【2017年整理】三等分角问题证明.doc

1中華民國第四十二屆中小學科學展覽會作品說明書科別：數學組別：國中組作品名稱：希臘人也瘋狂關鍵詞：三角等分編號：2希臘人也瘋狂校名：台中縣立潭子國民中學作者：指導教師：魏碩辰關鍵詞：尺規作圖、可造數、體擴張（field extensions）理論、Fermat （費瑪）質數研究摘要：在古希臘人對於作圖的限制下：一、作圖時只准許使用直尺和圓規；二、直尺不能有任何刻度，而且直尺和圓規都只准許使用有限次探討五個尺規作圖基本動作的代數性質，從而說明僅使用圓規、直尺是無法三等分角的藉由正多邊形的尺規作圖討論，找出可造的最小角度為 3º 角，進而說明可以尺規作三等分的特殊角為 9º 的倍數角壹、 研究動機：平日喜歡閱讀數學相關科普書的我，在一本介紹數學史的書中，發現一個非常吸引我的標題－「三大幾何難題」 ，由於現在我正在學尺規作圖，興致勃勃的我拿著圓規、直尺就想試著三等分一個角，未料卻被念數學系的哥哥見著，他笑著說：「別浪費時間了！那個問題早就被證明作不出來了 」這答案著實地讓我覺得驚訝，因為我以為解數學題就是依照題目的意思把解答找出來，居然還可以「證明」命題作不出來，好奇的我便對「三等分角」作一次深入的探討，一窺它的奧祕。

貳、 研究目的：一、在古希臘三大幾何難題的原始命題下，探討三等分角的不可能性二、找出可三等分的特殊角度，以及在不同命題的情況下，探討三等分角的可能性參、 研究設備與器材：紙、筆、圓規、直尺、動態幾何（GSP） 肆、 研究過程與方法：Part 1 尺規作三等分角的不可能性一、單純、原始及幾近理想化的尺規作圖：(一)以一把圓規及沒有任何刻度的直尺要三等分角，其限制如下：1. 過已知兩點，劃出一條直線2. 給定一點及一線段，劃出一圓使得該圓以給定的點為圓心、給定的線段為半徑3. 劃出二直線的交點4. 劃直線與圓的交點5. 劃出二圓的交點二) 有了這五個基本動作，我們可以完成如下幾個複雜的作圖：1. 二等分一個給定角2. 作出長度為 的線段n13. 作出長度為 的線段a二、可造數與不可造數：由上我們可以給定一個線段長為單位長 1，並把那些可經由上述尺規作圖而作出的長度或角度，稱為「可造的」 ；其他不能經由上述五個尺規作圖的基本動作作出來的長度，稱為「不可造的」 3三、可造數的若干性質：性質一：可造數經過四則運算後仍然是可造的而這樣一個可造數的集合形成一個代數體(field) 性質二：每一個有理數都是可造的。

證明：1.因為單位長 1 是可造的，所以任意正整數及負整數都是可造的2.有理數是經由整數相除得來的，由性質一，我們知道所有有理數都是可造的性質三：如果 a 是可造的，則 也是可造的a作法：以 1＋a 為直徑作一半圓，設端點為 A、C，在與 C 相距單位長 1 之處作B，並以 B 為垂足，作 交半圓於 D，則 ＝ 為所求DBa證明：1.如圖所示，△ABD 相似於△DBC，則 ， CA22.因為 ， ，所以 得證aA1CaB性質四：如果 a、b、c 是可造的，且方程式 a ＋bx＋c＝0 有實根，則方程式的2x根必為可造的證明：1.如果 a ＋bx＋c＝0 的解依公式解為 x＝ ，因為 a、b、c2x acb42是可造的，所以 b －4ac 也是可造的 （性質一）再者， 也是2 2可造的 （性質三）2.又 a、－b、 皆為可造數，所以 是可造的ac42acb24四、在笛卡兒直角座標系上討論尺規作圖的五個基本動作：1. 過已知兩點，劃出一條直線證明：若 、 、 、 都是可造的，則過兩點( ， )、( ， )1x21y2 1xy2xy的直線方程式為 ，化簡為 ax＋by＝c ，其中121xyxa＝ － ，b＝ － ，c＝ ( － )－ ( － )，則21 2121a、b、c 皆為可造的，又直線是點 (x，y)的軌跡，所以 x、y 亦為可造的。

