多元函数微分学复习.doc

高等数学下册复习提要 张祥芝1高等数学下册复习高等数学下册复习------多元函数微分学多元函数微分学本章知识点本章知识点: 函数定义域求法（☆） 重极限、累次极限计算（☆☆） 一阶偏导数、全微分计算（☆☆☆） 方向导数、梯度计算（☆☆） 复合函数求导（☆☆☆☆☆） 隐函数（组）求导（☆☆☆） 曲面切平面、曲线切线（☆☆☆☆） 无条件极值（☆☆☆☆） 条件极值---拉格朗日乘数法（☆☆☆☆） 1. 二重极限二重极限例 1 讨论 的收敛性.22 00limyxxyyx析 二重极限的问题一般比较复杂,一般可以先用一些特殊路径,转化成一元函数极限问 题,估计出其极限,然后再用定义验证.如果极限与路径有关,则说明二重极限不存在.解 令,kxy 22 00limyxxyyx2220limxkxkxxkxyx,12kk 其值随的不同而变化，故极限不存在．k例 2 验证 . 22( , )(0,0)lim0 x yxyxy 析 验证极限一般是要办法证明.( )f xA( ,0)kk解 由，那么对，取.当时，有22221 2xyxy xy 0 2.这就证明了. 22xyxy 22( , )(0,0)lim0 x yxyxy 例 3 求极限.xxyyx)sin(lim20 析 注意到分子是当时的无穷小量,可以考虑利用重要极限.2, 0yx解 .221lim)sin(lim)sin(lim)sin(lim20 20 20 20      yxyxyyxyxy xxyyx yx yx yx练 1. 讨论二元函数高等数学下册复习提要 张祥芝2yxyxyxyxf22 ),(在点的二重极限.)0 , 0(练 2. 讨论函数 0, 00,),(2222 242yxyxyxyx yxf在点的连续性.)0 , 0(2. 偏导数及全微分偏导数及全微分例 1. 设，求 ，.)2(ln22 yxyxzxz  yz 解 方法一 令 ，，则.yxu yxv 2vuzln2由复合函数求导法则，得，xv vz xu uz xz 即=，21ln22  vu yvuxz )2(2)2(ln2222yxyxyxyx =yv vz yu uz yz ) 1()(ln222vu yxvu=.)2()2(ln32222yxyxyxyx 方法二 利用一元函数求导法则求偏导，可直接求出两个偏导数 ，.即xz  yz ，.xz  )2(2)2(ln2222yxyxyxyx  yz )2()2(ln32222yxyxyxyx 例 2. 已知，求 .)ln(e),(23sinxyxyxfxy )0 , 1 (xf解 .于是，.)0 ,(xfxln3xxfx3)0 ,(3)0 , 1 (xf例 3. 设，求)ln(22yxz1 1dx yz 高等数学下册复习提要 张祥芝3解 设 ，则 ，uyx22uzln所以 ， ，d12dzzuxxuxud12dzzuyyuyu从而 =．1 1dx yz 11 11ddxx yyzzxyxy ddxy例 4. 设函数，其中连续，问：),(||),(yxyxyxf),(yx（1）应满足什么条件，才能使偏导数，存在.),(yx)0 , 0(xf)0 , 0(yf（2）在上述条件下，在点处是否可微？),(yxf)0 , 0(解 (1) 因为 ，xxx xfxfxx)0 ,(||lim)0 , 0()0 ,(lim 00且连续，所以),(yx，)0 , 0()0 , 0()0 ,(lim 0xfxfx)0 , 0()0 , 0()0 ,(lim 0xfxfx要使存在，必须，即得.)0 , 0(xf)0 , 0()0 , 0(0)0,0(同理，要使存在，也必须.)0 , 0(yf0)0 , 0(所以，当时，在(0,0)的偏导数存在，且,.0)0 , 0(),(yxf0)0 , 0(xf0)0 , 0(yf(2) 因为 , 22)()(),(||])0 , 0()0 , 0([yxyxyxyfxfzyx 在上述条件下，有 ，0)0 , 0(),(lim00yxyx且 2 )()(||)()(||2222  yxyxyxyx所以， ，即在（0,0）处可微.0])0 , 0()0 , 0([lim 0yfxfzyx),(yxf练 1. 设，求.  0, 0, 0,),(2222 22yxyxyxxy yxf(0,0),(0,0)xyff练 2. 求 在点处的全微分.xyzcosln)4, 1 (练 3. 求 的全微分.2sinzuxy e高等数学下册复习提要 张祥芝4练 4. 证明函数  0, 00,1sin)(),(22222222yxyx yxyxyxf在点连续且偏导数存在，但偏导数在不连续，而在可微.)0,0()0,0(f)0,0(3. 