静电场高斯定理课件.ppt
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C.F.Gauss德国数学家德国数学家物理学家物理学家高斯高斯(1777-1855)静电场高斯定理 §3 高斯定理高斯定理一一.电力线电力线用一族空间曲线形象描述场强分布用一族空间曲线形象描述场强分布通常把这些曲线称为电场线通常把这些曲线称为电场线(electric field line)或电力线或电力线 (electric line of force)1.规定规定 方向：方向：力线上每一点的切线方向；力线上每一点的切线方向；大小：大小：在电场中任一点，取一垂直于该点场在电场中任一点，取一垂直于该点场强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，强方向的面积元，使通过单位面积的电力线数目，等于该点场强的量值等于该点场强的量值静电场高斯定理 dSE大小：E 方向：电场线的画法如下:静电场高斯定理 2.电力线的性质电力线的性质1)电力线起始于正电荷电力线起始于正电荷(或无穷远处或无穷远处)，，终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；终止于负电荷，不会在没有电荷处中断；2)两条电场线不会相交；两条电场线不会相交；3)电力线不会形成闭合曲线电力线不会形成闭合曲线 之所以具有这些基本性质，之所以具有这些基本性质， 由静电场的基本性质和场的单值性决定的。
由静电场的基本性质和场的单值性决定的 可用静电场的基本性质方程加以证明可用静电场的基本性质方程加以证明静电场高斯定理 点电荷的电场线正电荷负电荷+E静电场高斯定理 一对等量异号电荷的电场线+E静电场高斯定理 一对等量正点电荷的电场线++++E静电场高斯定理 一对异号不等量点电荷的电场线q2q+E静电场高斯定理 带电平行板电容器的电场线+++++++++E静电场高斯定理 习题：习题：一个带负电荷的质点，在电场力作用下从一个带负电荷的质点，在电场力作用下从Ａ点出发经Ｃ点运动到Ｂ点，其运动轨道如图所示Ａ点出发经Ｃ点运动到Ｂ点，其运动轨道如图所示已知质点运动的速率是增加的，下面关于Ｃ点场强方已知质点运动的速率是增加的，下面关于Ｃ点场强方向的四个图示中正确的是：向的四个图示中正确的是：ＡＢＣ（Ａ）ＡＢＣ（Ｂ）ＡＢＣ（C）ＡＢＣ（D）答案：（答案：（ ＤＤ ））静电场高斯定理 若面积元不垂直电场强度，若面积元不垂直电场强度，电场强度与电力线条数、面积元的电场强度与电力线条数、面积元的关系怎样？关系怎样？由图可知由图可知 通过通过和和电力线条数相同电力线条数相同^匀强电场匀强电场静电场高斯定理 二二.电通量电通量 (electric flux)藉助电力线认识电通量藉助电力线认识电通量通过任一面的电力线条数通过任一面的电力线条数匀强电场匀强电场通过任意面积元的电通量通过任意面积元的电通量通过任意曲面的电通量怎么计算？通过任意曲面的电通量怎么计算？把曲面分成许多个面积元把曲面分成许多个面积元每一面元处视为匀强电场每一面元处视为匀强电场静电场高斯定理 通过闭合面的电通量通过闭合面的电通量讨论讨论正与负正与负取决于面元的法取决于面元的法线方向的选取线方向的选取如前图如前图 知知>0若如红箭头所示若如红箭头所示 则则<0S静电场高斯定理 规定：面元方向规定：面元方向由闭合面内指向面外由闭合面内指向面外确定的值确定的值S>0<0电力线穿入电力线穿入电力线穿出电力线穿出静电场高斯定理 三三.静电场的高斯定理静电场的高斯定理 Gauss theorem1.表述表述在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量在真空中的静电场内，任一闭合面的电通量等于这闭合面所包围的电量的代数和等于这闭合面所包围的电量的代数和 。
