晶体的对称性和分类.ppt

第三节第三节 晶体的对称性和分类晶体的对称性和分类本节主要内容本节主要内容: :一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作二、晶体的微观对称性和微观对称操作二、晶体的微观对称性和微观对称操作三、群和晶体结构的分类三、群和晶体结构的分类 物体的性质在不同方向或位置上有规律地重物体的性质在不同方向或位置上有规律地重复出现的现象称为复出现的现象称为对称性对称性 对称性的对称性的本质是本质是指系统中的指系统中的一些要素是等一些要素是等价的价的，它可使复杂物理现象的描述变得简单、，它可使复杂物理现象的描述变得简单、明了因为对称性越高的系统，需要独立表征明了因为对称性越高的系统，需要独立表征的系统要素就越少，因而描述起来就越简单，的系统要素就越少，因而描述起来就越简单，且能大大简化某些计算工作量且能大大简化某些计算工作量 我们这里要讨论的主要是我们这里要讨论的主要是晶体（晶格或点阵晶体（晶格或点阵) )的对称性的对称性(symmetry of lattice). .一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作 晶体的对称性晶体的对称性可以从晶体外形的规则性上反映可以从晶体外形的规则性上反映出来出来,如如sc、、bcc、、fcc结构的立方晶体结构的立方晶体,绕晶胞的任绕晶胞的任一一基矢轴旋转基矢轴旋转π/2或或π/2的整数倍的整数倍的操作的操作,都能使晶都能使晶体的体的外形保持不变外形保持不变,这就是这就是晶体的对称性晶体的对称性. 操作前后晶体保持自身重合的操作操作前后晶体保持自身重合的操作,称为称为对称对称操作操作. 晶体借以进行对称操作的晶体借以进行对称操作的轴轴、、平面平面或或点点.称为称为对对称元素称元素（简称（简称对称素对称素））. 这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上这种对称性不仅表现在晶体的几何外形上,而且而且反映在晶体的宏观物理性质中反映在晶体的宏观物理性质中,称为称为晶体的宏观晶体的宏观对称性对称性. 一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作一、晶体的宏观对称性和宏观对称操作 1. 概念解释概念解释 晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性就是晶体外形所包围的就是晶体外形所包围的点点阵结构的对称性阵结构的对称性. 晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性，晶体的宏观对称性来源于点阵结构的对称性，相应的宏观对称操作是一种相应的宏观对称操作是一种非平移对称操作非平移对称操作。

晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描晶体结构可以用布拉维格子或布拉维点阵来描述述,这样以来这样以来,晶体变为无限大的空间点阵晶体变为无限大的空间点阵.从而从而,晶晶体具有了平移对称性体具有了平移对称性,借助于点阵平移矢量借助于点阵平移矢量,晶格晶格能够完全复位能够完全复位.我们把考虑平移后的对称性称为我们把考虑平移后的对称性称为晶体的晶体的微观对称性微观对称性. 由于晶体的宏观对称操作不包含平移由于晶体的宏观对称操作不包含平移,所以宏所以宏观对称操作时观对称操作时,晶体至少保持有一个点不动晶体至少保持有一个点不动,相应相应的对称操作又称为的对称操作又称为点对称操作点对称操作. 2. 对称操作的变换矩阵对称操作的变换矩阵 从数学角度来看从数学角度来看,晶体的点对称操作实质上是对晶体的点对称操作实质上是对晶体进行一定的晶体进行一定的几何变换几何变换,它使得晶体中的某一它使得晶体中的某一点点 写成写成矩阵形式矩阵形式，则有，则有其中：其中：A为变换矩阵为变换矩阵,由于点对称操作由于点对称操作不改变两点间的不改变两点间的距离距离,所以易证所以易证A是一个是一个正交矩阵正交矩阵.亦即满足亦即满足两点间的距离不变两点间的距离不变,即即用矩阵表示即用矩阵表示即得证得证.以上证明显示以上证明显示, ,如果晶体在某如果晶体在某正交变换正交变换下不变下不变, ,就称这个就称这个正交变换正交变换是晶体的一个是晶体的一个点对称操作点对称操作. .（（1）绕某一轴的旋转）绕某一轴的旋转(rotation about an axis)三维晶体的点对称操作通常总可以表示为绕某三维晶体的点对称操作通常总可以表示为绕某一轴的旋转、对某中心的反演和它们的组合一轴的旋转、对某中心的反演和它们的组合. .点对称操作对应的变换矩阵点对称操作对应的变换矩阵A A的具体形式的具体形式比如：绕比如：绕x轴的旋转，设转角为轴的旋转，设转角为θ，则有：，则有：同理可得绕同理可得绕y轴和绕轴和绕z轴的变换矩阵轴的变换矩阵所以，所以，绕绕x x轴旋转的轴旋转的变换矩阵为变换矩阵为：：且矩阵行列式且矩阵行列式均为：均为：（（2）中心反演）中心反演(inversion through a point) 如果如果,晶体有对称中心晶体有对称中心,则中心反演也是对称操则中心反演也是对称操作作. 对原点的反演使得对原点的反演使得 (x, y, z) → (-x, -y, -z)，即：，即：(3) 镜面反映镜面反映(Reflection across a plane) 一个镜面反映对称操作一个镜面反映对称操作(symmetry operation of mirror image)意味着将点阵对应于某一个面进意味着将点阵对应于某一个面进行反射行反射,点阵保持不变点阵保持不变.这表明这表明一系列格点对应于一系列格点对应于这个反射面的位置是等价的这个反射面的位置是等价的,点阵具有镜面反射点阵具有镜面反射对称性对称性.如如以以xy面为镜面面为镜面，则，则(x, y, z) →(x, y, -z)。

