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第八章《相量法》1、正弦交流电源2、正弦交流电路 相 量 法重 点3、电路元件相量形式的VAR电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用§8 — 1 正弦交流电的基本概念正弦交流电的基本概念NSººI AX一、正弦交流电源正弦交流电源定义定义：大小大小、、方向方向随时间作正弦周期性变化的电源随时间作正弦周期性变化的电源1、产生2、表示方法u(t)=Umcos(  t + u u )i(t)=Imcos(  t + i i)瞬时值瞬时值波形图波形图0u  t uUmT••电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用3、、 正弦量的三要素：正弦量的三要素：(1) 幅值幅值 (amplitude) (振幅、振幅、 最大值、峰最大值、峰 值值) Im、、(2) (2) 角频率角频率(angular frequency)  单位：单位： rad/s(3) 初相位初相位(initial phase angle)  (  t +  ) 相位相位 Um反映正弦量的大小反映正弦量的变化速度反映正弦量的初始位置规定：规定： |   |     (180°)电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同。

同一个正弦量，计时起点不同，初相位不同ti0一般规定：一般规定：|  |   =0  =?  = /2电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用二、正弦交流电的优点正弦交流电的优点1、、容易产生、传送、分配正弦世界）容易产生、传送、分配正弦世界）2、、发电机性能稳定，便于调速发电机性能稳定，便于调速3、、正弦信号经各种处理，仍为正弦量正弦信号经各种处理，仍为正弦量 （如：四则运算、微分、积分）（如：四则运算、微分、积分）三、正弦交流电路正弦交流电路电源：电源：同频率同频率的正弦交流电源的正弦交流电源负载：能够反映正弦交流电路中热、磁、场效应的负载：能够反映正弦交流电路中热、磁、场效应的 线性元件线性元件R、、L、、C、、M 等特点特点：电路中的响应均为同频率的正弦量电路中的响应均为同频率的正弦量电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用§8 — 2 正弦交流电量的比较及运算正弦交流电量的比较及运算一、同频率正弦量的相位差一、同频率正弦量的相位差 (phase difference)设设 u(t)=Umcos(  t+  u), i(t)=Imcos(  t+  i) 相位差相位差 j j = (  t+  u)- - (  t+  i)=   u- -  ij>0，， u 领先领先(超前超前)i ，， 或或i 落后落后(滞后滞后) u。

  tu, iu i u ij j0j<0，， i 领先领先(超前超前) u，， 或或u 落后落后(滞后滞后) i定义定义：相位比较相位比较电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用  = 0 ，， 同相同相  =     (  180o ) ，，反相反相特殊相位关系：特殊相位关系：  = + 90° 正交正交   tu, iu i0  tu, iu i0  tu, iu i0电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用有效值也称有效值也称方均根值方均根值(root-meen-square，，简记为简记为 rms)二二. 正弦量的有效值正弦量的有效值(effective value)W2=I 2RTRi(t)RI物理含义物理含义大小比较大小比较1. 交流量交流量 有效值定义有效值定义• • •00=Ii电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用2. 正弦交流电流、电压的有效值正弦交流电流、电压的有效值设设 i(t)=Imsin(  t +   )注意注意:只适用正弦量只适用正弦量有效值有效值交流电表显示量一般为交流电表显示量一般为有效值有效值电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用三三. 正弦量的运算正弦量的运算已知：i(t)=3  2mcos(  t + 3030 ) °AR=2 , C=100 f, L=3H, 求：电压 u(t)。

解：三角函数的直接运算不方便三角函数的直接运算不方便u = u R+ u L+ u C =2 3  2mcos(  t + 3030 ) °+3   3       2mcos(  t + 120120 ) °+1000   3  2mcos(  t - 6060 ) ° iR++Ldtdi1cidt=Ri(t)u(t)L+- -C电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用§8 — 3 相量法的基本概念相量法的基本概念相量法：相量法：（上题上题）？？？？变 换原电路原电路相量等效电路相量等效电路uu = u R+ u L+ u C U = U R+ U L+ U C •••••U还 原变变 换换 法法电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用一、正弦量的相量表示一、正弦量的相量表示a) 复数复数 A 表示形式表示形式：：1 1、、复数及运算复数及运算Ab+1ja0 |A|代数形式代数形式极坐标形式极坐标形式b) 复数运算复数运算A1±A2=(a1±a2)+j(b1±b2)(1)加减运算加减运算——代数形式代数形式(2)乘除运算乘除运算——极坐标形式极坐标形式电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用* 旋转因子旋转因子复数复数 ej = cos  t+ jsin  t = 1∠∠ t  t模为1角为 t旋转矢量旋转矢量j A sin （（ t+   ））复数复数 ej t =Aej t=A cos（（ t +   ））+复函数复函数旋转矢量在横轴的投影旋转矢量在横轴的投影与正弦量与正弦量A cos（（ t +   ））相似相似可以用复数表示正弦量。

