概率论与数理统计期末考试试题及解答.doc

一、 填空题〔每题3分，共15分〕1． 设事件仅发生一个的概率为，且，那么至少有一个不发生的概率为.解：即所以 2． 设随机变量服从泊松分布，且，那么.答案： 解答： 由 知 即 解得 ，故3． 设随机变量在区间上服从均匀分布，那么随机变量在区间内的概率密度为.答案： 解答：设的分布函数为的分布函数为，密度为那么 因为，所以，即 故 另解 在上函数严格单调，反函数为所以4． 设随机变量相互独立，且均服从参数为的指数分布，，那么，.答案：， 解答： ，故 5． 设总体的概率密度为是来自的样本，那么未知参数的极大似然估计量为.答案： 解答：似然函数为 解似然方程得的极大似然估计为二、 单项选择题〔每题3分，共15分〕1．设为三个事件，且相互独立，那么以下结论中不正确的选项是 〔A〕假设，那么及也独立. 〔B〕假设，那么及也独立. 〔C〕假设，那么及也独立. 〔D〕假设，那么及也独立. 〔 〕答案：〔D〕. 解答：因为概率为1的事件与概率为0的事件及任何事件独立，所以〔A〕，〔B〕，〔C〕都是正确的，只能选〔D〕.SABC 事实上由图 可见A及C不独立.2．设随机变量的分布函数为，那么的值为 〔A〕. 〔B〕. 〔C〕. 〔D〕. 〔 〕 答案：〔A〕 解答： 所以 应选〔A〕.3．设随机变量与不相关，那么以下结论中正确的选项是 〔A〕及独立. 〔B〕. 〔C〕. 〔D〕. 〔 〕 答案：〔B〕解答：由不相关的等价条件知，应选〔B〕.4．设离散型随机变量与的联合概率分布为 假设独立，那么的值为 〔A〕. 〔A〕. 〔C〕 〔D〕. 〔 〕 答案：〔A〕 解答： 假设独立那么有YX 故应选〔A〕.5．设总体的数学期望为为来自的样本，那么以下结论中 正确的选项是 〔A〕是的无偏估计量. 〔B〕是的极大似然估计量. 〔C〕是的相合〔一致〕估计量. 〔D〕不是的估计量. 〔 〕 答案：〔A〕 解答： ，所以是的无偏估计，应选〔A〕.三、 〔7分〕一批产品中90%是合格品，检查时，一个合格品被误认为是次品的概率为0.05，一个次品被误认为是合格品的概率为0.02，求〔1〕一个产品经检查后被认为是合格品的概率； 〔2〕一个经检查后被认为是合格品的产品确是合格品的概率. 解：设‘任取一产品，经检验认为是合格品’ ‘任取一产品确是合格品’那么〔1〕 〔2〕 .四、 〔12分〕 从学校乘汽车到火车站的途中有3个交通岗，假设在各个交通岗遇到红灯的事件是相互独立的，并且概率都是2/5. 设为途中遇到红灯的次数， 求的分布列、分布函数、数学期望与方差. 解：的概率分布为 即 的分布函数为五、 〔10分〕设二维随机变量在区域 上服从均匀分布. 求〔1〕关于的边缘概率密度；〔2〕的分布函数及概率密度.1D01zxy1D1解： 〔1〕的概率密度为 〔2〕利用公式 其中 当 或时xz 时 故的概率密度为 的分布函数为 或利用分布函数法六、 〔10分〕向一目标射击，目标中心为坐标原点，命中点的横坐标与纵坐标相互独立，且均服从分布. 求〔1〕命中环形区域的概率；〔2〕命中点到目标中心距离的数学期望.xy012 解： 〔1〕 〔2〕七、〔11分〕设某机器生产的零件长度〔单位：〕，今抽取容量为16的样本，测得样本均值，样本方差. 〔1〕求的置信度为0.95的置信区间；〔2〕检验假设〔显著性水平为0.05〕. 〔附注〕 解：〔1〕的置信度为下的置信区间为所以的置信度为0.95的置信区间为〔9.7868，10.2132〕 〔2〕的拒绝域为. 因为 ，所以承受.概率论及数理统计期末考试试题〔A〕 专业、班级： 姓名： 学号： 一、 单项选择题(每题3分 共18分)1．D 2．A 3．B 4．A 5．A 6．B题 号一二三四五六七八九十十一十二总成绩得 分一、单项选择题(每题3分 共18分)〔1〕〔2〕设随机变量X其概率分布为 X -1 0 1 2P 0.2 0.3 0.1 0.4 那么〔 〕。