用矩阵形式表示，则有用矩阵形式表示，则有 当变换是当变换是纯转动纯转动时，时，矩阵的行列式矩阵的行列式等于等于+1；当；当是是空间反演空间反演或或镜面反射镜面反射时等于时等于-1. 前一种对应物前一种对应物体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动体的实际运动，另一种不能靠物体的实际运动来实现 3. 宏观对称操作和宏观对称元素宏观对称操作和宏观对称元素 绕固定轴的转动绕固定轴的转动(rotation about an axis)、、中中心反演心反演(inversion through a point)和和镜面反映镜面反映 (Reflection across a plane)是晶体中的三种是晶体中的三种基本基本的点对称操作的点对称操作相应的对称元素对称元素有有:对称轴、对对称轴、对称中心、对称面称中心、对称面 一个晶体的一个晶体的对称操作愈多对称操作愈多,就表明它的就表明它的对称性愈高对称性愈高. 但但是是,由于由于晶体的宏观对称性晶体的宏观对称性是受到是受到微观周期性微观周期性的的制约和制约和影响影响,所以所以,晶体的宏观对称元素不是任意的晶体的宏观对称元素不是任意的. 对于对于旋转对称操作旋转对称操作(rotational symmetry operation)来来说，由于说，由于晶体周期性的限制晶体周期性的限制，转角，转角θ只能是只能是2π/n，，n=1、、2、、3、、4和和6。

晶体只能具有晶体只能具有有限个数有限个数的宏观对称操作或对称元素，的宏观对称操作或对称元素，对称元素的对称元素的组合也是一定的组合也是一定的，这称为晶体的，这称为晶体的宏观对称宏观对称性破缺性破缺 如果一个晶体如果一个晶体绕某轴旋转绕某轴旋转2π/n及其倍数不变及其倍数不变，称，称该轴该轴为为n次（或次（或n度）旋转轴度）旋转轴 晶体中允许的转动对称轴只能是晶体中允许的转动对称轴只能是1、、2、、3、、4和和6次轴，次轴，称为称为晶体的对称性定律晶体的对称性定律 晶体的对称性定律的证明晶体的对称性定律的证明 如果如果绕绕A A转转 角角, ,晶格保持不变晶格保持不变( (对称操作对称操作).).则则该操作将使该操作将使B B 格点转到格点转到 位置位置, ,则由于转动对称则由于转动对称操作不改变格子操作不改变格子, ,在在 处必定原来就有一个格点处必定原来就有一个格点因为因为B 和和A 完全等价完全等价, ,所有旋转同样可以绕所有旋转同样可以绕B 进行进行. .如图如图, ,A为格点为格点, ,B为离为离A最近的最近的格点之一格点之一, ,则与则与 平行的格平行的格点之间的距离一定是点之间的距离一定是 的的整数倍整数倍。

由此可设想绕由此可设想绕B B 转转 角，这将使角，这将使A 格点转到格点转到 的的位置同样位置同样 处原来也必定有一个格点处原来也必定有一个格点  亦即亦即：：而且而且, ,m必须为整数必须为整数, ,所以所以, ,m只能取只能取 -1,0,1,2,3由于由于 组成等腰梯形组成等腰梯形, ,m为整数为整数  因此因此与与m=-1,0,1,2,3相应的转角为相应的转角为: : 通常把晶体中通常把晶体中轴次最高的转动轴轴次最高的转动轴称作称作主对称轴主对称轴，简，简称称主轴主轴 ( (但是立方晶系则以但是立方晶系则以3 3次轴为主轴次轴为主轴),),其它为其它为副轴副轴. . 晶体的对称操作除了晶体的对称操作除了旋转、中心反演和镜面反映旋转、中心反演和镜面反映3种基种基本对称操作外，在某些晶体中还存在着本对称操作外，在某些晶体中还存在着等价于相继进行等价于相继进行两个基本对称操作两个基本对称操作(乘法乘法)而得到的独立对称操作而得到的独立对称操作，称为，称为组合操作组合操作，从而出现，从而出现新的对称元素新的对称元素 上述操作称为上述操作称为非纯旋转操作非纯旋转操作。

