第3章-交流电路分析[163页]课件.ppt

第第3章章 交流电路分析交流电路分析 3.1 正弦稳态分析基础正弦稳态分析基础3.2 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析3.3 正弦稳态混联电路的分析正弦稳态混联电路的分析3.4 正弦交流电路中的功率正弦交流电路中的功率13.1 正弦正弦稳态稳态分析基分析基础础在动态电路的时域分析中，求出的响应是时间的函数，该响应可以分为暂态响应和稳态响应两个部分，其中暂态响应分量随时间衰减很快，在很短的时间内就趋近于零在许多实际问题中，人们有时更加关心电路的稳态响应（或者说关心电路的长期工作状态），在这种情况下就可以暂时忽略暂态响应而仅仅考虑稳态响应在正弦信号作用下，电路的稳态响应是描述电路的微分方程的特解本章介绍的相量分析方法就是将电路的正弦稳态分析由求微分方程的特解变换为求解复代数方程，进而将第1章介绍的电阻电路的一般分析方法推广到正弦稳态的分析，使复杂电路的正弦稳态分析大大简化3.1.1正弦量及其三要素交流电是指大小和方向都随时间作周期性变化，而在一个周期内的平均值等于零的电压或电流一般所说的交流电，如无特别说明，都是指大小和方向都随时间按正弦规律作周期性变化的电压或电流（相应地称为正弦电压或正弦电流）。

交流电瞬时值含有两个意义：一是指交流电在该瞬间的大小（绝对值）；二是指该瞬间电压或电流的方向（相对参考方向），用瞬时值的正负来表示正弦交流电路中，正弦交流电动势、正弦交流电压和正弦交流电流都按正弦规律变化，可以统称它们为正弦量正弦量的特征表现在变化的快慢、大小和初始值三个方面，这三个方面分别用频率（周期）、幅值（有效值）和初相位来表示频率（角频率或周期）、幅值（有效值或最大值）和初相位为正弦量的三要素三要素确定后，正弦量就被唯一确定如图3.1.1所示，按正弦规律变化的电流是一个周期性的信号，用正弦函数表示为：（3.1.1）式中，为最大值，为角频率，初相位（）图3.1.1正弦电压1频率（周期）正弦量变化一次所需要的时间称为周期每秒内变化的次数称为频率（单位是赫兹Hz）周期的倒数就是频率，即我国和大多数国家都采用50赫兹作为电力电源的频率标准，由于它是工业上应用最为广泛的频率，所以也叫工业频率，简称工频有些国家，如美国、日本等，采用60赫兹作为电力电源的频率标准正弦量变化的快慢也可以用角频率（或角速度）来表示，当时间增加一个周期时，相应的弧度增加，即：则得到：（3.1.2）角频率（或角速度）的单位是弧度/秒（rad/s），式（6.1.2）反映了周期、频率和角频率三者之间的关系。

2幅值和有效值正弦量瞬时值中的最大值称为正弦量的幅值、振幅或最大值，一般用带有下角标的大写字母表示，如由于正弦量的大小是随着时作周期性变化的，它虽然也能够表示正弦量的大小，但是在实际使用时不方便，所以常常采用有效值（或均方根值）来表示正弦量正弦量的有效值是根据电流的热效应来定义的当某一交流电流通过一个电阻R在一个周期内所产生的热量和某一直流电流通过同一电阻在相同时间内产生的热量相等时，则这一直流电流的数值就称为该交流电流的有效值根据有效值的定义得到：（3.1.3）式（3.1.3）是周期信号有效值的一般定义式周期量的有效值等于它的瞬时值的平方在一个周期内的平均值的平方根，所以也叫作均方根值式（3.1.3）适用于任何周期量，但是不适用于非周期量电压的有效值也有类似于式（3.1.3）的结果，这里不再列出下面根据有效值的一般定义式推导正弦量的有效值和最大值的关系将式（3.1.1）代入式（3.1.3）中得：从上式可以看出，正弦量的有效值和最大值之间存在一个固定的数值关系，即最大值等于有效值的倍，而且有效值的大小与电信号的频率和初相位无关引入有效值的概念以后，式（3.1.1）的电流的表达式也可以写成例3.1.1求图3.1.2所示的矩形波电流的有效值。

