八年级数学下册 1.4 角的平分线的性质课件1 （新版）湘教版.ppt

第第1章章 1 1、角平分线的概念、角平分线的概念一条射线一条射线一条射线一条射线把一个角把一个角把一个角把一个角分成两个相等的角分成两个相等的角分成两个相等的角分成两个相等的角，，这条射线叫做这个角的平分线这条射线叫做这个角的平分线这条射线叫做这个角的平分线这条射线叫做这个角的平分线o oB BC CA A1 12 2知识回顾知识回顾 如图，如图，ABAB＝＝ADAD，，BCBC＝＝DCDC，沿着，沿着ACAC画一条射线画一条射线AEAE，，AEAE就是就是∠BAC∠BAC的角的角平分线，你知道为什么吗？平分线，你知道为什么吗？D····CBAE 不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两全不利用工具，请你将一张用纸片做的角分成两全个相等的角你有什么办法？个相等的角你有什么办法？AOBC 再打开纸片再打开纸片 ，看看折，看看折痕与这个角有何关系？痕与这个角有何关系？ 对折对折自主预习自主预习　　２２. .分别以Ｍ分别以Ｍ, ,Ｎ为圆心Ｎ为圆心. .大大于于 ＭＮ的长为半径作弧．两ＭＮ的长为半径作弧．两弧在弧在∠∠AOBAOB的内部交于Ｃ．的内部交于Ｃ．A A A AＢＢＢＢＯＯＯＯＭＭＭＭＮＮＮＮＣＣＣＣ作法：作法：　１．以Ｏ为圆心，适当长为半１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．．３３. .画射线画射线OCOC．．射线ＯＣ即为所求．射线ＯＣ即为所求． A A A AＢＢＢＢＭＭＭＭＮＮＮＮＣＣＣＣ为什么为什么OCOC是角平分线呢？是角平分线呢？ ＯＯＯＯ想一想：想一想：已知：已知：OM=ONOM=ON，，MC=NCMC=NC。

求证：求证：OCOC平分平分∠AOB∠AOB证明：证明：在在△OMC△OMC和和△ONC△ONC中，中， OM=ONOM=ON，， MC=NCMC=NC，， OC=OCOC=OC，， ∴ △OMC≌ △ONC∴ △OMC≌ △ONC（（SSSSSS）） ∴∠∴∠MOC=∠NOCMOC=∠NOC 即：即：OCOC平分平分∠∠AOBAOB (1)(1)实验：将：将∠AOB∠AOB对折，再折出一个直角三角形（使第一折，再折出一个直角三角形（使第一条折痕条折痕为斜斜边），然后展开，），然后展开，观察两次折叠形成的三条折痕，察两次折叠形成的三条折痕，你能得出什么你能得出什么结论？？ (2)(2)猜想猜想: :角的平分线上的点到角的两边的角的平分线上的点到角的两边的距离相等距离相等. .新知探究新知探究证明：明：∵OC∵OC平分平分∠ AOB ∠ AOB （已知）（已知） ∴ ∠1= ∠2∴ ∠1= ∠2（角平分（角平分线的定的定义）） ∵PD ⊥ OA∵PD ⊥ OA，，PE ⊥ OBPE ⊥ OB（已知）（已知） ∴ ∠PDO= ∠PEO∴ ∠PDO= ∠PEO（垂直的定（垂直的定义）） 在在△PDO△PDO和和△PEO△PEO中中 ∠PDO= ∠PEO∠PDO= ∠PEO（已（已证）） ∠1= ∠2 ∠1= ∠2 （已（已证）） OP=OPOP=OP （公共（公共边）） ∴∴ △PDO ≌ △PEO△PDO ≌ △PEO（（AASAAS）） ∴PD=PE∴PD=PE（全等三角形的（全等三角形的对应边相等）相等） P PA AO OB BC CE ED D12已知：如图，已知：如图，OCOC平分平分∠AOB∠AOB，点，点P P在在OCOC上，上，PD⊥OAPD⊥OA于点于点D D，， PE⊥OBPE⊥OB于点于点E E求证求证: PD=PE: PD=PE(3)(3)验证猜想验证猜想角平分线的性质角平分线的性质定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相定理：角的平分线上的点到角的两边的距离相等。