如果一个晶体如果一个晶体先绕某轴旋转先绕某轴旋转2π/n，再进行，再进行中心反演中心反演后，后，晶体保持不变，称该轴为晶体保持不变，称该轴为n次（或次（或n度）度）旋转反演轴旋转反演轴，，记为记为 由于晶体周期性的限制，由于晶体周期性的限制，旋转反演轴旋转反演轴也必须遵循也必须遵循晶体晶体的对称性定律的对称性定律 ，即：，即：旋转旋转--反演对称轴并不都是独立的基本对称素反演对称轴并不都是独立的基本对称素12123456121次旋转反演轴就等价于对称中心次旋转反演轴就等价于对称中心i 2次旋转反演轴就等价于垂直于该轴的对称镜面次旋转反演轴就等价于垂直于该轴的对称镜面m 3次旋转反演轴就等价于次旋转反演轴就等价于3次纯旋转轴加上对称中心次纯旋转轴加上对称中心,记记为为ABDCEFGH只有具有只有具有4次旋转反演轴的晶体次旋转反演轴的晶体,既既没有没有4次纯旋转轴次纯旋转轴,也没有对称中心也没有对称中心i，但包括一个与，但包括一个与4次旋转反演轴重次旋转反演轴重合的合的2次轴次轴.6=3+m1234566'6次旋转反演轴等价于次旋转反演轴等价于3次纯旋转次纯旋转轴加上垂直于该轴的对称镜面轴加上垂直于该轴的对称镜面m，记为，记为所以所以旋转反演轴旋转反演轴中只有中只有 是独立的对称素是独立的对称素旋转反演对称操作中只有旋转反演对称操作中只有4 4度度旋转反演旋转反演对称操作是独立的对称操作是独立的 晶体中独立的宏观对称操作晶体中独立的宏观对称操作 (或对称元素或对称元素)只有只有8种种, 即：即：1、、2、、3、、4、、6、、i、、m、、 。

其中数字其中数字n(1、、2、、3、、4、、6)表示表示纯转动对称操作纯转动对称操作(或转动轴或转动轴)；；i表示中心反演表示中心反演（或对称中心）；（或对称中心）；m表示镜面反映（或对称镜面）表示镜面反映（或对称镜面）1234 还有一些其它的组合操作，还有一些其它的组合操作，如如旋转旋转+ +镜面反映镜面反映，但不再给，但不再给出新的对称元素出新的对称元素 这种表示方法属于这种表示方法属于国际符号国际符号(International notation)标记法，是海尔曼标记法，是海尔曼(Hermann)和毛衮和毛衮(Mauguin)制订的，在制订的，在晶体结构分析中晶体结构分析中经常使用经常使用 还有一套标记法，是还有一套标记法，是固体物理中惯用的标记固体物理中惯用的标记，，是熊夫利是熊夫利(Schoenflies)制订的，因此称为制订的，因此称为熊夫利熊夫利符号符号(Schoenflies notation). 熊夫利符号中熊夫利符号中Cn 表表示旋转轴；示旋转轴；Sn 表示旋转反演轴；表示旋转反演轴；Ci 表示中心反表示中心反演；演；Cs 表示镜面反映表示镜面反映 总之，总之，晶体的所有点对称操作晶体的所有点对称操作都可由这都可由这8 8种操种操作或它们的组合来完成。

作或它们的组合来完成 晶体中晶体中8种独立的宏观对称元素（或对称操作）种独立的宏观对称元素（或对称操作）用用熊夫利符号标记熊夫利符号标记则为则为C1，，C2，，C3，，C4，，C6 ，，Ci，，Cs，，S4 例如立方对称有例如立方对称有三条三条4次轴次轴<100>，绕每个，绕每个4次轴次轴旋转旋转π/2、、π、、3π/2都是对称操作，这样对于三条都是对称操作，这样对于三条4次轴，共有次轴，共有9个个对称操作对称操作；还有；还有四条四条3次轴次轴<111>（空间对角线），绕每个（空间对角线），绕每个3次轴旋转次轴旋转2π/3、、4π/3都是对称操作，这样对于四条都是对称操作，这样对于四条3次轴，共有次轴，共有8个个对称操作对称操作；再就是；再就是六条六条2次轴次轴<110>（面对角（面对角线），绕每个线），绕每个2次轴旋转次轴旋转π都是对称操作，这样都是对称操作，这样对于六条对于六条2次轴，共有次轴，共有6个个对称操作；对称操作；不动不动（旋（旋转转2π）本身也是）本身也是1个个对称操作所以对称操作所以纯旋转操作纯旋转操作加起来共加起来共24个个，由于立方对称有对称中心，所，由于立方对称有对称中心，所以纯旋转操作加上中心反演的组合操作，即以纯旋转操作加上中心反演的组合操作，即非非纯旋转操作纯旋转操作共共24个个，合起来，合起来48个个。

 由于把立方体相间的四个顶点连接起来就构由于把立方体相间的四个顶点连接起来就构成了正四面体，所以，成了正四面体，所以，正四面体所有对称素和正四面体所有对称素和对称操作包含于立方体中对称操作包含于立方体中由于正四面体没有正四面体没有对称中心对称中心，立方对称的三条，立方对称的三条4次轴次轴<100>和对称和对称中心退化为中心退化为四次旋转反演轴四次旋转反演轴【【6个非纯转动（转个非纯转动（转动动π/2或或3π/2）加上）加上3个纯转动个纯转动（转动（转动π））】】同理，四条理，四条3次轴次轴<111>和对称中心退化为和对称中心退化为三次旋三次旋转反演轴转反演轴（等价于（等价于8个纯转动个纯转动），六条），六条2次轴次轴<110>和对称中心退化为和对称中心退化为二次旋转反演轴二次旋转反演轴（（6个个非纯转动），加上非纯转动），加上不动不动，共，共24个对称操作它个对称操作它保留了立方体的保留了立方体的12个纯旋转操作个纯旋转操作和和12个非纯旋个非纯旋转操作转操作 4. 宏观对称操作和物理性质宏观对称操作和物理性质 对于一个具体的晶体材料，如果知道了它的点对对于一个具体的晶体材料，如果知道了它的点对称性，那么它的某种物理性质就可以确定，这称称性，那么它的某种物理性质就可以确定，这称为为Neumann原理原理。