可以用复数表示正弦量表示正弦量的复数称表示正弦量的复数称相量相量1j0  电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用c)正弦量的相量表示正弦量的相量表示:相量的模表示正弦量的有效值或最大值相量的模表示正弦量的有效值或最大值相量的幅角表示正弦量的初相位相量的幅角表示正弦量的初相位例题例题1 1. .解解：：已知已知试用相量表示试用相量表示 i, u 相量相量 正弦量正弦量相量图相量图  i  u电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用2 2、、相量运算相量运算a)加、减、乘、除运算（略）同同频频正正弦弦量量的的加加、、减减运运算算可可借借助助相相量量图图进进行行相相量量图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析图在正弦稳态分析中有重要作用，尤其适用于定性分析1+JA1A2AA1A1+A2=A平行四边形法则电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用 b) 正弦量的微分，积分运算 Ii•若：若：Ijdtdi •jidt I•则：则：例题例题2 2、（、（R—L—CR—L—C串联电路）串联电路）u = u R+ u L+ u C =2 3  2cos(  t + 3030 ) °+3   3       2cos(  t + 120120 ) °+1000   3  2cos(  t - 6060 ) ° iR++Ldtdi1cidt= I•U = U R+ U L+ U C••••=R+j   L I• I•+j   c电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用相量法小结相量法小结：：①① 正弦量正弦量相量相量时域时域 频域频域②② 相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路。

相量法只适用于激励为同频正弦量的非时变线性电路③③ 相量法用来分析正弦稳态电路相量法用来分析正弦稳态电路N线性线性N线性线性 1 2非非线性线性 不适用不适用正弦波形图正弦波形图相量图相量图电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用例例1. 解：解：例例2. 解：解：电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用二、相量形式的电路定律及元件的二、相量形式的电路定律及元件的VAR特性特性1、、 基尔霍夫定律的相量形式基尔霍夫定律的相量形式 = = 0 U• = =0I• = == =0)(0)(tuti  设：各电压、电流为同频率的设：各电压、电流为同频率的 正弦交流量正弦交流量2、、 元件元件VAR特性的相量形式特性的相量形式a)电压源、电流源电压源、电流源+-°°usUs•+-°°is°°°°s•I电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用b)电阻电阻相量形式相量形式VAR ：：uR(t)i(t)R+- -)()(= =)cos(2  + += =tRItRituR)cos(2)(   + += =tIti相量模型相量模型R+- -RUI••时域模型时域模型时时 域域频频 域域  tu, iu i0波形图波形图R= =I•UR• UR•I•相量图相量图有效值关系有效值关系：：UR = RI相位关系相位关系：：其中其中：j=0u , i 同相同相 = = RIUR•  • = =II 电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用时时 域域频频 域域i(t)uL (t)L+- -时域模型时域模型  tu, iu i0波形图波形图c) 电感电感tIti cos2)(=)90COS(2d)(d)(o+==tILttiLtu  有效值关系有效值关系:U=  L I相位关系相位关系:其中其中：j=90°u 超前超前 i 90°相量形式相量形式VAR ：：  L= = jI•UL•UI相量图相量图•••j L相量模型相量模型+- -ULI•ILU j=o0= II •••电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用感抗的物理意义：感抗的物理意义：(1) 表示电感限制电流的能力；表示电感限制电流的能力；(2) 感抗和频率成正比。

感抗和频率成正比 XLXL= U/I =  L= 2  f L，， 单位单位: 欧欧设：设：感抗感抗— XL(3) 由于由于感抗的存在使电流落后电压感抗的存在使电流落后电压注意：注意：XL   （（L 一定一定））XL  L （（   一定一定））IUL = ••电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用d) 电容电容时时 域域频频 域域cos tUtu 2)(=  tu, iu i0波形图波形图时域模型时域模型i (t)uc(t)C+- -相量模型相量模型)90cos(2d)(d)(o+==tCUttuCti  相量图相量图•IU•IU+- -••其中其中：有效值关系有效值关系:I=  C U相位关系：相位关系：j=-90°i 超前超前u 90°相量形式相量形式VAR ：：=- =- jI•UC• C1 o0=UU•UCI j=••电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用容抗的物理意义：容抗的物理意义：(1) 表示电容限制电流的能力；表示电容限制电流的能力；(2) 容抗和频率成反比容抗和频率成反比。

单位单位: 欧欧设：设：容抗容抗— XC(3) 由于由于容抗的存在使电压落后电流容抗的存在使电压落后电流CXC 1=XC （（   一定一定））CXL  （（C 一定一定）） CX , 0 , , ),(0C短路短路开路开路直流直流￿￿=CXX      注意：注意：IUC= 1••电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用三三. 电路的相量模型电路的相量模型 (phasor model )时域列写微分方程时域列写微分方程频域列写相量形式代数方程频域列写相量形式代数方程LCRuSiLiCiR+- -时域电路时域电路C j•••RCLIII+=Sj1UICILjCL=+  CRIIR1=•••••相量模型相量模型j  L1/j CSULICIRIR+- -••••= = 0 U• = =0I• = == =0)(0)(tuti  电路第五版原著邱关源修订罗先觉(内蒙古工业大学用。