华东师范大学考研专业课《数学分析》真题.pdf

专业课复习资料（最新版）专业课复习资料（最新版） 封封 面面 1997 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 1997 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 一（12 分）设 f(x)是区间 I 上的连续函数证明：若 f(x)为一一映射，则 f(x)在 区间 I 上严格单调 二 （12 分）设,证明： 若 f(x), D(x)f(x) 在点 x=0 处都可导， 且 f(0)=0,则 1, ( ) 0 x D x x    为有理数 ， 为无理数 '(0)0f 三 （ 16分 ） 考 察 函 数f(x)=xlnx 的 凸 性 ， 并 由 此 证 明 不 等 式 ： 2 ()(0,0) a b ab a babab   四（16 分）设级数 1 n n an   收敛，试就 1 n n d   为正项级数和一般项级数两种 情况分别证明 1 n n ann    也收敛 五（20 分）设方程(,)0F xy满足隐函数定理条件，并由此确定了隐函数 y=f(x)又设具有连续的二阶偏导数 (,)yF x （1）求''( )fx （2）若为 f(x)的一个极值，试证明： 0000 (,)0,()F xyyf x ①当与同号时， 00 (,) y Fxy 00 (,) xx Fxy 0 ()f x 为极大值； ②当与异号时， 00 (,) y Fxy 00 (,) xx Fxy 0 ()f x 为极小值。

（3）对方程 22 27xxyy ，在隐函数形式下（不解出 y）求 y=f(x)的极 值，并用（2）的结论判别极大或极小 六（12 分）改变累次积分 420 4 8 4 2 (4) x x x Idxyd     y 的积分次序，并求其值 七（12 分）计算曲面积分其 中 s 为锥面 222 (coscoscos) s Ixyz  ds 22 y0zhzx 上介于的一块， cos,cos,cos 为 s 的下侧法向的方向余弦 1998 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 1998 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 一． 简答题（20 分） （1）用定义验证： 2 2 323 lim 21 n n nn    2   ； （2） ' 2 cos ,0 ( ),( ) ln(1),0 x x f xf xx     求x； （3）计算 3 2 . 1 x dx x  二（12分）设f(x)有连续的二阶导函数，且 求 f(0). '' 0 ()2,[()()]sin5,ffxfxxdx     三（20 分） （1）已知为发散的一般项级数，试证明 1 n n a    1 1 (1) n n a n     也是发散级数。

（2）证明 1 1 2sin 3 n n n x    在0, 上处处收敛，而不一致收敛 四 （12 分） 设 222 :, 2 Dxyzt '(1) 4 . F 222 ( )(), D F tf xyz dxdydz  其 中 f 为连续函数，f(1)=1.证明 五（12 分）设 D 为由两抛物线 2 1yx 与 2 1yx  所围成的闭 域试在 D 内求一椭圆， 22 22 1, xy ab  使其面积为最大 六（12 分）设有连续二阶偏导数，( ,)u x y(, )F u t有连续一阶偏导数， 且满足 '' (,)0 xy F uu, '2'2 ()()0 st FF, . 证明： '' xx uu ''''2 ()0 yyxy u () 七（12 分）设fx () 为的周期函数，其周期可小于任意小的正数 证明若 (,) fx(, ()fx)  在上连续，则常数 1999 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 1999 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 1 (2), n nn x xx a  nN， 0,a  1 0xa一．设 ， 证明： n x收敛，并求其极限。

f二.证明：若函数在区间 I 上处处连续，且为一一映射，则f在 I 上为严格 单调. 三.用条件极值的方法证明不等式： 2 222 12 . 12 . nn xxx  xxx nn    )(0,1, 2,., k xkn ()fx(,)a 四.设在上可导，且 ' lim() x fx    ，证明()fx在 上不一致连续 (,a) ()  fx,a b在上二阶可导，且，，证明：()0fx ''( )0fx五.设 2 ()( ), b a fxf ba  t dt  ,xa b. 六.设( ,)fx y在 ,,Da bc d上有二阶连续偏导数 （1）通过计算验证： '''' (,)(,) xyyx DD fx y dxdyfx y dxdy  （2）利用（1）证明： '''' ( ,)( ,), xyyx fx yfx y( ,)x yD . 七 . 设 对 每 个在,() n nfx,a b上 有 界 ， 且 当时 ，n   () n (),fxfxx ,a b证明： （1） ()fx在,a b上有界； （2） lim sup()sup() n n axbaxb fxf    x ,( sup lim()) n n axb fx     八．设为 S 的内点，为 S 的外点，证明： 直线段 2 000 ,(,SRPxy 01 ) 111 (,)Pxy P PS 至少与 S 的边界有一个交点。