方向导数级梯度方向导数级梯度例 1. 求 在的梯度及沿方向的方向导数.32yzxyu) 1 , 1, 2(0P) 1, 2 , 2(lr析 1) 熟悉方向导数和梯度概念及求法.2) 需要注意的是只有在才可用求方向导数.如coscoscoszu yu xu lu 分段函数在分界点常用定义求出方向导数.解 ,kzujyuixuuvrrgrad而 2323,2,yzzuzxyyuyxu故 ,kzujyuixuuvrrgradkyzjzxyiyvrr2323)2(则在处的梯度为 .) 1 , 1, 2(0Pkjiuvrr35grad又,故其方向余弦为) 1, 2 , 2(lr,31cos,32cos,32cos所以 沿方向的方向导数为lr.38coscoscosgrad0zu yu xuulul P练 1. 设函数   0, 00,),(2222 2222yxyxyxyxyx yxf求函数在点处沿方向的方向导数．)0,0()cos,(cos4. 多元复合函数高阶导数多元复合函数高阶导数例 1. 设其中 f 具有二阶连续偏导数，求.),,cos,(sinyxeyxfzxyz xz  2 及高等数学下册复习提要 张祥芝5析 1）明确函数的结构(树形图)这里 ，那么复合之后是关于的二元函数.根据结构图，yxewyvxu,cos,sinzyx,可以知道：对的导数，有几条线通到“树梢”上的，结果中就应该有几项，而每一项xx 都是一条线上的函数对变量的导数或偏导数的乘积.简单的说就是， “按线相乘，分线相加” .2）是的简写形式，它们与的结31, ff),cos,(sin),,cos,(sin31yxyxeyxfeyxfz构相同，仍然是的函数.yxeyx,cos,sin3）f 具有二阶连续偏导数，从而连续，所以.yxz xyz  22 ,yxz xyz 22解 ，yxefxfxz  31cosxefyfyxz xyzyxcos])sin([131222     .yxyxyxeefyffe   ])sin([33323练 1. 设其中 f 具有二阶连续偏导数，求.),,2(2 2 xyxfxz 22xz 练 2. 设其中 f 具有二阶连续偏导数，求.),sin,2(xyyxfzxyz 2练 3. 设其中 f 二阶可导，具有二阶连续偏),sin()2(22yxyegyxfzxg导数，求 .yxz 25. 隐函数隐函数(组组)导数导数例 1. 设 ，求 ，.0e2ezxyzxz  yz 析 用公式法求隐函数的偏导数时，将看成是三个自变量，，的函),,(zyxFxyz数，即，，处于同等地位.方程两边对求偏导数时，，是自变量，是，xyzxxyzx 的函数，它们的地位是不同的.yzu v wxxyy高等数学下册复习提要 张祥芝6解 方法一 用公式法，设=， ),,(zyxF0e2ezxyz则 ，，，xy xyFexy yxFez zFe2===；===.xz zx FFzxyye2ezxyye2e yz zy FFzxyxe2ezxyxe2e方法二 方程两端求导，由于方程有三个变量，故只有两个变量是独立的，所以求 ，xz 时，将看作，的函数.yz zxy方程两端对求偏导数，得x即 =；0e2)(e xz xzyzxy xz zxyye2e方程两端对求偏导数，得y即 =.0e2)(e yz yzxzxy yz zxyxe2e方法三 利用全微分求 ，.xz  yz 方程两边求全微分，利用微分形式不变性，则，0ded2)e (dzxyz，0ded2)(dezzxyzxy，0d)e2()dd(ezyxxyzxy=，zdzxyye2exdzxyxe2eyd因此 =，=.xz zxyye2e yz zxyxe2e例 2. 设 ，求. 01, 0222xyvuyxvu yv xv yu xu    ,,,解 方法一 令.1),,,(,),,,(222xyvuvuyxGyxvuvuyxF则,2,2, 1,2vFuFFxFvuyx高等数学下册复习提要 张祥芝7. 1, 1,,vuyxGGxGyG从而当 时,可确定函数.022),(),(vuGGFFvuGFJvuvu),(),,(yxvvyxuu利用隐函数组求导公式,有,vuyvx vuyvx yvxJGGFFJvxGF Jxuvxvx  2222 12211 ),(),(1,vuxv vyGF Jyu 2221 ),(),(1 ，。

vuyux xuGF Jxv  ),(),(1 vuxu yuGF Jyv 2221 ),(),(1 方法二 方程组两端对求导，得x 0, 0222yvuxvvuuxxxx即 yvuxvvuuxxxx,222则 ，vuyvxvu yvxxu  1122 122vuyuxvu yxuxv 。