华师大版八年级上册数学ppt课件(第14章-勾股定理).ppt

第第1414章章 勾股定理勾股定理14.1 勾股定理勾股定理第第1 1课时课时 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系 -认识勾股定理认识勾股定理1课堂讲解u勾股定理勾股定理u勾股定理与面积的关系勾股定理与面积的关系2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升 你知道你知道2002年在北京召开的国际数学家大会（年在北京召开的国际数学家大会（ICM2002)吗吗?在这次大在这次大 会上，到处可以看到一个简洁优美、会上，到处可以看到一个简洁优美、远看像旋转的纸风车的图案，它就是大远看像旋转的纸风车的图案，它就是大 会的会标会的会标.会标采用了会标采用了 1700多年前中国古代数学家赵爽用来证多年前中国古代数学家赵爽用来证明勾股定理的弦图明勾股定理的弦图.知知1 1导导1知识点勾股定理勾股定理 本章本章导图导图中的弦中的弦图隐图隐含着直角三角形三含着直角三角形三边边之之间间的的 一种奇妙关一种奇妙关系，系，让让我我们们首先首先观观察下面的正方形瓷察下面的正方形瓷砖铺砖铺成成 的地面的地面.图图14.1.1是正方形瓷是正方形瓷砖铺砖铺成的地成的地 面，面，观观察察图图中着色的三个正方形中着色的三个正方形,显显然，两个小正方形然，两个小正方形P、Q的面的面积积之和等于大正方形之和等于大正方形R的面的面积积.即即 AC2+BC2=AB2,这说这说明，在等腰直角三角形中，两直角明，在等腰直角三角形中，两直角边边的平的平方和方和 等于斜等于斜边边的平方的平方.那么在一般的直角三角形中，那么在一般的直角三角形中，两直角两直角边边 的平方和是否等于斜的平方和是否等于斜边边的平方呢？的平方呢？知知1 1导导试试一一试试观观察察图图14.1.2,如果每一小方格表示如果每一小方格表示1平平方厘米，方厘米，那么可以得到：那么可以得到：正方形正方形P的面的面积积=平方厘米；平方厘米；正方形正方形Q的面的面积积=平方厘米；平方厘米；正方形正方形R的面的面积积=平方厘米平方厘米.我我们发现们发现，正方形，正方形P、Q、R的面的面积积之之间间的关系是的关系是 .由此，我由此，我们们得出得出RtABC的三的三边长边长度之度之间间存在的关存在的关 系系是是 .知知1 1导导做一做做一做 画出两条直角画出两条直角边边分分别为别为5 cm、12 cm的直角三角形，的直角三角形，然后用刻度尺量然后用刻度尺量 出斜出斜边边的的长长，并，并验证验证上述关系上述关系对这对这个直角个直角三角形是否成立三角形是否成立.勾股定理：直角三角形两直角勾股定理：直角三角形两直角边边的平方和等于斜的平方和等于斜边边的的平方；平方；数学表达式：在数学表达式：在RtABC中，中，C90，ABc，ACb，BCa，则则a2b2c2.要点精析：要点精析：(1)勾股定理适用于任何一个直角三角形；勾股定理适用于任何一个直角三角形；(2)勾股定理的内容描述的是直角三角形三勾股定理的内容描述的是直角三角形三边边之之间间的数的数 量关系，已知其中任意两量关系，已知其中任意两边边可以求出第三可以求出第三边边；(3)勾股定理的勾股定理的变变形公式：形公式：a2c2b2，b2c2a2；(4)运用勾股定理运用勾股定理时时要分清斜要分清斜边边、直角、直角边边知知1 1讲讲归 纳 利用勾股定理求直角三角形利用勾股定理求直角三角形边长边长的方法：一般的方法：一般都要都要经过经过“一分二代三化一分二代三化简简”这这三步：即一分：分三步：即一分：分清哪条清哪条边边是斜是斜边边、哪些是直角、哪些是直角边边；二代：代入；二代：代入a2b2c2及两及两边边之之间间的关系式；三化的关系式；三化简简知知1 1讲讲在在RtABC中，已知中，已知B90,AB=6,BC=8.求求AC.根据勾股定理，根据勾股定理，可得可得AB2+BC2=AC2.