[理学]第3章 水动力学基础.ppt

第 3 章 水动力学基础（ Basic Hydrodynamics),水动力学是以动力学的理论和方法研究液体的机械运 动规律3.1 液体运动的描述方法,与固体不同，由于液体质点间存在着相对运动，如何,用数学物理方法来描述液体的运动是从理论上研究液体运,动的首要问题通常有拉格朗日法和欧拉法两种方式3.1.1 拉格朗日法（J.Lagrange）,拉格朗日法—把液体的运动看成是无数质点运动的总,和，以个别质点作为研究对象加以描述，再将各质点的运,动汇总起来，就得到整个流动的运动规律 又称为质点系法若给定a，b，c，即为某一质点的运动轨迹线方程液体质点在任意时刻的速度拉格朗日法是固体力学常用的方法，此法中运动轨迹、 速度、加速度之间的关系可表示为：,由于液体的运动轨迹比较复杂，此法描述比较困难，因,此故除个别流动（波浪运动）外，一般不采用3.1.2 欧拉（Euler）法,欧拉法—以充满液体的空间，即流场为对象，观察不同,时刻流场中各空间点上液体质点的运动参数（流速等），将,其汇总起来，就形成了对整个流场的描述 又称为流场法,,,质点通过流场中任意点的加速度,欧拉法的运动参数例如：,式中x，y，z 为流场中的空间坐标，t 为时间。

于同一质点来说，又是时间的函数因此加速度需采用复合,函数求导数的方法求出，即,由于 x，y，z 为液体质点在 t 时刻的运动坐标，故对y,同理,上式为欧拉法描述液体运动中质点加速度的表达式，其中,为某空间点速度随时间的变化率，称为,时变加速度或当地加速度；其他各项则是该空间点速度由,空间点位置变化所引起的加速度，称为位变加速度或迁移,加速度例如，水箱里的水经水管流出,水箱水位下降，两水箱水管中均有时变加速度；,水箱水位恒定不变，两水箱水管中均无时变加速度；,前面水箱水管管径不变，A、B两点速度相同，无位变加速度；,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,A,B,A,B,后面水箱水管管径变化，A、B两点速度不同，有位变加速度3.2 欧拉法的基本概念 （ 1）恒定流和非恒定流（steady and unsteady flows）恒定流—流场中各空间点的运动要素（流速等）均不 随时间变化的流动，反之为非恒定流对于恒定流,恒定流时，时变加速度为零前面的例子中，水箱水位不变为恒定流 2 ）一元、二元和三元流动（one / two / three dimensional flows）流动参数（如流速）是三个空间坐标的函数，流动是 三元的。

其他依此类推下面的流动中哪个是恒定非均匀流？（ ）A.湖中绕等速行驶的船只的水流B.水位不平稳时绕过桥墩的水流C.水箱水位下降过程中流经长直管道的水流D.水箱水位稳定时流经渐扩管的水流,（3）流线为形象地描述流动，特引入流线的概念流线（stream line）—流场中的空间曲线，在同一瞬时 线上各点的速度矢量与之相切两流线不能相交或为折线，而是光滑曲线或直线u1,u2,u3,某时段内，液体质点经过的轨迹称迹线（path line）迹线与流线是完全不同的两个概念恒定流时，流线 与迹线重合流线的基本特性：,,1.恒定流时，流线的形状与位置不随时间而改变，流线与迹线重合2.非恒定流时，流线的形状与位置随时间而改变，即流线一般只有瞬时意义，迹线与流线一般不重合3.流线不能相交或转折4）均匀流和非均匀流（uniform and nonuniform flows）流线为平行直线的流动为均匀流，否则为非均匀流按流线是否为彼此平行的直线,,均匀流,,渐变流,急变流,非均匀流,前面例子中，等直径管内的流动为均匀流动，变直径管内的流动为非均匀流流线图,,,,,,,,,,均匀流,均匀流,非均匀流,均匀流,非均匀流,均匀流,非均匀流,非均匀流,渐变流,急变流,急变流,急变流,均匀流、渐变流过水断面的重要特性,均匀流是流线为彼此平行的直线，应具有以下特性：,过水断面为平面，且过水断面的形状和尺寸沿程不变；,同一流线上不同点的流速应相等，从而各过水断面上的流速分布相同，断面平均流速相等；,均匀流（包括渐变流）过水断面上的动水压强分布规律与静水压强分布规律相同，即在同一过水断面上各点的测压管水头为一常数；,推论：均匀流过水断面上动水总压力的计算方法与静水总压力的计算方法相同。