1). 一个晶体如果具有一个晶体如果具有镜像反映对称性镜像反映对称性,则该对称则该对称操作变矢量左旋为右旋操作变矢量左旋为右旋,因而该晶体因而该晶体无旋光性无旋光性；；(2). 一个晶体如果具有一个晶体如果具有中心反演对称性中心反演对称性，则该对，则该对称操作使矢量改变符号，因而该晶体称操作使矢量改变符号，因而该晶体无固有偶极无固有偶极矩矩 (3). 宏观对称操作和晶体的介电常数宏观对称操作和晶体的介电常数 介电常数的一般表达式为介电常数的一般表达式为 介电常数通常它是一个介电常数通常它是一个二阶张量二阶张量但是，对于但是，对于具有具有立方对称立方对称和和正四面体对称正四面体对称的晶体材料，介的晶体材料，介电常数退化为一个电常数退化为一个标量标量.对于对于六角对称六角对称的晶体，介电常数为的晶体，介电常数为 为了证明上述关系，首先我们给出介电常数在点对称为了证明上述关系，首先我们给出介电常数在点对称操作后的形式操作后的形式 电位移矢量电位移矢量D与电场强度矢量与电场强度矢量E满足满足 其中其中ε为介电常数为介电常数,设晶体有点对称操作设晶体有点对称操作(变换矩阵变换矩阵)A，，现在对晶体实施该对称操作，则有现在对晶体实施该对称操作，则有所以所以从而从而所以介电常数在点对称操作后的形式为所以介电常数在点对称操作后的形式为 由于由于A是点对称操作，所以介电常数在操作前后不变。

是点对称操作，所以介电常数在操作前后不变因而有因而有:对于具有立方对称的晶体对于具有立方对称的晶体, ,有三条有三条4 4次轴次轴, ,设某一设某一条条沿着沿着z z轴轴, ,由于转由于转180180度晶体复原度晶体复原, ,所以：所以：类似类似沿着沿着x x轴轴, ,转转180180度晶体复原度晶体复原, ,所以：所以：代入代入可得：可得：进一步选择进一步选择沿着沿着<111><111>方向转方向转120120度晶体复原度晶体复原, ,所所以以以以<111><111>轴为坐标系的变换矩阵为轴为坐标系的变换矩阵为 ：：代入代入可得：可得：进一步选择进一步选择可得：可得：令：令： 则有：则有： 亦即对于具有立方对称的晶体亦即对于具有立方对称的晶体, ,介电常数退介电常数退化为一个标量化为一个标量. 对于具有正四面体对称的晶体对于具有正四面体对称的晶体, ,证明方法相同证明方法相同,可在上面的证明中指出所选对称操作完全适用可在上面的证明中指出所选对称操作完全适用于正四面体于正四面体. 对于具有六角对称的晶体：对于具有六角对称的晶体： 对六角晶系，绕对六角晶系，绕x(即即a)轴旋轴旋180度度 和绕和绕z(即即c)轴旋转轴旋转120 度都是对称操作．度都是对称操作．代入代入可证可证. . 注意有的题解上写成注意有的题解上写成 ,则矩阵则矩阵A需要转置需要转置.二、晶体的微观对称性和微观对称操作二、晶体的微观对称性和微观对称操作上面我们主要讨论了晶体的宏观对称性和宏观上面我们主要讨论了晶体的宏观对称性和宏观对称操作。

因为不包含平移对称操作因为不包含平移,所以宏观对称操作所以宏观对称操作又称为点对称操作由于晶体可以抽象为无限又称为点对称操作由于晶体可以抽象为无限大的空间点阵大的空间点阵,所以所以,晶体又具有平移对称性考晶体又具有平移对称性考虑平移后的对称性称为晶体的微观对称性虑平移后的对称性称为晶体的微观对称性对于晶体的微观对称性而言，除了前面所讲的对于晶体的微观对称性而言，除了前面所讲的宏观对称操作完全适用于微观对称来说，微观宏观对称操作完全适用于微观对称来说，微观对称操作中还应包含三种新的对称操作，即对称操作中还应包含三种新的对称操作，即:平平移、螺旋旋转和滑移反映对应三种新的对称移、螺旋旋转和滑移反映对应三种新的对称元素，即元素，即:平移轴、螺旋轴和滑移面平移轴、螺旋轴和滑移面(1) 空间点阵中各点按一矢量进行移动的操作空间点阵中各点按一矢量进行移动的操作称为平移，进行平移所凭借的直线称为平移轴称为平移，进行平移所凭借的直线称为平移轴显然，空间点阵应是无限的情形，才会有平移显然，空间点阵应是无限的情形，才会有平移对称性有限的晶体从微观来看满足无限的空对称性有限的晶体从微观来看满足无限的空间点阵的要求。

