20届高考数学一轮复习讲义(提高版) 专题10.8 椭圆双曲线抛物线的弦长（解析版）doc.docx

第八讲 椭圆双曲线抛物线的弦长【套路秘籍】---千里之行始于足下1.圆锥曲线的弦长公式设斜率为k〔k≠0〕的直线l与圆锥曲线C相交于A，B两点，A〔x1，y1〕，B〔x2，y2〕，那么2.求解弦长的四种方法〔1〕当弦的两端点坐标易求时，可直接利用两点间的距离公式求解．〔2〕联立直线与圆锥曲线方程，解方程组求出两个交点坐标，代入两点间的距离公式求解．〔3〕联立直线与圆锥曲线方程，消元得到关于x或y的一元二次方程，利用根与系数的关系得到〔x1－x2〕2或〔y1－y2〕2，代入两点间的距离公式．〔4〕当弦过焦点时，可结合焦半径公式求解弦长．【注意】利用弦长公式求弦长要注意斜率k不存在的情形，假设k不存在，可直接求交点坐标再求弦长．涉及焦点弦长时要注意圆锥曲线定义的应用．　【修炼套路】---为君聊赋《今日诗》，努力请从今日始考向一 直线与椭圆的弦长【例1】〔1〕如图，已经知道斜率为1的直线l过椭圆C：的下焦点，交椭圆C于A，B两点，求弦AB的长．〔2〕已经知道点P(4,2)是直线l被椭圆＋＝1所截得的线段的中点．(1)求直线l的方程．(2)求直线l被椭圆截得的弦长．【答案】见解析【解析】〔1〕设A，B的坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)由椭圆方程知，，所以所以椭圆的下焦点F的坐标为F(0，－2)，故直线l的方程为y＝x－2将其代入，化简整理得，所以，所以(2)解法一　根与系数关系法由题意可设直线l的方程为y－2＝k(x－4)，而椭圆的方程可以化为x2＋4y2－36＝0．将直线方程代入椭圆方程有(4k2＋1)x2－8k(4k－2)x＋4(4k－2)2－36＝0．所以x1＋x2＝＝8，解得k＝－．所以直线l的方程为y－2＝－(x－4)即x＋2y－8＝0．解法二：点差法设直线l与椭圆的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，所以两式相减，有(x1＋x2)(x1－x2)＋4(y1＋y2)(y1－y2)＝0．又x1＋x2＝8，y1＋y2＝4，所以＝－，即k＝－．所以直线l的方程为x＋2y－8＝0．【套路总结】一.解决直线与椭圆的交点问题常常利用设而不求和整体代入的方法，解题步骤为：设点：设直线与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)；‚联立：联立直线与椭圆的方程，消元得到关于x或y的一元二次方程；ƒ韦达：利用根与系数的关系设而不求；④代入：利用题干中的条件转化为x1＋x2，x1x2或y1＋y2y1y2，进而求解二.利用“点差法〞求弦长〔一〕前提：已经知道弦长中点求弦长所在直线方程斜率-----点差法〔二〕解题思路设点：设直线与椭圆的交点为(x1，y1)，(x2，y2)‚代入：将两个交点分别代入椭圆方程得到两道方程，两道方程相减ƒ化简：相减后整理成两点求斜率的形式，当焦点在x轴时，焦点在y轴时【举一反三】1.椭圆x236+y29=1和点P4,2，直线l经过点P且与椭圆交于A,B两点．〔1〕当直线l的斜率为12时，求线段AB的长度；〔2〕当P点恰好为线段AB的中点时，求l的方程．【答案】(1)310;(2)x+2y-8=0.【解析】(1)直线l的方程为y-2=12(x-4)，即为y=12x，代入椭圆方程x2+4y2=36，可得x=32，y=322．即有|AB|=(62)2+(32)2=310；(2)由P的坐标，可得1636+49<1，可得P在椭圆内，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，那么x1236+y129=1，①x2236+y229=1，②由中点坐标公式可得x1+x2=8，y1+y2=4，③由①-②可得，(x1-x2)(x1+x2)36+(y1-y2)(y1+y2)9=0，④将③代入④，可得kAB=y1-y2x1-x2=-12，那么所求直线的方程为y-2=-12(x-4)，即为x+2y-8=0．2．已经知道椭圆C:x23+y2=1内有一条以点P(1,13)为中点的弦AB，那么直线AB的方程为 .【答案】3x+3y-4=0【解析】设A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么x1+x22=1，y1+y22=1由A，B在椭圆上可得x123+y12=1，x223+y22=1,两式相减可得，(x1-x2)(x1+x2)3+(y1-y2)(y1+y2)1=0∴KAB=y1-y2x1-x2=-(x1+x2)3（y1+y2）=-23⋅23=-1直线AB的方程为y-13=-1(x-1)即3x+3y-4=0.考向二 直线与双曲线的弦长【例2】已经知道双曲线： .〔1〕已经知道直线与双曲线交于不同的两点，且，求实数的值；〔2〕过点作直线与双曲线交于不同的两点，假设弦恰被点平分，求直线的方程.【答案】(1) m=2 (2) 4x﹣y﹣2=0【解析】〔Ⅰ〕分别设A，B的坐标为〔x1，y1〕，〔x2，y2〕由，消y可得，x2﹣4mx+2〔m2﹣1〕=0，∴x1+x2=4m，x1•x2=2〔m2﹣1〕，∴|x1﹣x2|2=〔x1+x2〕2﹣4x1•x2=16m2﹣8〔m2﹣1〕=8〔m2+1〕，∴|AB|=4，解得m=2，〔Ⅱ〕分别设M，N的坐标为〔x3，y3〕，〔x4，y4〕，可得y32﹣x32=1，y42﹣x42=1，两式相减，可得〔y3﹣y4〕〔y3+y4〕=〔x3﹣x4〕〔x3+x4〕，由点P〔1，2〕为MN的中点，可得x3+x4=2，y3+y4=4，∴4〔y3﹣y4〕=2〔x3﹣x4〕，∴kMN=4 经检验即直线l的方程为y﹣2=4〔x﹣1〕，即为4x﹣y﹣2=0【举一反三】1.