所以所以 AC=知知1 1讲讲例例1 解：解：应应用勾股定理，由直用勾股定理，由直角三角形任意两角三角形任意两边边的的长长度，可以求出第三度，可以求出第三边边的的长长度度.在在RtABC中，中，C90，A，B，C的对边分别是的对边分别是a，b，c.(1)已知已知ab6，求，求c；(2)已知已知c3，b2，求，求a；(3)已知已知a b2 1，c5，求，求b.知知1 1讲讲例例2 分清斜边和直角边因为分清斜边和直角边因为a，b，c分别是分别是RtABC的三边，所以可以用勾股定理解决的三边，所以可以用勾股定理解决问题问题导引：导引：知知1 1讲讲(1)C90，ab6，由勾股定理，得由勾股定理，得c(2)C90，c3，b2，由勾股定理，得由勾股定理，得a(3)a b2 1，a2b.又又C90，c5，由勾股定理，得由勾股定理，得(2b)2b252，解得，解得b 解：解：已知直角三角形的两边长分别为已知直角三角形的两边长分别为3，4，求第，求第三边的长三边的长知知1 1讲讲例例3 第三边的长为第三边的长为错解：错解：由于习惯了由于习惯了“勾三股四弦五勾三股四弦五”的说法，因此的说法，因此将题意理解为两直角边长分别为将题意理解为两直角边长分别为3和和4，于是，于是斜边长为斜边长为5.但这一理解的前提是但这一理解的前提是3，4为直角为直角边长，而题中并没有任何说明，因而所求的边长，而题中并没有任何说明，因而所求的第三边长可能为斜边长，也可能为直角边第三边长可能为斜边长，也可能为直角边长所以需要分情况求解长所以需要分情况求解错解分析：错解分析：知知1 1讲讲(1)当两直角边长分别为当两直角边长分别为3和和4时，第三边的长时，第三边的长 为为(2)当斜边长为当斜边长为4，一直角边长为，一直角边长为3时，第三边时，第三边 的长为的长为正确解法：正确解法：总 结 运用勾股定理求第三运用勾股定理求第三边边的的长时长时，一般都要，一般都要经过经过“一分二代三化一分二代三化简简”这这三步；若通三步；若通过题过题目中的条件目中的条件找不到斜找不到斜边边，则则需要运用分需要运用分类讨论类讨论思想求解思想求解知知1 1讲讲知知1 1练练 1 在在 RtABC 中，中，AB=c，BC=a，AC=b,C90.(1)已知已知 a=6,c=10,求求 b;(2)已知已知 a=24,c=25,求求 b.知知1 1练练 若一个直角三角形的两直角边的长分别为若一个直角三角形的两直角边的长分别为a，b，斜边长为斜边长为c，则下列关于，则下列关于a，b，c的关系式中不正的关系式中不正确的是确的是()Ab2c2a2 Ba2c2b2Cb2a2c2 Dc2a2b22 知知1 1练练 3已知一个直角三角形的两条边长分别为已知一个直角三角形的两条边长分别为3和和4，则，则第三条边长的平方为第三条边长的平方为()A25 B7 C7或或25 D不确定不确定 知知2 2讲讲2知识点勾股定理与面积的关系勾股定理与面积的关系基本思想方法：勾股定理把基本思想方法：勾股定理把“形形”与与“数数”有机地有机地结结合起来，即把直角三角形合起来，即把直角三角形这这个个“形形”与三与三边边关系关系这这一一“数数”结结合起来，它是数形合起来，它是数形结结合思想方法的典合思想方法的典范范观观察察图图14.15中的中的图图形，回答形，回答问题问题：(1)如如图图，DEF为为直角三角形，正方形直角三角形，正方形P的面的面积为积为9，正方形正方形Q的面的面积为积为15，则则正方形正方形M的面的面积为积为_；(2)如如图图，分，分别别以直角三角形以直角三角形ABC的三的三边为边为直径向三角直径向三角 形外作三个半形外作三个半圆圆，则这则这三个半三个半圆圆形的面形的面积积之之间间的关系的关系 式是式是 (用用图图中字母表示中字母表示)；(3)如如图图，如果直角三角形两直角，如果直角三角形两直角边边的的长长分分别为别为3和和4，分分别别以直角三角形的三以直角三角形的三边为边为直径作半直径作半圆圆，请请你利用你利用(2)中得出的中得出的结论结论求阴影部分的面求阴影部分的面积积知知2 