所以含有平移的对称操作都是间点阵的要求所以含有平移的对称操作都是晶体的微观对称操作所特有的晶体的微观对称操作所特有的2)由螺旋和平移构成的复合操作称为螺旋旋转由螺旋和平移构成的复合操作称为螺旋旋转 若将晶体绕轴旋转若将晶体绕轴旋转2 /n角以后，再沿轴方向角以后，再沿轴方向平移平移l(T/n)，晶体能自身重合，则称此轴为，晶体能自身重合，则称此轴为n度度螺旋轴，相应的对称操作称为螺旋旋转对称操螺旋轴，相应的对称操作称为螺旋旋转对称操作其中T是轴方向的周期，是轴方向的周期，l是小于是小于n的整数n只能取只能取1、、2、、3、、4、、6(3)(3)由平移和反映构成的复合操作称为滑移反映，进由平移和反映构成的复合操作称为滑移反映，进行此操作所凭借的平面称为滑移面行此操作所凭借的平面称为滑移面若经过某面进行镜象操作后若经过某面进行镜象操作后,再沿平行于该面的某个方向再沿平行于该面的某个方向平移平移T/n后后,晶体能自身重合晶体能自身重合,则则称此面为滑移反映面称此面为滑移反映面,相应的相应的操作称为滑移反映对称操作操作称为滑移反映对称操作T是平移方向的周期是平移方向的周期, n可取可取2或或4。

4度螺旋轴度螺旋轴滑移反映面滑移反映面总之总之,平移、螺旋旋转和滑移反映对称操作无需凭借一个保持不平移、螺旋旋转和滑移反映对称操作无需凭借一个保持不动的点来完成动的点来完成,它们都包含平移操作它们都包含平移操作,适用于无限大点阵适用于无限大点阵.无限大点无限大点阵和晶体的微观结构一致阵和晶体的微观结构一致,所以上述操作称为微观对称操作所以上述操作称为微观对称操作. 三、群和晶体结构的分类三、群和晶体结构的分类 定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识群论定量研究对称操作集合的性质要用群论的知识群论作为数学的分支，是处理有一定对称性的物理体系的作为数学的分支，是处理有一定对称性的物理体系的有力工具它可以简化复杂的计算，也可以预言物理有力工具它可以简化复杂的计算，也可以预言物理过程的发展趋势，还可以对体系的许多性质作出定性过程的发展趋势，还可以对体系的许多性质作出定性的了解群及其表示理论是物理类专业研究生的一门的了解群及其表示理论是物理类专业研究生的一门重要基础课，对于本科生不作要求因此，我们不打重要基础课，对于本科生不作要求因此，我们不打算在这里讲过多的群论的知识，只是简单介绍一下群算在这里讲过多的群论的知识，只是简单介绍一下群的概念。

并在此基础上直接给出布拉维格子和晶体结的概念并在此基础上直接给出布拉维格子和晶体结构按照点群和空间群的分类结果构按照点群和空间群的分类结果 1. 1. 群的定义群的定义 所谓所谓群群(group)就是就是一些元素一些元素(elements)或操作的或操作的集合，集合，常用符号常用符号 G 来表示构成群的元素要满足以下条件：构成群的元素要满足以下条件： 设设 等表示群等表示群G中所包含的元素中所包含的元素或操作或操作 即即：必须满足下列条件：必须满足下列条件： 1). 封闭性封闭性(closure property) 按照给定的按照给定的乘法乘法规则，群规则，群G G中任何两个元素中任何两个元素相乘，得到的还是该群的一个元素相乘，得到的还是该群的一个元素2). 群中一定包含一个不变元素群中一定包含一个不变元素( (单位元素单位元素) ) E3). 存在逆元素存在逆元素 4). 满足组合定则满足组合定则 在晶体的几何对称性的研究中，每一个能在晶体的几何对称性的研究中，每一个能使晶体复原的对称使晶体复原的对称操作操作，都，都满足上述群中的满足上述群中的元素的要求元素的要求，由这些元素，由这些元素( (或操作或操作) )所构成的所构成的群叫群叫对称操作群对称操作群(symmetry group), ,包括包括点群点群(point group)和和空间群空间群(space group)对称操作群中：乘法规则就是连续操作；单位对称操作群中：乘法规则就是连续操作；单位元素元素E为不动操作；逆元素为转角和平移矢量大为不动操作；逆元素为转角和平移矢量大小相等、方向相反的操作；中心反演的逆元素小相等、方向相反的操作；中心反演的逆元素还是中心反演；由于都是对称操作，每一个操还是中心反演；由于都是对称操作，每一个操作之后晶体都能够复原，所以组合定则显然成作之后晶体都能够复原，所以组合定则显然成立。

立 2. 点群和七个晶系点群和七个晶系 晶体中独立的宏观对称操作晶体中独立的宏观对称操作 (或对称元素或对称元素)只有只有8种种, 即：即：1、、2、、3、、4、、6、、i、、m、、 宏观对称宏观对称操作也称为点对称操作，在点对称操作基础上操作也称为点对称操作，在点对称操作基础上构成的对称操作群称为构成的对称操作群称为点群点群 如果一些晶体具有相同的一组群元素，那么从对称性如果一些晶体具有相同的一组群元素，那么从对称性来说，这些晶体属于同一类晶体来说，这些晶体属于同一类晶体理论和实验证明理论和实验证明,在点对称操作基础上在点对称操作基础上,如果如果忽略基元的忽略基元的对称性对称性,也就是仅仅从也就是仅仅从三维空间点阵三维空间点阵（或布拉维格子）（或布拉维格子）角度来说角度来说,只存在只存在7种不同的点群种不同的点群,称为称为7个晶系个晶系 用熊夫利符号表示的话，用熊夫利符号表示的话，7个晶系隶属的点群从低到高个晶系隶属的点群从低到高排序分别是排序分别是三斜晶系三斜晶系属属Ci(或或S1)群群、、单斜晶系单斜晶系属属C2h群群、、正交晶系正交晶系属属D2h群群、、三角晶系三角晶系属属D3d群群、、四方晶系四方晶系属属D4h群群、、六角晶系六角晶系属属D6h群群、、立方晶系立方晶系属属Oh群群。