5）元流与总流流场中取一非流线的封闭曲线，通过曲线上各点的流 线所构成的管状表面称为流管由于流线不能相交，所以 液体不能从流管的侧壁流入或 流出恒定流时，流管形状保 持不变与流管上所有流线都正交的横断面称为过水断面（cross section）流线相互平行时，过水断面为平面，否则为曲 面过水断面为无限小时，流管及其内部的液体称为元流 （elementary flow ）元流的几何特征与流线相同过水断面为有限大小时，流管及其内部的液体称为总 流（total flow）总流是由无数元流组成6）流量与断面平均流速单位时间内通过过水断面液体的体积，称为体积流 量，简称流量（flow rate/discharge） ，单位为立方米每 秒（m3/s）若以dA表示元流过水断面面积，u 表示该断面流速， 则总流流量为,除体积流量外，还可有质量流量及重量流量等总流过水断面上各点的速度 u 一般是不相等的以管流为例，管壁处流速最小（为0），管轴处最大为便于计算，设想过水断面上流速均匀分布，即各点 流速相同，通过的流量与实际相同，于是定义v 为该断面 的断面平均流速（mean velocity） ，表示为,或,,,,,,,,,,,,,A,u,,,,,,,,,v,3.3 连续性方程（continuity equation） 流场中取一段总流，两端过水断面面积分别为A1和A2。

总流中任取一元流，两端过水断面面积分别为 dA1 和 dA2，流速分别为 u1 和 u2 考虑到：,形状不变；,（2）连续介质，元流内部无间隙；,（1）恒定流时，元流,,,,A1,A2,,,,,,u1,u2,dA1,dA2,（3）流线性质，流管侧壁无液体流入流出根据质量守恒定律，单位时间内从dA1流入液体的质量,等于从dA2 流出液体的质量，即,上式是在总流沿程无分流或合流条件下得出的，若总流 沿程流量有变化，则所有流量变化可表示为,对于不可压缩液体，有,对总流过水断面积分，得,或,于是,或,连续性方程是质量守恒定律的水力学表达式§3-3 恒定一元流的连续性方程式,在恒定总流中，取一微小流束，,依质量守恒定律：,设 ，则,即有：,微小流束的连续性方程,积分得：,也可表达为：,适用条件：恒定、不可压缩的总流且没有支汇流若有支流：,3.5 伯努利方程,x,理想液体内取边长分别为dx,dy,dz的微元六面体，,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,pM,y,z,b,dx,b’,a,a’,z,y,x,dy,dz,O’,c’,d’,d,c,pN,受力和运动情况中心点O’(x,y,z)压强p(x,y,z)、流速u(x,y,z)。

根据牛顿第二定律，以x方向为例，分析微元六面体的,,3.5.1 理想液体运动微分方程,表面力：理想液体内，不存在切应力，只有压强故除abcd与a’b’c’d’两面外，其余面上作用的压力在x 轴上投影均为0此两面中心点压强可用Taylor级数展开：,两个面上的总压力则为：,质量力：x方向单位质量力与六面体总质量的乘积，即,根据牛顿第二定律，x方向：,化简后得:,上式即液体运动微分方程，由欧拉（Euler)于1755导出，,同理得:,又称欧拉运动微分方程3.5.2 理想液体运动微分方程的伯努利积分 将欧拉运动微分方程各式分别乘以流线上微元线段的 投影 dx、dy 和 dz，然后相加,引入限定条件：,（1）作用在液体上的质量力只有重力，即,X = Y= 0，Z =－g,于是 Xdx + Ydy + Zdz = －gdz,（2）不可压缩液体做恒定流动时 ρ= const，p = p ( x, y, z ),于是,（3）恒定流动时，流线与迹线重合,dx = uxdt，dy = uydt，dz = uzdt,于是,将限定条件代回原方程,积分,该式由瑞士物理学家伯努利于1738年推出，称伯努利方程。

