初中数学 有理数的乘除运算 知识梳理与分类讲解.pdf

专题2.11有理数的乘除运算(知识梳理与考点分类讲解)第一部分【知识点归纳】【知识点一】有理数的乘法1.有理数的乘法法则：(1)两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘；(2)任何数同0 相乘，都得0.【要点提示】(I)不为0的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘.(2)当因数中有负号时，必须用括号括起来，如-2与-3 的乘积，应 列 为(-2)x (-3),不应该写成-2x-3.2.有理数的乘法法则的推广：(1)几个不等于0的数相乘，积的符号由负因数的个数决定.当负因数有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正；(2)几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.【要点提示】(1)在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数.(2)几个不等于0的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘.(3)几个数相乘，如果有一个因数为0,那么积就等于0.反之，如果积为0,那么至少有一个因数为0.3.有理数的乘法运算律：(1)乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：ab=ba.(2)乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘，或者先把后两个数相乘，积相等.即:abc (ab)c a(be).(3)乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相 加.即：a(6+c)=ab+ac.【要点提示】(1)在交换因数的位置时，要连同符号一起交换.(2)乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个因数相乘.如a 6 c d=d (a c)b.一个数同几个数的和相乘，等于把这个数分别同试卷第1 页，共 8 页这几个数相乘，再把积相加.如a （b+c+d）ab+ac+ad.（3）运用运算律的目的是“简化运算”，有时，根据需要可以把运算律“顺用”，也可以把运算律“逆用”.【知识点二】有理数的除法1 .倒数的意义：乘积是1 的两个数互为倒数.【要点提示】（1）“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2的倒数是-;，-2和 是 互 相 依 存 的；（2）0和任何数相乘都不等于1,因此0没有倒数；（3）倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数；（4）互为倒数的两个数必定同号（同为正数或同为负数）.2 .有理数除法法则：法则一：除以一个不等于0的数，等于乘这个数的倒数，即=b法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除.0除以任何一个不等于0的数，都得【要点提示】（1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些.（2）因为0没有倒数，所以0不能当除数.（3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值.【知识点三】有理数的乘除混合运算由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最后算出结果.【知识点四】有理数的加减乘除混合运算有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号,则先算括号里面的.第二部分【题型展示与方法点拨】【题型1两个有理数的乘法运算【例 1】（2 4-2 5 七年级上全国随堂练习）1.计算：试卷第2 页，共 8 页(2)(_0.25)x 1 _ g)；8(15、(3)?XVTJ;，CbO-【变 式 1】(24-25七年级上全国单元测试)2.下列运算正确的是()A.(-5)x(-2)=+(5x2)=10B.（-4）x0=-（4-0）=-4D.R V（-6）=-QX6=-2【变式2】(23-24六年级下黑龙江绥化期末)3.用“”表示一种运算符号，表示对于任何数。

和b,有aAb=ab-a-b,那么6A4=【题型2】多个有理数的乘法运算【例 2】(2024六年级下上海专题练习)4.计算：(l)(-2)x(-8)x(-125).4 1(2)8 x(-)x-,(3)(-|)x|x(-1);(4)0.25 x(-3.1)x(-8).【变 式 1】(24-25七年级上全国随堂练习)5.若 5 个有理数的积是负数，则 5 个因数中正因数的个数可能是()A.1个 B.3 个C.1或 3 或 5 个 D.以上答案都不对【变式2】(23-24七年级上江苏连云港阶段练习)试卷第3 页，共 8 页6.计算：-1 3小1+-【题型3】有理数的乘法运算律【例 3】(23-24七年级上江苏宿迁阶段练习)7.计算：(1)卜3皆 +12.5+1-1 6*-(-2.5)*Wk)1 O(3)-99 x 18(4)18X-|+13X|-4X|【变 式 1】(24-25七年级上全国假期作业)8.有一个数字键“4”坏了的计算器，用这个计算器计算24x25时，下列按键方案中(合适.A.3x8x25B.6x4x25C.25x25-1D.2x2x3x25【变式2】(22-23七年级上广东广州开学考试)6,1 5 49.71 x+61 x+51 x=6 7 5 6 4 5【题型4有理数的除法运算【例 4】(24-25七年级上全国假期作业)1 0.计算:(1)(-12)4-(-3)牛 。

4)(一12)十 一(一100)【变 式 1】试卷第4页，共8页（2024四川达州二模）11.下列运算中，计算结果最大的是（）A.1+(-4)B.1-(-4)C.1x(-4)D.1-(-4)【变式2】（23-24六年级下黑龙江哈尔滨阶段练习）cthc12.已知4、b、C都是有理数，其中为正数，若 代 数 式 的 值 为-1,则代数式|abc|回+粤+回 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _.abc【题型5】有理数的乘除混合运算【例 5】（23-24七年级上广西南宁阶段练习）13.计算：9 9 1(-1 7)；【变 式 1】（2024七年级上全国专题练习）14.下列运算正确的是（）A.25+x(-6)=25+-x(-6)6 6C.2 5*(一 6)=25xgx(一 6)B.D.251x(-6)=25x6x(-6)254-x(-6)=25x6x6【变式2】（23-24七年级上全国课后作业）7 715.计算（-48）+；+（-12）x：的结果是.【题型6】有理数乘除法的实际应用【例 6】（23-24七年级上福建厦门开学考试）试卷第5 页，共 8 页16.2018年至2022年底，中国高铁运营里程超过4.2万公里，位居世界第一位.高铁的票价是按“票价=全程票价xk:工 工 广 汕，的方法计算,已知/站至G站全程票价为800元,总里程数沿途各站的里程数如图.根据这些信息，请你解决以下问题.A B C D E F G0 200 400 600 1000 1600 2000（1）/站至尸站的票价是多少元？王叔叔从。