A) (B) 1 (C) 0 (D) 〔3〕设事件及同时发生必导致事件发生，那么以下结论正确的选项是〔 〕〔A〕 〔B〕〔C〕 〔D〕〔4〕〔5〕设为正态总体的一个简单随机样本，其中未知，那么〔 〕是一个统计量 (A) (B) (C) (D) 〔6〕设样本来自总体未知统计假设为 那么所用统计量为〔 〕(A) (B) (C) (D)二、填空题(每空3分 共15分)〔1〕如果，那么 .〔2〕设随机变量的分布函数为那么的密度函数 ， .〔3〕〔4〕设总体与相互独立,且都服从，是来自总体的样本，是来自总体的样本，那么统计量 服从 分布〔要求给出自由度〕二、填空题(每空3分 共15分)1. 2. , 3. 4. 三、(6分) 设 相互独立，，，求.解： 0.88= = (因为相互独立)……..2分 = …………3分 那么 ………….4分 …………6分四、〔6 分〕某宾馆大楼有4部电梯，通过调查，知道在某时刻T，各电梯在运行的概率均为0.7，求在此时刻至少有1台电梯在运行的概率。

解：用表示时刻运行的电梯数， 那么~ ………...2分所求概率 …………4分 =0.9919 ………….6分 五、〔6分〕设随机变量X的概率密度为 ，求随机变量21的概率密度解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分 当时， ………….2分由， 得 …………4分从而的密度函数为 …………..5分= …………..6分 五、〔6分〕设随机变量X的概率密度为 ，求随机变量21的概率密度解：因为是单调可导的，故可用公式法计算 ………….1分 当时， ………….2分由， 得 …………4分从而的密度函数为 …………..5分= …………..6分六、〔8分〕 随机变量与的概率分布为 而且.(1) 求随机变量与的联合分布;(2)判断及是否相互独立解：因为，所以(1)根据边缘概率及联合概率之间的关系得出 -1 0 101000 ………….4分(2) 因为 所以 及不相互独立 …………8分七、〔8分〕设二维随机变量的联合密度函数为求：〔1〕；〔2〕求的边缘密度。

解：〔1〕 …………..2分 = =[] ………….4分〔2〕 …………..6分 ……………..8分八、〔6分〕一工厂生产的某种设备的寿命〔以年计〕服从参数为的指数分布工厂规定，出售的设备在售出一年之内损坏可予以调换假设工厂售出一台设备盈利100元，调换一台设备厂方需花费300元，求工厂出售一台设备净盈利的期望解： 因为 得 ………….2分用表示出售一台设备的净盈利 …………3分那么 ………..4分所以 〔元〕 ………..6分九、〔8分〕设随机变量及的数学期望分别为与2，方差分别为1与4，而相关系数为，求解：那么 ……….4分 ……….5分 ……….6分=12 …………..8分十、〔7分〕设供电站供给某地区1 000户居民用电，各户用电情况相互独立。

每户每日用电量〔单位：度〕服从[0，20]上的均匀分布，利用中心极限定理求这1 000户居民每日用电量超过10 100度的概率〔所求概率用标准正态分布函数的值表示〕.解：用表示第户居民的用电量，那么 ………2分那么1000户居民的用电量为，由独立同分布中心极限定理 。