我们知道晶体结构等于布拉维格子加上基元我们知道晶体结构等于布拉维格子加上基元,为此为此,晶体晶体结构的分类可以结构的分类可以考虑基元的对称性考虑基元的对称性(晶体结构晶体结构), 也可以也可以忽略基元的对称性忽略基元的对称性(布拉维格子布拉维格子). 为了便于大家看懂晶体学点群，下面简单给出为了便于大家看懂晶体学点群，下面简单给出符号的说明符号的说明表示表示n n次旋转轴次旋转轴 n=1,2,3,4,6表示表示n n次旋转次旋转- -反反演轴演轴 n=1,2,3,4,6表示表示n个垂直于主轴的个垂直于主轴的2次旋转轴次旋转轴n=2,3,4,6表示中心反演表示中心反演T四个四个3次轴、三个次轴、三个2次轴，按四面体型分布次轴，按四面体型分布熊熊夫夫利利符符号号表示镜面反映表示镜面反映O四个四个3次轴、三个次轴、三个4次轴，按八面体型分布次轴，按八面体型分布为了表明为了表明对称面相对于旋转轴对称面相对于旋转轴的位置，还有如下的位置，还有如下附加指标：附加指标：下角标下角标h(水平水平)表示垂直于旋转轴表示垂直于旋转轴下角标下角标v(铅直铅直)表示平行于旋转轴表示平行于旋转轴下角标下角标d(对角对角)表示平行于主轴且平分表示平行于主轴且平分2次轴之间的夹角次轴之间的夹角 国际符号国际符号熊熊夫夫利利符符号号 国际符号以国际符号以不超过三个不超过三个几何上的几何上的从优方向从优方向来描述晶体的对称类型，这些方向或来描述晶体的对称类型，这些方向或平行于对平行于对称轴或垂直于对称面称轴或垂直于对称面国国际际符符号号n1,2,3,4,6  n次旋转轴次旋转轴旋转旋转-反演轴反演轴 镜面反映镜面反映 表示中心反演表示中心反演I垂直于镜面的垂直于镜面的n次旋转轴次旋转轴 平行于镜面的平行于镜面的n次旋转轴次旋转轴 垂直于一个或多个垂直于一个或多个2次轴次轴 的的n次主轴次主轴 垂直于一个或多个垂直于一个或多个2次轴次轴 的旋转反演轴的旋转反演轴 平行于镜面的平行于镜面的n次旋转反演轴次旋转反演轴  总之总之,在不考虑基元的对称性时在不考虑基元的对称性时,以上的操作构以上的操作构成成7大晶系。

大晶系垂直于一个镜面但平行于其它反映面的垂直于一个镜面但平行于其它反映面的n次次旋转轴旋转轴 7 7个晶系个晶系(crystal system)相应的点群相应的点群如果如果考虑基元的对称性考虑基元的对称性，则，则同一个晶系同一个晶系，可能，可能会出现会出现若干种不同的结构若干种不同的结构 如如A1型型fcc结构结构和和B3型立方型立方ZnS结构结构,按照点阵按照点阵来说来说,都属于都属于立方晶系立方晶系Oh群群 但是但是ZnS结构结构,由于基元中两种原子不同由于基元中两种原子不同,当考当考虑基元的对称性时虑基元的对称性时,它的对称性降低它的对称性降低,属于属于正四正四面体面体Td群群通常通常晶体结构的对称性低于它所对应的点阵的晶体结构的对称性低于它所对应的点阵的对称性对称性,从而导致新的群的产生从而导致新的群的产生.可以证明可以证明7个晶个晶系系,考虑基元的对称性后考虑基元的对称性后,在点对称操作基础上在点对称操作基础上,可以另外可以另外衍生出衍生出25种新点群种新点群. 也就是说也就是说,晶体结晶体结构构的的宏观对称性宏观对称性,可概括为可概括为32种晶体点群种晶体点群.另外，另外，7个晶系个晶系也可以从也可以从几何图形几何图形上来考虑上来考虑 晶体的晶体的三维周期性结构三维周期性结构可由可由a、、b、、c三个基矢三个基矢的方向的方向(夹角夹角)和长度和长度来决定。