已经知道双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程. 【答案】3x＋4y－5＝0.【解析】解法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝.∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－.当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.解法二：　设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴两式相减，得＝y－y，∴＝.∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝＝＝－.经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.2.过双曲线x2-y23=1的左焦点F1，作倾斜角为π6的直线AB，其中A,B分别为直线与双曲线的交点，那么AB的长为________．【答案】3【解析】因为双曲线方程为x2-y23=1，所以左焦点F1（-2，0），因为直线AB的倾斜角为π6，所以直线斜率为33，直线AB的方程为y=33x+2，代入x2-y23=1可得8x2-4x-13=0,x1+x2=12,x1x2=-138所以AB=1+13x1-x2=233x1+x22-4x1x2=233122-4-138=3，故答案为3.3．已经知道双曲线2x2-y2=2，那么以点A2,3为中点的双曲线的弦所在的直线方程为______.【答案】4x-3y+1=0【解析】设以A〔2，3〕为中点的弦两端点为P1〔x1，y1〕，P2〔x2，y2〕，那么x1+x2＝4，y1+y2＝6．又2x12-y12=2，①2x22-y22=2，②①﹣②得：2〔x1+x2〕〔x1﹣x2〕＝〔y1+y2〕〔y1﹣y2〕，又由对称性知x1≠x2，∴A〔2，3〕为中点的弦所在直线的斜率k=y1-y2x1-x2=2（x1+x2）y1+y2=246=43，所以中点弦所在直线方程为y﹣3＝43〔x﹣2〕，即4x-3y+1=0．故答案为：4x-3y+1=0．考向三抛物线与直线的弦长【例3】〔1〕斜率为的直线经过抛物线的焦点，且与抛物线相交于A，B两点，那么_______；（2） 过抛物线的焦点F的直线交抛物线于A，B两点，假设，，那么____．【答案】〔1〕10；〔2〕【解析】〔1〕设A〔x1,y1〕,B(x2,y2),那么对于抛物线x2=8y,焦点弦长因为抛物线的焦点坐标为〔0,2〕，，所以直线AB的方程为将代入抛物线方程，得〔2〕设，，，显然直线AB的斜率存在，设为将直线方程与抛物线方程联立，消去y得①，那么因为，所以，方程①即解得，，故【举一反三】1．已经知道抛物线y2＝6x，过点P(4，1)引一条弦P1P2使它恰好被点P平分，求这条弦所在的直线方程及|P1P2|.【答案】3x－y－11＝0 【解析】设直线上任意一点坐标为(x，y)，弦两端点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)．∵P1，P2在抛物线上，∴y＝6x1，y＝6x2.两式相减，得(y1＋y2)(y1－y2)＝6(x1－x2)．∵y1＋y2＝2，∴k＝＝＝3，∴直线的方程为y－1＝3(x－4)，即3x－y－11＝0.由得y2－2y－22＝0，∴y1＋y2＝2，y1y2＝－22.∴|P1P2|＝ ＝.2．已经知道直线l经过抛物线y2＝6x的焦点F，且与抛物线相交于A、B两点．(1)假设直线l的倾斜角为60，求|AB|的值；(2)假设|AB|＝9，求线段AB的中点M到准线的距离．【答案】〔1〕8 〔2〕 【解析】(1)因为直线l的倾斜角为60，所以其斜率k＝tan 60＝.又F.所以直线l的方程为y＝.联立消去y，得x2－5x＋＝0.假设设A(x1，y1)，B(x2，y2)．那么x1＋x2＝5，而|AB|＝|AF|＋|BF|＝＋＝x1＋x2＋p.∴|AB|＝5＋3＝8.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由抛物线定义知，|AB|＝|AF|＋|BF|＝x1＋＋x2＋＝x1＋x2＋p＝x1＋x2＋3＝9，所以x1＋x2＝6，于是线段AB的中点M的横坐标是3，又准线方程是x＝－，所以M到准线的距离等于3＋＝.【运用套路】---纸上得来终觉浅,绝知此事要躬行1. 假设椭圆x2+4y2=36的弦被点〔4，2〕平分，那么此弦所在直线方程为 。

答案】x+2y-8=0【解析】设A(4,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2)，因为A(4,2)为EF中点，所以x1+x2=8,y1+y2=4，把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆x2+4y2=36，得x12+4y12=36x22+4y22=36，两式相减得：(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0，所以8(x1-x2)+16(y1-y2)=0，所以k=y1-y2x1-x2=-12，所以以A(4,2)为中点椭圆的弦所在的直线方程为：y-2=-12(x-4)，整理得x+2y-8=0，2. 已经知道双曲线 ，直线交双曲线于两点，假设的中点坐标为，那么l的方程为 答案】 【解析】设 ，那么 所以 .3. 已经知道双曲线中心在原点且一个焦点为F〔，0〕，直线与其相交于M、N两点，MN中点的横坐标为，那么此双曲线的方程是 答案】【解析】由题意设该双曲线方程为，且， ， 的中点为，那么且，那么，即，联立，得，即该双曲线方程为；4．经过点作直。