除以除以静电场高斯定理 高斯定理高斯定理π2r4qdS cos00+sòòε0从点电荷特例引出此定理从点电荷特例引出此定理E.dSsòò=+rqdSEr=π24qdS+sòòε0=q+ε0讨论：讨论： 1. 若若方向相方向相dS的方向与的方向与E为负值，则为负值，则q反反, 上式积分值为负值上式积分值为负值 上式中的上式中的 q 应理解为代数值应理解为代数值静电场高斯定理 2. 此式的意义是通过闭合曲面的电场线条数等于面内的电荷数除以真空中的介电常数 q+qE.dS =sòòqε0 3. 若电荷在面外，则此积分值为 0因为有几条电场线进入面内必然有同样数目的电场线从面内出来 4. 若封闭面不是球面，则积分值不变静电场高斯定理 5. 若面内有若干个电荷，则积分值为： 高斯定理: 在静电场中，通过任意封闭曲面电场强度矢量的通量，等于面内所包围的自由电荷代数和除以真空介电常数E.dS =qΣisòòε0静电场高斯定理 若空间电荷若空间电荷 连续分布，则积分值为：连续分布，则积分值为：静电场高斯定理 6.闭合面内、外电荷的贡献闭合面内、外电荷的贡献都有贡献都有贡献对对对电通量对电通量的贡献有差别的贡献有差别只有闭合面内的电量对只有闭合面内的电量对电通量电通量有贡献有贡献静电场高斯定理 习题：一点电荷放在球形高斯面的中心处，下列哪一种情况，通过高斯面的电通量发生变化？（Ａ）将另一点电荷放在高斯面外；（Ｂ）将另一点电荷放在高斯面内；（Ｃ）将球心处的点电荷移动，但还在高斯面内；（Ｄ）将高斯面半径缩小。
答案：答案：(B)静电场高斯定理 习题：点电荷 Ｑ被曲面Ｓ所包围，从无穷远处引入另一点电荷q到曲面外一点，如图所示，则引入前后： (A) 曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强不变； (B) 曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强不变； (C) 曲面Ｓ的电通量变化，曲面上各点的场强变化； (D) 曲面Ｓ的电通量不变，曲面上各点的场强变化; QqS答案：答案：(D)静电场高斯定理 习题：已知一高斯面所包围的体积内电量代数和为零，则可以肯定：（Ａ）高斯面上各点场强均为零；（Ｂ）穿过高斯面上每一面元的电通量为零；（Ｃ）穿过整个高斯面上的电通量为零；（Ｄ）以上说法均不对答案：答案：(C)静电场高斯定理 习题：如图所示，一个带电量为q的点电荷位于立方体的Ａ角上，则通过侧面abcd的电通量为多少？如果放在中心处，则又是多少？ＡＡqabcdcAabdq静电场高斯定理 习题：习题：一无限长均匀带电的空心圆柱体，一无限长均匀带电的空心圆柱体，内半径为内半径为a, ,外半径为外半径为b b, ,电荷体密度为电荷体密度为 , ,若作一半若作一半径为径为r(a
体电荷密度为均匀带电球体的电场体电荷密度为<（1）rRRε0Er高高斯斯面面EdS= Eπ2r4.sòò3=ρπ3r4ε01ρ=Er3ε0（2）rR>ERε0r高斯面高斯面Eπ2r4=ρπ3R43ε0ρE=R33r2ε0=R33r2ε0π3R43q.静电场高斯定理 均匀带电球体电场强度分布曲线均匀带电球体电场强度分布曲线REρEOρR3rRε0静电场高斯定理 习题：习题：图中曲线表示一种球对称性静电场的场强大小图中曲线表示一种球对称性静电场的场强大小ＥＥ的分布，的分布，r表示离对称中心的距离，这是什么带电表示离对称中心的距离，这是什么带电体产生的电场？体产生的电场？Ｅ１/r2rEo答案：这是半径为答案：这是半径为R的均匀带电体产的均匀带电体产生的电场生的电场静电场高斯定理 习题：如图，求空腔内任一点Ｐ的场强解：求空腔内任一点场强，挖去体密度为 的小球，相当于不挖，而在同一位置处，放一体密度为一-的小球产生的场强的迭加Ｐ静电场高斯定理 ＰＰ静电场高斯定理 σ例例3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场静电场高斯定理 例例3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场EσS高斯面高斯面E静电场高斯定理 Eσ= E S+ E S=0例例3. 均匀带电无限大平面的电场均匀带电无限大平面的电场σE=2ε0=Sσε0E.dS =侧侧E.dS左底左底E.dS右底右底E.dS++sòòsòòsòòsòòS高斯面高斯面E静电场高斯定理 <（1）rR例4. 均匀带电圆柱面的电场。