来决定规定规定a,b间的夹角为间的夹角为γ；；b,c间的夹角间的夹角为为α；；c,a间的夹角为间的夹角为β.按照按照a,b,c三个基矢的大小和夹角之间的关系三个基矢的大小和夹角之间的关系,在在点阵对称性的制约下点阵对称性的制约下,存在存在7类不同的组合类不同的组合,即即7个个晶系晶系.7个晶系的名称和特征个晶系的名称和特征 (1) 三斜晶系三斜晶系(Triclinic System)：：a ≠ b ≠c, α≠β≠γ ; Ci 群群,无任何对称轴无任何对称轴,不过由于不过由于中心反演中心反演i是点阵的是点阵的属性属性,所以所以有有2个群元素不动个群元素不动E和和i.(2) 单斜晶系单斜晶系(Monoclinic System): a≠b≠c ,α＝＝γ＝＝90°≠β; C2h群群，，具有具有一条一条2次轴和次轴和i，所以，所以有有4个群元素个群元素因为它只有因为它只有a和和c互相不互相不垂直，所以称为单斜晶系垂直，所以称为单斜晶系 (3) 正交晶系正交晶系(Orthorhombic System): a≠b≠c, α＝＝β＝＝γ＝＝90; D2h群群，，具有具有三条三条2次轴和次轴和i，所以有，所以有8个群元素个群元素。

正交晶系又称正交晶系又称斜方晶系斜方晶系 (4) 三角晶系三角晶系(Trigonal System)：：a＝＝b＝＝c,α＝＝β＝＝γ≠90°<120°; D3d群群，具有，具有一条一条3次轴、三条与次轴、三条与3次轴垂直的次轴垂直的2次轴和次轴和i，所以有，所以有12个群元素个群元素三角晶系又称三角晶系又称三方晶系三方晶系(5) 四方晶系四方晶系(Tetragonal System)：：a＝＝b≠c, α＝＝β＝＝γ＝＝90°D4h群，具有一条群，具有一条4次次轴、四条轴、四条2次轴和次轴和i，所以有，所以有16个群元素个群元素四方晶系又称四方晶系又称正方晶系正方晶系或或四角晶系四角晶系 (6) 六角晶系六角晶系(Hexagonal System)：：a＝＝b ≠c , α＝＝β＝＝90°,γ＝＝120°; D6h群，具有一条群，具有一条6次轴、六条与次轴、六条与6次轴垂次轴垂直的直的2次轴和次轴和i，所以有，所以有24个群元素个群元素六角晶系又称六角晶系又称六方六方晶系晶系7) 立方晶系立方晶系(Cubic System)：：a＝＝b＝＝c,α＝＝β＝＝γ＝＝90°; Oh群，具有三条群，具有三条4次轴、四条次轴、四条3次轴、六条次轴、六条2次轴和次轴和i，，所以有所以有48个群元素个群元素7.7.立方晶系立方晶系：：5.5.三角晶系：三角晶系：6.6.六角晶系六角晶系：：3.3.正交晶系正交晶系：：4.4.四方晶系四方晶系2.2.单斜晶系单斜晶系：：1.1.三斜晶系三斜晶系：： 从几何结构划分从几何结构划分7 7个晶系个晶系3.3.空间群和空间群和1414种布拉维格子种布拉维格子严格的群理论证明，如果严格的群理论证明，如果忽略基元的对称性忽略基元的对称性，也就，也就是仅仅从点阵角度来说，仅仅存在是仅仅从点阵角度来说，仅仅存在14种不同的空间种不同的空间群，称为群，称为14种布拉维格子。

种布拉维格子考虑基元的对称性后考虑基元的对称性后，，全部晶体结构的宏观对称操作和微观对称操作可以全部晶体结构的宏观对称操作和微观对称操作可以构成构成230种空间群种空间群，即有，即有230种对称类型种对称类型 从晶体的从晶体的宏观对称操作宏观对称操作出发给出了出发给出了7种布拉维格子，种布拉维格子，也就是也就是7个晶系；晶体结构对应个晶系；晶体结构对应32种种晶体点群晶体点群 把把微观对称操作微观对称操作也考虑进来，进一步讨论点阵和晶也考虑进来，进一步讨论点阵和晶体结构的对称类型体结构的对称类型点对称操作点对称操作加上加上平移操作平移操作构成构成空空间群间群 7个晶系个晶系对应的格点都在对应的格点都在晶胞的顶角上晶胞的顶角上. 点阵晶胞通常是一个扩大了的原胞点阵晶胞通常是一个扩大了的原胞晶胞的体晶胞的体心和面心上都可以有格点心和面心上都可以有格点 .例如例如sc、、bcc、、fcc点阵点阵,从宏观对称性（点群）从宏观对称性（点群）来看来看,都属于立方晶系（都属于立方晶系（Oh群群））. 但是但是, 三者的三者的原原胞基矢不同胞基矢不同, 所以所以sc、、bcc、、fcc点阵点阵具有不同的具有不同的平移对称性平移对称性，也就是说，也就是说属于不同的空间群属于不同的空间群 .我们可以通过对我们可以通过对7个晶系采取个晶系采取加心加心（体心、面心、（体心、面心、底心）的方法得到新的点阵类型。

