结构化学第二章答案.doc

1.1】将锂在火焰上燃烧，放出红光，波长λ=670.8nm，这是Li原子由电子组态 (1s)2(2p)1→(1s)2(2s)1跃迁时产生的，试计算该红光的频率、波数以及以kJ·mol-1为单位的能量解：【1.3】金属钾的临阈频率为5.464×10-14s-1，如用它作为光电极的阴极当用波长为300nm的紫外光照射该电池时，发射光电子的最大速度是多少？解：【1.4】计算下列粒子的德布罗意波的波长：（a） 质量为10-10kg，运动速度为0.01m·s-1的尘埃；（b） 动能为0.1eV的中子；（c） 动能为300eV的自由电子解：根据关系式：(1)【1.5】用透射电子显微镜摄取某化合物的选区电子衍射图，加速电压为，计算电子加速后运动时的波长解：根据de Broglie关系式：【1.8】电视机显象管中运动的电子，假定加速电压为1000，电子运动速度的不确定度为的10%，判断电子的波性对荧光屏上成像有无影响？解：在给定加速电压下，由不确定度关系所决定的电子坐标的不确定度为：这坐标不确定度对于电视机（即使目前世界上最小尺寸最小的袖珍电视机）荧光屏的大小来说，完全可以忽略人的眼睛分辨不出电子运动中的波性。

因此，电子的波性对电视机荧光屏上成像无影响1.9】用不确定度关系说明光学光栅（周期约）观察不到电子衍射（用电压加速电子）解：解法一：根据不确定度关系，电子位置的不确定度为：这不确定度约为光学光栅周期的10－5倍，即在此加速电压条件下电子波的波长约为光学光栅周期的10－5倍，用光学光栅观察不到电子衍射解法二：若电子位置的不确定度为10－6m，则由不确定关系决定的动量不确定度为：在104V的加速电压下，电子的动量为：由Δpx和px估算出现第一衍射极小值的偏离角为：这说明电子通过光栅狭缝后沿直线前进，落到同一个点上因此，用光学光栅观察不到电子衍射【1.11】是算符的本征函数，求其本征值解：应用量子力学基本假设Ⅱ（算符）和Ⅲ（本征函数，本征值和本征方程）得：因此，本征值为1.12】下列函数中，哪几个是算符的本征函数？若是，求出本征值 解：，是的本征函数，本征值为1是的本征函数，本征值为11.15】已知在一维势箱中粒子的归一化波函数为 式中是势箱的长度，是粒子的坐标，求粒子的能量，以及坐标、动量的平均值。

解：（1）将能量算符直接作用于波函数，所得常数即为粒子的能量：即：（2）由于无本征值，只能求粒子坐标的平均值：（3）由于无本征值按下式计算px的平均值:1】函数是否是一维势箱中粒子的一种可能状态？若是，其能量有无确定值？若有，其值为多少？若无，求其平均值 解：该函数是长度为的一维势箱中粒子的一种可能状态因为函数和都是一维势箱中粒子的可能状态（本征态），根据量子力学基本假设Ⅳ（态叠加原理），它们的线性组合也是该体系的一种可能状态因为 常数所以，不是的本征函数，即其能量无确定值，可按下述步骤计算其平均值将归一化：设=，即： 所代表的状态的能量平均值为： 也可先将和归一化，求出相应的能量，再利用式求出所代表的状态的能量平均值：【2.3】对于氢原子：(a)分别计算从第一激发态和第六激发态跃迁到基态所产生的光谱线的波长，说明这些谱线所属的线系及所处的光谱范围b)上述两谱线产生的光子能否使：（i）处于基态的另一氢原子电离？（ii）金属铜中的铜原子电离（铜的功函数为）？(c)若上述两谱线所产生的光子能使金属铜晶体的电子电离，请计算出从金属铜晶体表面发射出的光电子的德补罗意波的波长。

解：(a)氢原子的稳态能量由下式给出： 式中n是主量子数 第一激发态(n＝2)和基态(n＝1)之间的能量差为：原子从第一激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：第六激发态(n＝7)和基态(n＝1)之间的能量差为：所以原子从第六激发态跃迁到基态所发射出的谱线的波长为：这两条谱线皆属Lyman系，处于紫外光区b）使处于基态的氢原子电离所得要的最小能量为：ΔE∞=E∞-E1=-E1=2.18×10-18J而 ΔE1=1.64×10-18J<ΔE∞ ΔE6=2.14×10-18J<ΔE∞所以，两条谱线产生的光子均不能使处于基态的氢原子电离，但是 ΔE1>ФCu=7.44×10-19JΔE6>ФCu=7.44×10-19J所以，两条谱线产生的光子均能使铜晶体电离c）根据德布罗意关系式和爱因斯坦光子学说，铜晶体发射出的光电子的波长为： 式中ΔE为照射到晶体上的光子的能量和ФCu之差应用上式，分别计算出两条原子光谱线照射到铜晶体上后铜晶体所发射出的光电子的波长： 【2.6】计算氢原子的1s电子出现在的球形界面内的概率解：根据波函数、概率密度和电子的概率分布等概念的物理意义，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面内的概率为： 那么，氢原子的1s电子出现在r=100pm的球形界面之外的概率为1-0.728=0.272。

