高考数学专题复习极限经点答疑二.doc

学科：数学教学内容：极限经点答疑（二）例 2 用定义证明 .x01lim规范证法 设 ,对于任意给定的 ε>0，要使 ,只要f |x1|0xf|就可以了．因此，对于任意给定的 ε>0，取 ,则当|x|>M 时，1|x 1M .01lim0|| x，f 下下有时，我们还需要区分 x 趋于无穷大的符号．如果 x 从某一时刻起，往后总是取正值而且无限增大．则称 x 趋于正无穷大，记作 x→+∞，此时定义中，|x|>M 可改写为 x>M，如果 x 从某一时刻起，往后总取负值且|x|无限增大，则称 x 趋于负无穷大，记作 x→-∞，此时定义中的|x|>M 可改写成 x0，总存在 M>O，使,021lixx当 x>M 时， 即可．021x规范证法 设 对任意给定的 ε>0，要使.fx，只要 ，即 就可以xx210|f| 12x12g下了．因此，对于任意给定的 1>ε>0，取 ,则当 x>M 时，12gM下恒成立，所以021|xf|x .0limxximlx下当 x→∞时，f(x)以 A 为极限的几何意义是：对于任意给定的正数 ε(无论多么小)，在坐标平面上作两平行直线 y=A-ε 与 y=A+ε，两直线之间形成一个带形区域．不论 ε 多么小，即不论带形区域多么狭窄，总可以找到 M>0，当点(x，f(x))的横坐标 x 进入区间(-∞，-M)U(M，+∞)时，纵坐标 f(x)全部落入区间(A-ε,A+ε)内．此时 y=f(x)的图形处于带形区域内．ε 越小，则带形区域越狭窄，如图 2—7 所示．8．什么是函数左极限与右极限?前面讲了 时函数 f(x)的极限，在那里 x 是以任意方式趋于 的．但是，有时0x0x我们还需要知道 x 仅从 的左侧 或仅从 的右侧 趋于 时，f(x)的变0x0化趋势．于是，就要引进左极限与右极限的概念．例如，函数 ，图形见图 2-8．1xf容易观察出，当 x 从 0 的左侧趋于 0 时,f(x)趋于 1；而当 x 从 0 的右侧趋于 0 时，f(x)趋于 0．我们分别称它是 x 趋于 0 时的左极限与右极限．再考察 当 x 趋于 0 时的极限．由于函数的定义域为[0，+∞)因此只能考察其y右极限．对 ,由于其定义域为(-∞，0]，因此，当 x 趋于 0 时，只能考察其左极限．定义：如果当 x 从 的左侧 趋于 时，f(x)以 A 为极限，即对于任意给定00x0的 ε>0，总存在一个正数 δ，使 时， 恒成立，则称 A 为|xf|时 f(x)的左极限.记作 或 如果当 x 从 的右侧0xAxf0lim.00趋于 时，f(x)以 A 为极限，即对于任意给定的 ε>0，总存在—个正数 δ，使0当 时，|f(x)-A|0 除之，得 或 .∵ ，xcos1in1coslim0x∴ (根据夹挤定理，参看后面知识链接部分第 4 个问题中的方法 1)．1.xsinlm0其次，当 x0,解不等式.12xcos,|x|2sin|x| co2sin xsxi|ixsn| 0000000  下取 δ≤ε,于是，对任意 ε>0，总存在 δ≤ε(其中 δ>0)，当 时，有||0，即正弦函数 sinx 在 连续，因为 是 R 上任意—点，所以正弦函|xsin|0 0x0x数 sinx 在 R 上是连续函数．同理可知，余弦函数 cosx 在 R 上也是连续函数．12．什么是函数在一个区间上的连续性？如果函数 f(x)在开区间(a，b)内每一点连续，则称函数 f(x)在开区间(a，b)上连续；如果函数 f(x)在闭区间[a，b]内每一点(非端点)都连续，且函数 f(x)在左端点 a 右连续，在右端点 b 左连续，则称函数 f(x)在闭区间[a，b]上连续．一般地，对任何—个区间 I，如果函数 f(x)在区间 I 内的每一点(非端点)都连续，且当区间 I 含有端点时，函数 f(x)在端点处单侧连续(在左端点指的是右连续，在右端点指的是左连续)，则称函数 f(x)在区间I 上连续．例如，函数 f(x)=sin x 在区间(-∞,+∞)内每一点都是连续的，因而可说函数 f(x)=sinx 在区间(-∞,+∞)上连续．