站上车，购买了一张160元的票，他在哪一站下车？请说明理由.【变 式 1】（23-24九年级上北京海淀开学考试）17.实数a,b,c 在数轴上对应点的位置如图所示，下列式子正确的是（）_Il II a 0 b cA.c（a-fe）0 B.Z （a-c）0 C.a（6+c）0 D.a b-c）0【变式2】（2024北京三模）1 8.车间里有五台车床同时出现故障.已知第一台至第五台修复的时间如下表：车床代号ABCDE修复时间（分钟）83111617若每台车床停产一分钟造成经济损失10元，修复后即可投入生产.（1）若只有一名修理工，且一名修理工每次只能修理一台机床，则下列三个修复车床的顺序：DTBTETATC；DTATCTETB；中，经济损失最少的是（填序号）；（2）如果由两名修理工同时修复车床，且每台机床只由一名修理工修理，则最少经济损失为 元.第三部分【中考链接与拓展延伸】1、直通中考【例 1】试卷第6 页，共 8 页（2024四川宜宾中考真题）19.如果一个数等于它的全部真因数（含单位1,不含它本身）的和，那么这个数称为完美数.例 如：6 的真因数是1、2、3,且6=1 +2+3,则称6 为完美数.下列数中为完美数的是（）A.8 B.18 C.28 D.32【例 2】（2024山东烟台中考真题）20.周髀算经 是中国现存最早的数理天文著作.书中记载这样一道题：“今有女子不善织,口减功迟.初口织五尺，末口织一尺，今三十口织，间织几何？”意思是：现有一个不擅长织布的女子，织布的速度越来越慢，并且每天减少的数量相同.第一天织了五尺布，最后一天仅织了一尺布，30天完工，问一共织了多少布？A.45 尺 B.88尺 C.90尺 D.98尺2、拓展延伸【例 1】（22-23七年级上福建泉州阶段练习）21.【阅读】我们学习了有理数的加法法则与有理数的乘法法则.在学习此内容时，掌握了法则，同时也学会了分类思考.【探索】（1）若 仍=6,贝 I a+6 的值为：正数，负数，0.你 认 为 结 果 可 能 是；（填序号）（2）若a+b=-5,且。

b 为 整 数,则 仍 的 最 大 值 为；【拓展】（3）数轴上/、8 两点分别对应有理数q、b,若 ab 错误，不符合题意；故选：A.3.1 4【分析】根据“”所代表的运算法则，将数据代入进行运算即可.此题考查了有理数的运算,解答本题关键是明确新定义的运算符号所代表的运算法则，属于基础题.【详解】由题意得：6 A 4 =6x4 6 4=1 4故答案为：1 4.4.(1)-2 0 0 0；(4)6.2 .【分析】本题考查多个有理数的乘法，解题的关键是掌握有理数的乘法运算律.(1)首先确定乘积的符号，再根据乘法结合律计算即可；(2)首先确定乘积的符号，再计算；(3)首先确定乘积的符号，再计算；(4)首先确定乘积的符号，再利用乘方交换律，结合律计算.【详解】(1)解：原式二 -2 x(8 x1 2 5)=-2 x1 0 0 0=-2 0 0 0；4 1(2)解：原式5 1 62=-5 解：原 式=2$铲2；3=7 ：(4)解:原 式=3.1 x(0.2 5 x8)=3.1 x2=6.2.答案第2页，共1 1页5.D【分析】本题考查了有理数的乘法运算，解题的关键是掌握有理数的乘法法则.根据几个不为零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，当负因数的个数为偶数时积为正，负因数的个数为奇数时积为负，即可得解.【详解】解：；5 个有理数的积是负数，则 5 个因数中负因数的个数为1 个，3 个或5 个，正因数的个数可能为4 个或2 个或0 个.故选：D.6?【分析】本题考查有理数乘除的混合运算，先将除法转化为乘法，根据多个有理数的乘法法则计算即可.x3x x3故答案为:7.(1)-5(2)-11(3)-1799-一6【分析】本题主要考查了有理数的四则混合运算，熟练掌握运算律和运算法则是解题的关键.(1)根据有理数加法的运算律，同分母的相结合，能凑整的相结合，再进行计算；(2)运用乘法分配律进行计算即可；(3)将原式写成“0 0-卜(-18),再根据乘法分配律进行计算即可；(4)倒用乘法分配律a6+ac+ad=a(6+c+d)进行计算即可.【详解】解：1 3 牛12.5+(一叫一(一2.5)答案第3 页，共 11页4-3-1 +12.5+1-16-1+2.57；T+I 7)-1 6 y j+(12.5+2.5)=-20+15=-5 ；(2)+x(-36)(9 6 4 18广 77 5 3 7=一 一 x36+-x 3 6 一一x36+x369 6 4 18=-28+30-27+14=2-27+14=-25+14=-H;1 Q(3)-99 xl81910一上;(一=-100 x18+xl8191 Q=-1800+19=-1799；19 18x，|+1 3 x|-4x：2 2 2=-18x-+13x 4 x-3 3 3=(-18+13-4)x|=(-9)x|8.A【分析】本题主要考查乘法结合律、乘法分配律，将原式变形，即可求得答案.【详解】A.24x25=3 x 8 x 2 5,不含数字4,该选项符合题意；B.24x25=6 x 4 x 2 5,含数字4,该选项不符合题意；C.24x25=(25-1)x25=25x25-2 5,方案与原式不相等，该选项不。