2000 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 2000 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 一． （24 分）计算题： （1） 0 11 lim (); ln(1) x xx    （2） 3 2 cossin ; 1 xx dx cos x    （3）设是由方程 (,)zz x y 222 (,)Fxyz xyz 0,所确定的可微隐函数，试求gradZ. 二． （14 分）证明： （1） 1 1 1 n n           为递推数列； （2） 11 ln(1) 1nn   1 n ，n=1,2,…. 三． （12 分）设f在,a b中任意两点之间都具有介值性，而且f在,a b 内可导， ' |() |fxK（正常数）, (,).xa b证明f在点 a 右连续（同 理在点 b 左连续）. 四． （14 分）设证明: 1 2 0 (1). n n Ix  dx （1） 1 2 21 n n I n    n I,n=2,3…; （2） 2 , 3 n I n  n=1,2,3…. 五（12 分）设 S 为一旋转曲面，由平面光滑曲线 0 ( ),[ , ]( ( ) 0) z yf x xa b f x    饶 轴旋转而成。

试用二重积分计算曲面面积的方法，导出 S 的面积公式为 x '2 2()1() b a Afxfx dx  （提示：据空间解几知道 S 的方程为） 222 ( )yzfx 六（24 分）级数问题： （1）设 sin ,0 ( ) 1,0 x x f xx x        ,求 ()k (0)f （2）设收敛， 1 n n n a   lim0 n n na   证明: 1 11 () nn nn nn n aaa    n （3）设{()} n fx为,a b上的连续函数序列，且 ()(),[,] n fxfxxab 证明：若()fx在,a b上无零点则当充分大时n() n fx在,a b上也无 零点，并有  11 ,, ()() n xa b x  fxf 2001 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 2001 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 一． （30 分）简单计算题. 1）验证：当时，x   2 0 2 x t xedt  与 2 x e为等价无穷大量. 2）求不定积分 2 ln(1)x dx x   。

3）求曲线积分: 2 ()sin O A Iycosy dxxydy  , 其中有向曲线如图所示. O A 4）设 f 为可微函数， 222 ()ufxyz 和方程 23 326(*)xyzxyz 试对以下两种情形，分别求 u x   在点处的值： 0(1,1,1) P （1）由方程确定了隐函数:(*) ( ,);zz x y （2）由方程确定了隐函数:(*)(,).yy x z 二 . （ 12分 ） 求 由 椭 球 面 222 222 1 xyz abc  与 锥 面 222 222 0.(0) xyz z abc  所围立体的体积 三.（12 分）证明：若函数()fx在有限区间,a b内可导，但无界，则其导 函数 '( )fx在,a b内亦必有界. 四.（12 分）证明：若绝对收敛，则亦必绝 对收敛. 1 n n a   12 1 (. n nn n aaaa    ) 五（17 分）设()fx在0,1上连续，(1)0.f 证明： 1）{} n x在 0,1上不一致收敛； 2）{()} n fx x在上一致收敛。

0,1 六（17 分）设函数()fx在闭区间,a b上无界,证明： 1）{},, n xa b使；lim () n n fx    ； 2）,ca b,使得：0,()fx在上无界 （若能用两种不同方法证得 2） ，奖励 5 分） (,),cca b 2002 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 2002 年华东师范大学考研专业课《数学分析》真题 一.（12 分）计算： 1. 2 2 2sin() lim. 2100 n nn nn     ； 2. 2 0 sin1 lim (). 1 x x x x e    3.设 F 为上的可微函数， 由方程 3 R 23 (,,)0Fxy yzzx 确定了为 与 zx y的函数，求 , xy zz 在点的值. (1,1) 二.（15 分）设函数,fg均在,a b内有连续导数，且对于任何,xa b， 有，求证： ''( )gxf()()()0Fxfxx()g x 1.,fg不可能有相同的零点； 2. f 的相邻点之间必有的零点； g 3.在()fx的每个极值点 0 ,xa b，存在 0 x 的某邻域，使得在该邻 域中是严格单调的. ()g x 三. （15 分） 设初始值给定， 用递推公式 1 aR 3 1 4 2 (1, 2.) 1 n n n a an a    得到数列{。

} n a 1.求证数列{收敛； } n a 2.求{所有可能的极限值； } n a 3.试将实数轴 R 分成若干个小区间，使得当且仅当在同一区间取初始值，{} 都收敛于相同的极限值. n a 四.（12 分）设，求椭球体0ac 222 22 1 xyz ac  的表面积. 五.（18 分）设数列{ } n a 有界但不收敛，求证： 1.对于任何 1 0, nx n n xa e     收敛； 2.对于任何在 1 0, nx n n a e      [,)上一致收敛； 3.在上不一致收敛. 1 nx n n a e     (0,) 六.（12 分）设函数()fx在0,1上连续。