2.8】已知氢原子的归一化基态波函数为(a)利用量子力学基本假设求该基态的能量和角动量；(b)利用维里定理求该基态的平均势能和零点能解：（a）根据量子力学关于“本征函数、本征值和本征方程”的假设，当用Hamilton算符作用于ψ1s时，若所得结果等于一常数乘以此ψ1s,则该常数即氢原子的基态能量E1s氢原子的Hamiltton算符为： 由于ψ1s的角度部分是常数，因而与θ，ф无关： 将作用于ψ1s，有： （r=a0）所以 =…=-2.18×10-18J也可用进行计算，所得结果与上法结果相同注意：此式中将角动量平方算符作用于氢原子的ψ1s，有： =0ψ1s所以 M2=0 |M|=0此结果是显而易见的：不含r项，而ψ1s不含θ和ф，角动量平方当然为0，角动量也就为0通常，在计算原子轨道能等物理量时，不必一定按上述作法、只需将量子数等参数代人简单计算公式，如：即可b）对氢原子，，故： 此即氢原子的零点能2.9】已知氢原子的，试回答下列问题：(a)原子轨道能E=?(b)轨道角动量|M|=?轨道磁矩|μ|=?(c)轨道角动量M和z轴的夹角是多少度？(d)列出计算电子离核平均距离的公式（不算出具体的数值）。

e)节面的个数、位置和形状怎么样？(f)概率密度极大值的位置在何处？(g)画出径向分布示意图解：（a）原子的轨道能：（b）轨道角动量：轨道磁矩：（c）轨道角动量和z轴的夹角：， （d）电子离核的平均距离的表达式为： （e）令，得：r=0，r=∞，θ=900节面或节点通常不包括r=0和r=∞，故的节面只有一个，即xy平面（当然，坐标原点也包含在xy平面内）亦可直接令函数的角度部分，求得θ=900f）几率密度为： 由式可见，若r相同，则当θ=00或θ=1800时ρ最大（亦可令，θ=00或θ=1800），以表示，即：将对r微分并使之为0，有： 解之得：r=2a0（r=0和r=∞舍去）又因： 所以，当θ=00或θ=1800，r=2a0时，有极大值此极大值为： （g）根据此式列出D-r数据表：r/a001.02.03.04.05.06.0D/00.0150.0900.1690.1950.1750.134r/a07.08.09.010.011.012.0D/0.0910.0570.0340.0191.02×10-25.3×10-3按表中数据作出D-r图如下：图2.9 H原子的D-r图由图可见,氢原子的径向分布图有n-l＝1个极大(峰)和n-l-1＝0个极小(节面)，这符合一般径向分布图峰数和节面数的规律。

其极大值在r＝4a0处这与最大几率密度对应的r值不同，因为二者的物理意义不同另外，由于径向分布函数只与n和l有关而与m无关，2px、2py和2pz的径向分布图相同2.10】对氢原子，，所有波函数都已归一化请对所描述的状态计算：(a)能量平均值及能量出现的概率；(b)角动量平均值及角动量出现的概率；(c)角动量在z轴上的分量的平均值及角动量z轴分量出现的概率解：根据量子力学基本假设Ⅳ-态叠加原理，对氢原子所描述的状态：(a)能量平均值 能量出现的概率为 (b)角动量平均值为 角动量出现的概率为 (c)角动量在z轴上的分量的平均值为 角动量z轴分量h/π出现的概率为01.14】写出Li2+离子的Schrödinger方程，说明该方程中各符号及各项的意义，写出Li2+离子1s态的波函数并计算或回答：(a)1s电子径向分布最大值离核的距离； (b)1s电子离核的平均距离； (c)1s电子几率密度最大处离核的距离；(d)比较Li2+离子的2s和2p态能量的高低；(e)Li原子的第一电高能(按Slater屏蔽常数算有效核电荷)。

解：Li2+离子的Schrödinger方程为： 方程中，μ和r分别代表Li2+的约化质量和电子到核的距离；▽2，ψ和E分别是Laplace算符、状态函数及该状态的能量，h和ε0分别是Planck常数和真空电容率方括号内为总能量算符，其中第一项为动能算符第二项为势能算符（即势能函数) Li2+子1s态的波函数为： （a） 又 1s电子径向分布最大值在距核处 （b） （c） 因为随着r的增大而单调下降，所以不能用令一阶导数为0的方法求其最大值离核的距离分析的表达式可见，r＝0时最大，因而也最大但实际上r不能为0(电子不可能落到原于核上)，因此更确切的说法是r趋近于0时1s电子的几率密度最大 （d）Li2+为单电子“原子”，组态的能量只与主量子数有关，所以2s和2p态简并，即E2s=E2p （e）Li原子的基组态为(1s)2(2s)1对2s电子来说，1s电子为其相邻内一组电子，σ=0.85因而： 根据Koopmann定理，Li原子的第一电离能为： I1=-E2s=5.75eV【2.16】已知He原子的第一电离能I1=24.59eV,。