)存在惟一解:. (1.4)在引理中取,则(注意由于,我们可以证明,从而有意义.).由及(1.0.7)知,, (1.5)所以,在(Ml)条件下,(1.2)的强解为. (1.6) 从上面(1.6)可见,当时,必有.进一步,我们不难证明: (1.7)需要注意的是,一般而言,对,和未必是有界的,所以 (1.7)第二式中出现的是,而不是.以后,我们称 (1.8)为贴现因子过程,并且对任何-适应过程,我们称为相应于的贴现过程.于是,我们称为贴现资产价格过程,显然.回忆第5章,我们知道,这意味着债券己被取作计价单位.由(1.2)和(1.8)知,故,贴现股票价格过程满足: (1.9)类似于求解(1.2),我们知道,在(Ml)条件下, (1.9)的惟一强解由下式给出:, (1.10) 并且也有:. (1.11)三、证券组合过程和财富过程现在我们来考虑一个投资问题:假定投资者以初始财富调整在时刻t进入市场,该投资者可以在时间区间内选择股票和债券的持有量并可以连续调整.记时刻t投资者持有第i 种资产的股数为,并记时刻t投资者的财富总市值为,则有. (1.12)我们称为一个证券组合过程(也称之为投资策略),为一个财富过程.需要提请读者注意的是,每个从都是允许取负值的,这表示卖空或借款是允许的。

直观地想象,每个都应该是一个阶梯函数,并且是右连续的,因此应该属于的最自然的函数类是右连续的有界变差函数.由干有界变差函数是几乎处处连续的,故每一点的左右极限总是存在的.所以,经过修正以后,总是可以假定似概率1,过程在每一点右连续且存在左极限.我们常用RCLL表示右连续且具有左极限的函数,现在引入,, (1.13)其中,对任何(确定性函数) ,, (1.14) 由 , (1.14.3)故. (1.15) 除了以投资者在时刻t持有资产的股数作为证券组合过程外,我们还有另外一些描述证券组合过程的方式.不同的情况下用不同方式来表示证券组合可以给我们的讨论带来方便.记为该投资者在时刻t 持有第种资产的市值,则. (1.16) 我们也称为一个证券组合过程,易知与可以由下述关系相互确定:. (1.17) 由于每个允许取负值,每个当然也允许取负值,比较自然的每个所属的空间应当是,其中,为某个常数.由于未必是有界的,因此,当时,我们不能保证,反之依然, (因为也不是有界的).所以,在的框架下,和缺乏理想的对等性.下面的命题改观了这种情形,并且还揭示了和之间的一些重要关系.命题1.2 假定(M1)成立,(1) 对于当且仅当;(2) ① 如果,则, (1.18)此处, (1.19)② 对,下述关系式成立: , (1.20) 证明：(1) 对于任何由(1.7), (1.17)和Holde不等式(1.0.15),我们有 , (1.21)从而,可以推出.反过来的证明是类似的,(1)得证.(2) ① 由(1.2)我们有, (1.22)因此,注意到(M1),当时, (1.22)右端的第一项通常的Lebesgue积分存在；而第二项的Ito积分也存在,因为 , (1.23) 其中K > 0为一个绝对常数.如果,则对任何的分割,我们有 , (1.24)上式中,第一项收敛是利用(1.2)以及Lebesgue 积分和Ito 积分的定义.这项收敛是在中的(当)时,所以,也可以认为是以概率1 收敛的.第二项的收敛是对几乎所有的.由Lebesgue- stieltjes积分的定义,于是,(1.20)成立.▲上面(1.20)左端Lebesgue- stieltjes积分的那种写法是出于对端点的考虑.由命题1.2可知当有界时,对所有的,成立.在以后的讨论中,我们将分别采用和作为和所属于的空间.此外,如果记为时刻t 投资者持有第i 种资产的市值占总财富的比,则 (1.25) 我们有时也用作为证券组合过程.需要指出,只有在一定的条件下人们才能用来描述投资者的证券组合过程.比如,我们至少要求财富过程满足: (1.26 ) 关于此。