等用符号语言表示为：用符号语言表示为：AOBPED12∵ ∠1= ∠2∵ ∠1= ∠2 PD ⊥OA PD ⊥OA ，，PE ⊥OBPE ⊥OB∴PD=PE∴PD=PE( (角角的的平分线上的点到角的平分线上的点到角的两边的距离相等两边的距离相等) )推理的理由有推理的理由有三三个个，必须写完全，，必须写完全，不能少了任何一不能少了任何一个• 反反过来，到一个角的两来，到一个角的两边的距离相等的点是否一定在的距离相等的点是否一定在这个个角的平分角的平分线上呢？上呢？ 已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．证明证明: : ∵∵∵∵ QD⊥OAQD⊥OA，，QE⊥OBQE⊥OB（已知），（已知），　　∴∴ ∠QDO ∠QDO＝＝∠QEO∠QEO＝＝9090°°（垂直的定义）（垂直的定义）在在Rt△QDORt△QDO和和Rt△QEORt△QEO中中　　 QOQO＝＝QOQO（公共边）（公共边） QD=QEQD=QE ∴∴ Rt△QDO≌Rt△QEO Rt△QDO≌Rt△QEO（（HLHL））　　∴ ∴ ∠ QOD∠ QOD＝＝∠QOE∠QOE ∴ ∴点Q在∠AOB的平分线上已知：如图,QD⊥OA，QE⊥OB，点D、E为垂足，QD＝QE．求证：点Q在∠AOB的平分线上．到角的两边的距离相等的点在角的平分线到角的两边的距离相等的点在角的平分线上。

上∵∵ QD⊥OA，QE⊥OB，QD＝QE．∴∴点Q在∠AOB的平分线上．用数学语言表示为：角的平分线上的点到角的两边的距离相等角的平分线上的点到角的两边的距离相等. .∵∵ QD⊥OA,QE⊥OB,点Q在∠AOB的平分线上∴ ∴ QD＝QE例例1 1 如图， ∠ BAD=∠BCD=90 °， ∠1= ∠2.（1）求证：点B在 ∠ABC的平分线上2）求证：BD是 ∠ABC的角平分线证明（1）在△ABC中， ∵ ∠ 1=∠2 ∴BA=BC又BA ⊥AD，BC ⊥CD∴点B在∠ABC的平分线上2）在Rt△BAD和Rt△BCD中， ∵BA=BC，BD=BD ∴Rt△BAD≌Rt△BCD ∴ ∠ABD=∠CBD ∴BD是∠ABC的平分线 A AB BC CD D12角平分线的性质定理：角平分线的性质定理： 角平分线上的点到这个角的两边距离相等角平分线上的点到这个角的两边距离相等. .角平分线的性质定理的逆定理：角平分线的性质定理的逆定理： 角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上 知识梳理知识梳理，，1 1、在、在Rt△ABCRt△ABC中，中，BDBD是角平分线，是角平分线，DE⊥ABDE⊥AB，垂，垂足为足为E E，，DEDE与与DCDC相等吗？为什么？相等吗？为什么？ A AB BC CD DE E 2、如图,OC是∠AOB的平分线,点P在OC上,PD ⊥OA,PE⊥OB,垂 足 分 别 是 D、 E,PD=4cm,则PE=__________cm.ADOBEPC随堂练习随堂练习 3.要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，要在Ｓ区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处５００米，应建在何处？（比例尺米，应建在何处？（比例尺 1：：20 000））ＳＳＯＯ公路铁路 4 4、在、在△ABC△ABC中，中，AC⊥BCAC⊥BC，，ADAD为为∠BAC∠BAC的平的平分线，分线，DE⊥ABDE⊥AB，，ABAB＝＝7 7㎝㎝，，ACAC＝＝3 3㎝㎝，求，求BEBE的长。

的长EDCBA 观察可能导致发现观察可能导致发现,观察将揭示某观察将揭示某种规则、模式种规则、模式或或 规律 ——波利亚波利亚。