解根据周期量有效值的定义，得：图3.1.2矩形波电流由于正弦量的有效值和最大值之间存在一个固定的数值关系，所以有效值有时候也可以作为正弦量的一个要素在使用有效值的相关概念时要注意以下几点：（1）最大值等于有效值的倍的关系仅仅适用于正弦量，其他非正弦的周期信号不能照搬这个关系式；（2）工程上所说的正弦电压和电流的大小都是指有效值；（3）一般电压表和电流表的刻度都是按有效值来标定的；（4）交流电气设备铭牌上所标定的电压、电流值都是有效值，如“220V，100W”的白炽灯，是指它的额定电压的有效值是220V3初相位和相位差在正弦电流的解析式中，称为正弦量的相位角（简称相位），它的大小反映了该正弦量的变化进程时的相位称为初相位，如该正弦量的电流初相（位）角为如果电压和电流的正弦量的解析式分别为：，则电压和电流的相位差为：当电压和电流的频率相等时，相位差就等于初相角之差，即如果相位差大于零，则称电压超前电流角，或者说电流滞后电压角如果相位差，则称电压和电流同相当相位差时，则称电压和电流反相注意：以后不作特别说明，本章仅仅讨论同频率的正弦量；在求两个正弦量的相位差时，一定要把这两个正弦量化为标准的同名函数（即同为正弦量或同为余弦量），幅值前面是正号。

例3.1.2已知两个电流正弦量的解析式如下：，求它们的振幅之比和相位差解：首先把两个正弦量化为标准的同名函数，如把化为标准的正弦函数，即：于是求得它们的振幅之比为二者的相位差这两个正弦量电流是反相的根据数学理论，正弦量的微分和积分仍然是正弦量，对于任意一个线性时不变电路（可以含有线性电容、线性电感元件）来说，输入某一频率的正弦电压（或电流）信号，则该电路的输出也必然是同频率的正弦量所以在研究正弦稳态电路时，只要知道正弦量三要素中的两个（振幅和初相角）就可以了为了能够方便地求解振幅和初相角，德国工程师斯坦梅茨提出了相量的概念，使得正弦稳态电路的分析和计算大大简化相量是正弦量的一种复数的表示方法，相量法就是用复数来表示正弦量的有效值和初相角根据欧拉公式则一个正弦量（或余弦量）可以表示为一个复数的实部或虚部：，3.1.2复数基础知识简介复数通常可以表示为指数式（或叫极坐标式）、代数式（也叫直角坐标式）和三角函数式几种形式复数在复平面上可以用有向线段表示，即用向量表示如图3.1.3所示，复数A用有向线段表示复数的直角坐标式是图3.1.3复数A在复平面上的表示式中，a、b都是实数，a叫作复数A的实部，b叫作复数A的虚部；，叫作复数的虚数单位（由于i在电工电路中已经用来表示电流，就不再用来表示虚数单位，而用j来表示虚数单位）。

复数的极坐标式是式中，r叫作该复数的模，叫作该复数的辐角在电工电路中，复数的极坐标式习惯上写为读作“r在一角度”利用欧拉公式：可以把复数的极坐标式化为三角函数的形式：所以一个复数可以表示为：显然：，其中和分别为取实部和虚部的符号1正弦量与相量设某正弦量为可以用一个复指数函数与该正弦量对应，根据复数表达形式的指数式与三角函数式的转换关系，有：（3.1.4）因此，一个实数范围的正弦时间函数可以用一个复数范围的复指数函数来表示上面的正弦量电压可表示为：（3.1.5）从复指数函数表达式来看，该式包含了相对应的正弦量的三要素，而该复指数函数的复常数部分则包含了相对应的正弦量的有效值和初相角我们把这个复数（复常数部分）叫作正弦量的相量，并且采用下列记法：（3.1.6）（3.1.7）式（3.1.6）叫作最大值（或幅值）相量，其模为该正弦量的最大值，辐角为该正弦量的初相；式（3.1.7）叫作有效值相量，其模为该正弦量的有效值，辐角也为该正弦量的初相注意，相量用大写字母上面加一点来表示，以便和普通的复数相区别但相量运算和普通的复数一样，同样遵守普通复数的加、减、乘、除的运算规则相量和普通的复数一样也可以在复平面上用一有向线段（即向量）来表示，表示这种相量的图称为相量图。