2. 給定一點及一線段，劃出一圓使得該圓以給定的點為圓心、給定的線段為半徑證明：如果 ,、 1,、 2,都是可造的，給定一定點 ),(及一線段其兩端點為 )(、 )(，則以給定的點為圓心、給定的線段為半徑，圓方程式為 212()(yx+ 21，化簡得 22)()(yx的形式，因為、1、 2121)(，所以 、 、 都是可造的3. 劃出二直線的交點證明：如果 ij、 i， ,j都是可造的，二直線 121yx，4221yx的交點為 /x、 /y，其中)(1、 )(2112y、 ，皆為可造，則兩直線交點（x，y）亦為可造4. 劃直線與圓的交點證明：如果 ,,都是可造的，直線 yx與圓22)()(yx的交點， /)(代入圓方程式中可以化簡成 0'''x的形式，其中的 '、 '、 '是可造的得解 '2'4'0x也會是可造的， 亦為可00xy造換句話說，如果直線方程式及圓方程式的係數如果都是可造的，那麼它們的交點坐標也一定是可造的5. 如果 ,,都是可造的，我們想要証明：圓 22)()(yx及22)()(yx的交點，也是可造的。

>)2(1222  y(2)－(1) 得  0222 222 yx化簡的結果，得到一個圓方程式及一個直線形態的方程式，由 4.推論得知兩圓交點座標為可造的五、揭開不能用尺規三等分角的神祕面紗：定理：p(x)是一個不可以一次因式作因式分解的三次多項式，且各項係數都是有理數，則 p(x)的解都是不可造的（尺規作圖） 證明：1.令 是一個三次方程式的根， ……(1) ，若 存在rx 023cbxax rx於一個體（field ）F 中，則根據代數的體擴張（field extensions）理論，我們有：Q= ， ，且每一個 ，Fn210 rnkFk=1、2 、…、 n，都是由 中的所有元素再加上一個元素1k x所構成，而 ， 1kxx2.若方程式(1)的任一個根是可造的，則方程式(1)的所有實根也都是可造的3.假設 n 是滿足方程式(1)的一個根屬於 的最小整數，則令 =nrn其中 、 、 ，代入(1)得到：1nF50)23(3 3222  nnnn xbaxcbxax ，所以：1F02322xcbxann4.又 的共軛根 亦為方程式(1)的一根，所以利用根與係數關係rx－a－（ ）－（ ）＝－a－2 為第三個根，但是此根nn落於 ，矛盾於前面假設 n 是最小整數。

1nF六、問題的解答原來是這麼著：想要證明用圓規、直尺不能三等分一個角，只須證明不能用尺規作圖一個線段長度為 x＝cos ，而不失一般性令 3 ＝ ，因為 x 滿足一個三次方程式8 ，且利用勘根定理得知此方程式無有理數根，由此說明了尺規作三0163等分角的不可能性Part 2 可以用尺規三等分的特殊角七、直接作出三等分後的那個角：由於用尺規作圖將一個角度三等分，這個角度是題目給我們的我們先稱這個角度為 ，要將 三等分必定是和其他能單純用尺規作出來的角度相差的結果所以我們希望能先做出一些角度，而這些角度都會是正多邊形的內角或外角(除了180º)，首先，我們知道正 n 邊形（除了正 2m 邊形，m ＞1，m ，可以作圖外）N可以用尺規作圖的充要條件是 n＝ ， 、…、 都是不相同的rkp21 rpFermat（費瑪）質數所謂 Fermat 質數就是可以表成 F(x)＝2 ＋1 型的質數我x們可以藉由一些角度的做出而得到 3º 角，因為做出了 3º 角，所以我們就能將所有9º 的倍數角三等分 ∵ 3º 3=9º， ∴ 3º•k 3=9º •k (k N) )八、尺規作出最小的角－3º：（一）正十邊形的作圖﹕假設有一個正十邊形內接於一個單位圓中且邊長為 X , 因為 X 所對的圓心角為 36º 且 OA= B=1,所以 OAB 為一等腰  => OAB=OBA=72º , 過 A 點作一虛線平分 OAB 交 於 B’，所以 1=3=36º。