或,伯努利 Daniel Bernoulli1700年生于荷兰的格罗宁根，5岁 同家人回迁瑞士的巴塞尔 1782年， 逝世于瑞士的巴塞尔，享年82岁曾在 巴塞尔等多所大学学习1716年获艺术 硕士学位；1721年又获医学博士学位 25岁为圣彼得堡科学院的数学院士 8年后回到瑞士的巴塞尔，先后任解剖 学、植物学教授和物理学教授1738年出版了《流体动力学》一书，给出了流体动力学的基本 方程，后人称之为“伯努利方程” 他还提出把气压看成气体分子对容器壁表面撞击而生的效应1728年起，他和欧拉还共同研究柔韧而有弹性的链和梁的力学 问题，还研究了弦和空气柱的振动伯努利的贡献还涉及到医学、力学、数学等各个方面3.5.3 伯努利方程的意义,沿元流机械能守恒，故又称能量方程单位重量液体所具有的位置势能，或位能；,单位重量液体所具有的压强势能，或压能；,单位重量液体所具有的总势能；,单位重量液体所具有的动能；,单位重量液体所具有的机械能；,某点到基准面的位置高度，或位置水头；,该点的测压管高度，或压强水头；,该点测压管液面的总高度，或测压管水头；,该点的流速高度，或流速水头；,该点的总水头；,沿元流各点总水头相等，总水头线水平。

方程式的物理意义,,,,,,表明：在不可压缩理想液体恒定流情况下，微小流束内不同过水断面上，单位重量液体所具有的机械能保持相等（守恒）毕托管（Pitot tube）与流速水头1730年法国工程师毕托用一根前端弯成直角的玻璃管 测量塞纳河水的流速h,由此可见，测速管（毕托管）与测压管之差即流速水头弯管前端迎向来流，水,,,,,,,,,,,,,,,,,,H,A,B,深H，入口前取A点，入口,后取B点，水流进入弯管后,由于A、B两点距离很近，,两点的机械能相等，即,或,上升至 h 3.5.4 实际液体元流伯努利方程实际液体具有黏滞性，流动阻力消耗机械能单位重 量流体所具有的机械能沿程减少，总水头线沿程下降设 hl’ 为单位重量液体由过水断面1-1运动至2-2的机械能损失， 或元流的水头损失，实际液体元流伯努利方程可为,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,二、实际液体恒定流微小流束的能量方程式,——单位重量液体从断面1-1流至断面2-2所损失的能量，称为水头损失3.5.5实际液体恒定总流的能量方程式,将构成总流的所有微小流束的能量方程式叠加起来，即为总流的能量方程式均匀流或渐变流过水断面上,动能修正系数,1.05~1.1,取平均的hw,,,,,,,,V→u，,,能量方程的图示法—水头线,从能量方程中可以看出各项代表的是单位重量液体所具有的各种单位能量,都是长度的单位,所以用几何线段来表示其大小,,,,一、实际液体恒定总流的能量方程的图示,,,实际液体恒定总流的能量方程式表明：水流总是从水头大处流向水头小处；或水流总是从单位机械能大处流向单位机械能小处。

总水头线,测压管水头线,,实际液体总流的总水头线必定是一条逐渐下降的线，而测压管水头线则可能是下降的线也可能是上升的线甚至可能是一条水平线水力坡度J——单位长度流程上的水头损失，,方程式的物理意义：,,二、应用能量方程式的条件：,（1）水流必需是恒定流； （2）作用于液体上的质量力只有重力； （3）在所选取的两个过水断面上，水流应符合渐变流的条件，但所取的两个断面之间，水流可以不是渐变流； （4）在所取的两个过水断面之间，流量保持不变，其间没有流量加入或分出若有分支，则应对第一支水流建立能量方程式，例如图示有支流的情况下,能量方程为：（5）流程中途没有能量H输入或输出若有，则能量方程式应为：,。