式（3.1.4）中的复指数函数的另一部分是时间的复函数，在复平面上，它相当于一个旋转因子它可以表示为以坐标原点为中心，以角速度旋转的单位复数向量如果选取有向线段的长度等于某正弦量为的最大值，相量的初始位置和正实轴的夹角等于该正弦量的初相，以等于该正弦量的角频率绕着坐标原点逆时针旋转这样在引入了旋转相量后，一个用余弦函数（或正弦函数）表示的正弦量在任何时刻的瞬时值就等于该旋转相量（最大值）在同一时刻在实轴（或虚轴）上的投影，如图3.1.4所示所以在复平面上的一个旋转相量可以完整地表示关于时间的正弦函数图3.1.4描述了旋转相量与正弦量（余弦）的对应关系，即正弦量和它的相量之间的关系是一一对应关系如果知道了正弦量就可以写出和它对应的相量；反之，如果知道了相量就可以写出和它对应的正弦量图3.1.4旋转相量与正弦量（余弦）的对应关系在相同频率的正弦信号作用下的线性时不变电路，其各处的稳态响应（电压响应和电流响应）均为同频率的正弦量在相量图中表示正弦量的时候，频率就不反映出来了，仅仅反映幅值和初相角的不同在图3.1.4中，如果有两个（或多个）相量均以角速度逆时针方向在复平面上旋转，则它们的相对位置是保持不变的，即相位差保持不变。

因此在相量图中，如果角频率已知，则不需要考虑其瞬时相位，仅仅需要考虑各个正弦量之间的相位差就可以了2正弦量的运算与相量的关系具有相同频率的相量具有以下几个性质：（1）唯一性当且仅当两个同频率的正弦量（对所有时刻）能用相同的相量表示时，它们则是相等的3.1.8）（2）线性两个（或多个）正弦量的线性组合的相量等于表示各个正弦量相量的同一线性组合设和为任意的相量，和为任意实数，则（3.1.9）（3.1.10）（3）微分性若相量A为给定的正弦量的相量，则为该正弦量导数的相量，为该正弦量积分的相量3.1.11）（3.1.12）从以上性质不难得出一个推论：任意个同频率的正弦量以及任意个同频率正弦量的任意阶导数的代数和仍然是一个同频率的正弦量以上的性质是相量分析法的理论基础，应用这些性质也可以简化正弦交流电路微分方程特解的求解过程相量分析法在应用中应该注意的问题：（1）相量是复数，在复平面上用向量（时间向量）来表示，但不用向量这个名词，要与力学中的空间向量区别正弦量可以用旋转向量（相量）来表示，但正弦量不等于相量2）理论上，同频率的几个正弦量仅仅需要考虑各个正弦量之间的相位差就可以了，相应地用它们的初始时刻的向量来表示。

3）相量分析法的实质是一种变换，通过相量把时域里求微分方程的正弦稳态解的问题变换为频域里解复数代数方程的问题4）相量法的适用范围：（a）只限于正弦信号作为激励源的电路，其他非正弦信号作为激励源的电路不能直接用相量法；（b）只能用于正弦稳态过程的分析，不能用于求解电路的暂态过程；（c）只能用于单一频率的正弦信号，不同频率的正弦信号作为激励源的电路不能用相量法相加5）本书根据国家标准，统一采用cosine函数表示正弦量，即采用读者在看其他参考书的时候要注意，有的作者采用例3.1.3写出下列正弦电压（或电流）对应的相量1）；（2）；（3）解（1）对应的相量为（2），因此对应的相量为（3），因此对应的相量为例3.1.4已知，求下列振幅（最大值）相量对应的正弦量1）；（2）；（3）解：（1）由于，对应的正弦量（2）由于，对应的正弦量（3）由于，对应的正弦量例3.1.5已知两个同频率的正弦电流分别为：，求解法1先对求导，再利用三角函数公式求和进行化简即可以求得结果，但步骤比较烦琐（请读者结合微分知识和三角函数公式自己完成）解法2利用前面介绍的具有相同频率的相量具有的微分性性质，即式（3.1.11）可以非常方便求得结果。

首先，写出两个正弦量对应的相量形式如下：，设根据“若相量为给定的正弦量的相量，则为该正弦量导数的相量”的性质，可以得出，所以：得从本例题可以看出，相量分析法的实质是一种计算方法的变换，当采用相量分析法时，可以免去求导（或积分）和复杂的三角函数运算（包括三角函数的积化和差与和差化积），而仅仅进行复数的代数运算就可以了。