沿轴线方向单位长度带电量为λEr高斯面l=0=00= Eπr2l=0E=得：..上底EdS下底EdS++sòòsòòE.dS =侧E.dSsòòsòò=侧EdSsòò静电场高斯定理 （2）rR>=0=0E高高斯斯面面L rπrE =2得：得：ε0EdS =侧侧EdS..sòòsòò下底下底上底上底EdSEdS++..sòòsòò=Eπr2l=lε0静电场高斯定理 均匀带电的无限长的直线均匀带电的无限长的直线, 线密度线密度对称性的分析对称性的分析取合适的高斯面取合适的高斯面计算电通量计算电通量利用高斯定理解出利用高斯定理解出静电场高斯定理 习题：习题： 设气体放电形成的等离子体在圆柱设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷体密度为内的电荷体密度为 , 试计算其场强分布试计算其场强分布rdr静电场高斯定理 ρ2r ld=dq( )rrρ= 2ldr rqòr0解：先计算高斯面内的电量解：先计算高斯面内的电量rdr静电场高斯定理 E.dS =sòòqε0由高斯定律：由高斯定律：高斯面内的电量为：高斯面内的电量为：静电场高斯定理 习题：习题： 设气体放电形成的等离子体在圆柱设气体放电形成的等离子体在圆柱内的电荷分布可用下式表示内的电荷分布可用下式表示式式 r 中是到圆住轴线的距离，中是到圆住轴线的距离， 0是轴线处的电荷是轴线处的电荷体密度，体密度，a 是常量。
试计算其场强分布试计算其场强分布静电场高斯定理 ρ2r ld=dq( )rr1+ar20()ρ=2 2ldr r1+ar20()ρ=2 2ldr rqòr01+ra20()ρ=la2解：先计算高斯面内的电量解：先计算高斯面内的电量rdr静电场高斯定理 E.dS =sòòqε0.= 2Erlε00ρ la21+ ra2()1.=2Erε00ρa21+ra2()1由高斯定律：由高斯定律：q1+ra20()ρ= la2高斯面内的电量为：高斯面内的电量为：静电场高斯定理 例例5：： 金属导体静电平衡时金属导体静电平衡时,体内场强处处为体内场强处处为0求证求证: 体内处处不带电体内处处不带电证明：证明：在导体内任取体积元在导体内任取体积元由高斯定理由高斯定理体积元任取体积元任取证毕证毕静电场高斯定理 习题：习题：如图所示，两个无限长的半径分别为如图所示，两个无限长的半径分别为R1和和R2的共轴圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长为度上的共轴圆柱面，均匀带电，沿轴线方向单位长为度上的带电量分别为的带电量分别为 1，， 2，，则在外圆柱外面，距离轴线为则在外圆柱外面，距离轴线为r处的处的P点的电场强度大小点的电场强度大小E为：为：rP 1 2答案：答案：静电场高斯定理 习题：设电荷体密度沿 x 轴方向按余弦规律 ＝０cos x分布在整个空间，试求空间场强分布。
yoz平面xESx-x解：如图所示，由于cosx为偶函数，故其电荷分布关于yoz平面对称，电场强度亦关于yoz平面对称，做面积为Ｓ，高为2x的长方体（或柱体），则利用高斯定理得：静电场高斯定理 习题：一球体内均匀分布着电荷体密度为的正电荷 ，若保持电荷 分布不变，在该球体内挖去半径为r的一个小球，球心为O2,两球心间的距离为 O1O2=d,如图所示，试求： （１）在球形空腔内，球心Ｏ２处的电场强度Ｅ （２）在球体内Ｐ点处的E解 (1) 由上例可知（2）xrddO2PO1静电场高斯定理 xrddO2PO1静电场高斯定理 习题：习题：有一带球壳，内外半径分别为有一带球壳，内外半径分别为a和和b,电荷电荷 密度密度 =A/r,在球在球心处有一心处有一 点电荷点电荷Q，证明当，证明当Ａ=Q/2a2 时，球壳区域内的场强时，球壳区域内的场强ＥＥ的大小与的大小与r无关ＱrS 证明：证明： 以以Q为圆心，半径为圆心，半径 r作一球作一球面为高斯面，则利用ＧＳ定面为高斯面，则利用ＧＳ定理与场分理与场分 布具有球对称性的布具有球对称性的特点可得特点可得静电场高斯定理 习题：一个半径为R的球体内，分布着电荷体密度ρ= kr，式中 r 是径向距离，k是常量。
求空间的场强分布..kxòr0dxE.dS =sòò1ε0πx24=πr24Eπkr4ε0=4Ekr2ε0