又如，函数 在区间[0，+∞)内的每一点(不包括端点 x=0)都是连续的．又f在区间的左端点 x=0 满足 ，则 在 x=0 点右连续，因此可说函数0ximl0xf在区间(0,+∞)上连续．利用连续函数的定义和性质，可以证明，—切基本初等xf函数在它们的定义域内都是连续的．计算极限 ．若已知函数 f(x)是初等函数，而 a 又属于函数 f(x)的定义域，则filax函数 f(x)在点 a 连续，根据连续定义， “ ”与“f”可交换次序，即 ，limximlfilaax于是，计算连续函数 f(x)在点 a 的极限就变成了计算函数 f(x)在点 a 的函数值 f(a)．例 .ximx1586l23思路启迪 可以先将极限式的分子，分母分解，这就会出现重复项 x-3．由于函数在点 3 的极限只与 3 附近点 x 的函数值变化有关与点 3 无关，即 x≠3 或 x-x523≠0，因此可以消去分子与分母中的公共因式 x-3．规范解法.35x2.1532imlilx 下下13．求函数极限有哪些方法?在某一极限过程中,参加极限四则运算的每一个极限都必须有相同的过程,而且每个极限都必须存在(分母不为零)才能运算．我们通过下面几道题来总结一下求函数极限的方法．例 1 求  .xgxf,gfimx 初 等 函 数的 某 个 邻 域 内 有 定 义 的是 在与其 中 00l思路启迪 由于 f(x)与 g(x)是在 的某邻域内有定义的初等函数,所以 也是在0 xgf的某邻域内有定义的初等函数．根据初等函数的连续性可求出该极限．0x规范解法 由初等函数的连续性，得 ,xgiml,xfil 00x00 0时 ，xf当 g型0未 定 式 时 ，,当 时 ，当xgflim故 00x0例 2 求.xarctnxiix 直 接 代 入 法246l5l2思路启迪 由于当 x→2 时 ,分子、分母的极限都存在，并且分母的极限不为 0，所以可以将 x→2 直接代入分子、分母，根据初等函数的连续性，分别求出分子分母的极限，再求商即可．规范解法 2l2l 4652xarctnimxigx原 式 .gg4610l346l52 例 3 求 .xxim约 去 零 因 式 法12670l232思路启迪 由于将 x→-2 代入分母，可得分母极限为 0，所以此题不能用直接入法．根据观察,可以将分子分母分解因式,都可以分解出极限为 0 的 x+2,约去公因式即可求极限了．规范解法 652103lxxi原 式 325ll2 ximixx.735iml2x例 4 .ix通 分 法1l31思路启迪 因为 ，所以不能直接用求函数极限差的运算法,ximl3x1il则,可将函数通分变形后再求极限．规范解法 .ximi xx 12l2l 11 原 式例 5 求 .ximx 项分 子 、 分 母 同 除 以 最 次1328l42思路启迪 由于分子,分母的极限都是无穷大,所以分子、分母同除以最高次项 ，使4x分子、分母的极限都存在．规范解法 43218lxix原 式 .02点评 一般地 .mn0,baxbaiml m10nnx例 6 求 .ximx有 理 化 法3145l思路启迪 求函数极限时，若碰到分子，分母中有根号的情形，经常会把分子或分母有理化，使原极限可求．规范解法 3231 14545l xxxix 原 式 .imx510l21例 7 求 .Nn,mxix变 量 替 换 法l1思路启迪 分子，分母中分别有 ， 直接求极限不好求，可以采用变量规换的nxm方法，令 .tmn规范解法 于 是时则 当 ,tx,1.nmtttititnmt 1211ll 原 式例 8 求 .xsicox利 用 重 要 极 限 法l0思路启迪 出现 1.xsinlm要 极 限n， 想 到 利 用 重 0规范解法一 2sin21sinx2lm原 式 200x 规范解法二 .xcosimxcosinx 2121l2l 020 原 式规范解法三 inimxx 1l1l 00原 式.xcossinmx 21l 0。