底心）的方法得到新的点阵类型     布拉维格子布拉维格子要求要求每一个格点周围的环境必须一致，也每一个格点周围的环境必须一致，也就是格点必须完全等同就是格点必须完全等同，所以，所以7个晶系加心方式受到限个晶系加心方式受到限制，制，有些点阵加心后没有形成新格子有些点阵加心后没有形成新格子，，还有一些根本不还有一些根本不属于布拉维格子属于布拉维格子 .把把不加心不加心的格子记为的格子记为P（简单格子）（简单格子）;加加体心体心记为记为I（体心格子）（体心格子）;加加面心面心记为记为F（面心格子）（面心格子）;在在a和和b形成的底面加心形成的底面加心记为底心记为底心C;在在a和和c形成的底面加心形成的底面加心记为记为底心底心B;在在c和和b形成的底面加心形成的底面加心记为底心记为底心A. 加心后加心后7大晶系构成大晶系构成14种布拉维格子种布拉维格子1.1.三斜晶系：三斜晶系： 2.2.单斜晶系：单斜晶系：3.3.三角晶系：三角晶系：简单三斜简单三斜( (1) )简单单斜简单单斜( (2) ) 底心单斜底心单斜( (3) )三角三角( (4) )4.4.正交晶系：正交晶系：简单正交简单正交( (5) )，底心正交，底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )，面心正交，面心正交( (8) )5.5.四角系：四角系：( (正方晶系正方晶系) )简单四角简单四角( (9) )，体心四角，体心四角( (10) )6.6.六角晶系：六角晶系：六角六角( (11) )7.7.立方晶系：立方晶系：简立方简立方( (12) )，体心立方，体心立方( (13) )，面心立方，面心立方( (14) )简单三斜简单三斜( (1) )简单单斜简单单斜( (2) )底心单斜底心单斜(3)1 1））. .三斜晶系：三斜晶系： 2 2））. .单斜晶系：单斜晶系：3 3））. .三角晶系：三角晶系：三角三角( (4) )4 4））. .正交晶系：正交晶系：简单正交简单正交( (5) )底心正交底心正交( (6) )体心正交体心正交( (7) )面心正交面心正交( (8) )5 5））. .四方晶系四方晶系体心四方体心四方( (10) )简单四方简单四方( (9) )6 6））. .六角晶系：六角晶系：六角六角( (11) )7 7））. .立方晶系：立方晶系：简立方简立方( (12) )体心立方体心立方( (13) )面心立方面心立方( (14) ) 从表面上来看，上述布拉维格子似乎还可以从表面上来看，上述布拉维格子似乎还可以增加一些体心、面心或底心格子。

但实际上，这增加一些体心、面心或底心格子但实际上，这样做所得的样做所得的格子仍是格子仍是1414种之一种之一，或者不是布拉维，或者不是布拉维格子 如四方晶系只如四方晶系只有简单四角和体有简单四角和体心四角；如果增心四角；如果增加一个面心四角，加一个面心四角，结果仍是体心四结果仍是体心四角总之，总之，布拉维格子布拉维格子按照按照点群来分有点群来分有7类，按空间类，按空间群来分有群来分有14类类；；晶体结构晶体结构按照按照点群来分有点群来分有32类，类，按空间群来分有按空间群来分有230类类 空间格子空间格子与与晶体结构晶体结构这两个概念含义并这两个概念含义并不相同，不相同，““格子格子””纯属几何概念纯属几何概念，是晶体结，是晶体结构的数学抽象；而构的数学抽象；而““晶体结构晶体结构””则则具有物理具有物理意义意义3. 230种空间群国际符号说明种空间群国际符号说明：： 空间群国际符号的空间群国际符号的第一个字母表示布拉维格第一个字母表示布拉维格子的类型子的类型P—简单格子；简单格子；I—体心格子；体心格子；F—面心格子；面心格子；C—底心底心(a和和b形成的底面形成的底面);B—底心底心(a和和c形成的底面形成的底面); A—底心底心(b和和c形成的底面形成的底面);R—三角格子三角格子其余符号与点其余符号与点群相同群相同。

空间群国际符号第一个字母空间群国际符号第一个字母如：如：Pm3m空间群空间群，对应的布拉维格子是，对应的布拉维格子是简立方简立方(CsCI and cubic perovskite)；；Fm3m空间群空间群，对应的布拉维格，对应的布拉维格子是子是面心立方面心立方(NaCI and CaF2)；；Fd3m复杂空间群复杂空间群(diamond)；；F3m(Zinc blende)简单空间群，两个简单空间群，两个fcc晶晶格套构；格套构； (hexagonal close packed) 晶体结构的群表示符号的用处：晶体结构的群表示符号的用处： 1942 1942年年美国材料试验协会出版了一套卡片，约美国材料试验协会出版了一套卡片，约13001300张，通常称为张，通常称为ASTMASTM卡片卡片，用来标记人们已经发现的材，用来标记人们已经发现的材料的晶体学性质，以后，逐步增加和修改料的晶体学性质，以后，逐步增加和修改 1969 1969年年改由改由粉末衍射标准联合委员会粉末衍射标准联合委员会( (JCPDS)JCPDS)负负责卡片的编辑出版，改称责卡片的编辑出版，改称PDFPDF卡片卡片。

到到19771977年止，已年止，已有有4 4万余张卡片，其中无机物万余张卡片，其中无机物3 3万余张每张卡片的万余张每张卡片的第第4 4栏标明材料晶系、空间群、晶格常数栏标明材料晶系、空间群、晶格常数等 卡片的卡片的第第4 4栏的这些标记，很方便人们查找得到的栏的这些标记，很方便人们查找得到的新的材料的大体结构因为，毕竟只有新的材料的大体结构因为，毕竟只有1414种布拉维格种布拉维格子つづきつづき面心立方点阵为八面体群的说明面心立方点阵为八面体群的说明。