2讲讲例例4 24S1S2S3知知2 2讲讲(1)根据正方形的面积公式结合勾股定理可得根据正方形的面积公式结合勾股定理可得DF2 DE2EF2，即正方形，即正方形M的面积的面积91524；(2)S1 ，S2 ，S3 ，另外由勾股定理可知，另外由勾股定理可知AC2BC2 AB2，所以，所以S1S2S3；(3)阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直阴影部分的面积两个小半圆形的面积和直 角三角形的面积大半圆形的面积，由角三角形的面积大半圆形的面积，由(2)可知可知 两个小半圆形的面积和大半圆形的面积，所两个小半圆形的面积和大半圆形的面积，所 以阴影部分的面积直角三角形的面积以阴影部分的面积直角三角形的面积导引：导引：知知2 2讲讲设两个小半圆形的面积分别为设两个小半圆形的面积分别为S1，S2，大半圆形的面积为大半圆形的面积为S3，三角形的面积为，三角形的面积为S，由由(2)知，知，S1S2S3，则则S阴影阴影S1S2SS3S 346.解：解：总 结 与直角三角形三与直角三角形三边边相关的正方形、半相关的正方形、半圆圆形及正形及正多多边边形都具有相同的形都具有相同的结论结论：两直角：两直角边边上上图图形面形面积积的的和等于斜和等于斜边边上的上的图图形面形面积积本例考本例考查查了勾股定理及了勾股定理及正方形的面正方形的面积积公式，半公式，半圆圆形面形面积积的求法，解答此的求法，解答此类类题题目的关目的关键键是仔是仔细观细观察所察所给图给图形，面形，面积积与与边长边长、直、直径有平方关系，就很容易径有平方关系，就很容易联联想到勾股定理想到勾股定理知知2 2讲讲知知2 2练练 如图，字母如图，字母B所代表的正方形的面积是所代表的正方形的面积是()A12 B13 C144 D1941 知知2 2练练 如图，直线如图，直线l上有三个正方形上有三个正方形a，b，c，若，若a，c的面的面积分别为积分别为3和和4，则，则b的面积为的面积为()A3 B4 C5 D72 知知2 2练练 如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正是正方形，所有的三角形都是直角三角形若正方形方形A，B，C，D的边长分别是的边长分别是3，5，2，3，则，则最大正方形最大正方形E的面积是的面积是()A13 B26 C47 D943 第第1414章章 勾股定理勾股定理14.1 勾股定理勾股定理第第2 2课时课时 直角三角形三边的关系直角三角形三边的关系-验证勾股定理验证勾股定理1课堂讲解u勾股定理的验证勾股定理的验证u勾股定理的应用勾股定理的应用2课时流程逐点逐点导讲练导讲练课堂课堂小结小结作业作业提升提升知知1 1讲讲1知识点勾股定理的验证勾股定理的验证读读一一读读 我国古代把直角三角形中我国古代把直角三角形中较较短的直角短的直角边边称称为为勾，勾，较长较长的直角的直角边边称称为为股，斜股，斜边边称称为为弦弦.“弦弦图图”最早是由三最早是由三 国国时时期的数学家期的数学家赵赵爽在爽在为为周髀算周髀算经经作注作注时给时给出的，出的，它它标标志着中国古志着中国古代的数学成就代的数学成就.图图14.1.3是是2002年在年在 北京召开的北京召开的国国际际数学家大会数学家大会(ICM2002)的会的会标标，其，其图图 案正案正是由是由“弦弦图图”演演变变而来而来.知知1 1讲讲做一做做一做 用四个全等的直角三角形，用四个全等的直角三角形，还还可以拼成如可以拼成如图图 14.1.5所示的所示的图图形形.与上面的方法与上面的方法类类似，根据似，根据这这一一图图 形，也能形，也能证证明勾股定理明勾股定理.请请你你试试一一试试，写出完整的，写出完整的证证明明过过程程.图图 14.1.5知知1 1讲讲1.命命题题1：如果直角三角形的两条直角：如果直角三角形的两条直角边长边长分分别为别为a，b，斜斜边长为边长为c，那么，那么a2b2c2.2.常用常用证证法：通法：通过过拼拼图图法利。