因為1=3=36º=AOB， 2=ABO=72º，所以 AOB’和 AB’B 為等腰  且將B分為 X 和 1X 兩段因為 OAB～ABB’，所以 OB： = ： B=>1= 所以2+ 1= 0 => =512(負不合)由此可知 可以用尺規作圖作出p.s.5可用畢式定理作出有了長度 ,我們就能用 做 10 個弦於圓上而作出正 10邊形得到 36º 角二）作出 3º 角：6我們利用正十邊形而得到 36º 角，現在我們作一個正三角形，並且將其 60º內角利用角平分線兩等分成 30º 角，由 36º 角和 30º 角我們即可得到一個角為6º，此角再經過兩等分，就能得到 3º 角了 （3º 角是 9º 角的三等分角）九、多了一個點的直尺，三等分角輕而易舉：古希臘數學家阿基米德（前２８７－前２１２）發現只要在直尺上固定一點，問題就可解決了方法如下：在直尺上添加一點Ｐ，令尺端為Ｏ設所要三等分的角是∠ＡＣＢ，以Ｃ為圓心，ＯＰ為半徑作半圓交角邊於Ａ，Ｂ；使Ｏ點在ＣＡ延線上移 動，Ｐ點在圓周上移動，當尺通過Ｂ時，聯ＯＰＢ（見圖） 由於ＯＰ＝ＰＣ＝ＣＢ，所以∠ＣＯＢ＝∠ＡＣＢ／３。

伍、 研究結果：一、從代數的證明過程中，我們發現在尺規作圖的條件限制下，三等分角是不可能的二、若命題改為將一個 的角三等分，因為 是已知的量，所以我們可以經由計算得到 是多少，再直接以尺規作出 的角，從而三等分 角33 三、從正多邊形的尺規作圖討論得知：用直尺與圓規可以作出的最小角度為 3º 角四、可以尺規作三等分的特殊角度為 9º 的倍數角陸、 討論：一、為什麼不能作出 1º 角？假設我們想要用尺規作出 1º 角，而我們知道 360º= 235，所以只要我們能將 360º 作 45 等分，也就是作出正 45 邊形再用角平分線三次我們就能作出 1º 角但是由正多邊形作圖的條件知道正 45 邊形是無法用尺規作出來的(因為45=335，而費馬數中的質數不能出現彼此相同者相乘的情況)因此 1º 角也就無法求出由於 1º 角無法求出，所以 2º 角也沒辦法，因此我們就能知道可用尺規作圖的最小整數角為 3º 角二、3º 的倍數角但不是 9º 的倍數角是否可以三等分？我們知道 3º 角是我們能用尺規作出的，所以 3º 是角度 (題目給我們的已知角)或是自己用尺規所作出的沒有差別。

如果我們要將 3º 角三等分，也就是要我們用尺規作圖作出 1º 角，而在前面我們已經知道這是不可能的了，所以 3º 角是不能用尺規作三等分的同理也可以知道 3º 角的倍數但不為 9º 的倍數角皆不可用尺規作三等分柒、 結論：「三等分角問題」是三大幾何難題中的其中之一，另外還有「化圓為方問題」 、 「立方倍積問題」 三大幾何難題嚴苛地限制作圖工具，雖然表達了古希臘尺規作圖的單純、原始及幾近理想化，但也暴露了古希臘幾何學的一個重大缺陷有不少的數學家，僅把研究幾何作為訓練邏輯思維能力的手段，他們可以在理論上考察所有的幾何圖形，卻不肯去關7心任何一個實際事物的形狀，導致了數學理論與應用的嚴重隔絕「人類的智慧終會覓得最完美的解答」 ，研究了兩千多年，最後的結果竟是不能作出這些問題，著實讓人覺得掃興，但解答三大幾何難題（縱使結果是作不出來） ，不僅顯示了人類智慧的威力，更重要的，是人們發現了更多的數學方法，得到了更多的數學成果，例如為解決化圓為方問題，希波克拉底等人使用的窮竭法，導致一種求圓面積的近似方法，成為阿基米德計。