第四节广义积分初步.ppt

第四节第四节 广义积分初步广义积分初步定积分存在的两个必要条件定积分存在的两个必要条件:(1)积分区间有限积分区间有限积分区间无限被积函数有界积分区间无限被积函数有界积分区间有限但被积函数无界积分区间有限但被积函数无界广广义义积积分分(无穷积分无穷积分)(瑕积分瑕积分)(2)被积函数有界被积函数有界一一.无穷积分无穷积分一一.无穷积分无穷积分1.定义定义设设在在上连续上连续,取取存在存在,如果极限如果极限则称此极限值为函数则称此极限值为函数在在上的无穷积分上的无穷积分.记作记作:此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.即即注注 (1)无穷积分的几何意义无穷积分的几何意义: 当当时时表示由曲线表示由曲线与直线与直线和和 轴所围成的向右无限延伸的轴所围成的向右无限延伸的平面图形的面积平面图形的面积.(2)的敛散的敛散性与性与无关无关.2.定义定义设设在在上连续上连续,取取存在存在,如果极限如果极限则称此极限值为函数则称此极限值为函数在在上的无穷积分上的无穷积分.记作记作:此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.即即3.定义定义 设设在在上连续上连续,同时收敛同时收敛,如果如果则称它们的和为函数则称它们的和为函数在在上的无穷积分上的无穷积分.记作记作:此时也称无穷积分收敛此时也称无穷积分收敛,否则称无穷否则称无穷积分发散积分发散.和和(某个实数某个实数)为某个实数为某个实数,即即例例1.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解即广义积分收敛即广义积分收敛,值为值为例例2.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解故广义积分故广义积分时收敛时收敛,时发散时发散.例例3.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解而而即即发散，发散， 故故发散发散.例例 已知已知求常数求常数的值的值(1993年考研真题年考研真题8分分)解解由由得得二二.瑕积分瑕积分二二.瑕积分瑕积分1.定义定义设设在在上连续上连续,且且存在存在,如果极限如果极限则称此极限值为函数则称此极限值为函数在在上的瑕积分上的瑕积分. 记作记作:此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分否则称瑕积分发散发散.即即2.定义定义设设在在上连续上连续,且且存在存在,如果极限如果极限则称此极限值为函数则称此极限值为函数在在上的瑕积分上的瑕积分. 记作记作:此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分否则称瑕积分发散发散.即即3.定义定义设设在在上连续上连续,并并且且如果如果同时收敛同时收敛,则称它们的和为函数则称它们的和为函数在在上的瑕积分上的瑕积分. 记作记作:此时也称瑕积分收敛此时也称瑕积分收敛,否则称瑕积分否则称瑕积分 发散发散.和和即即例例4.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解因因故故是瑕点是瑕点即广义积分收敛即广义积分收敛,值为值为例例5.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解因因故故是瑕点是瑕点故广义积分故广义积分时收敛时收敛,时发散时发散.例例6.讨论广义积分讨论广义积分的敛散性的敛散性.解解因因而而发散发散,故故发散发散例例7.判定判定的敛散性的敛散性.解解因因故故是瑕点是瑕点即瑕积分发散即瑕积分发散.瑕积分瑕积分时收敛时收敛,时发散时发散.无穷积分无穷积分时收敛时收敛,时发散时发散.总结总结三三.函数函数定义定义 广义积分广义积分是是的函数的函数,称为称为函数函数.性质性质1函数是收敛的函数是收敛的.性质性质2证证性质性质3证证性质性质4性质性质5证证性质性质6其中其中例例7 求求解解例例8 求求解解四四.函数函数定义定义 广义积分广义积分是是的函数的函数,称为称为函数函数.和和记作记作性质性质1收敛收敛.性质性质2证证性质性质3例例9 计算计算解解例例10 求求解解 令令则则。