立体几何知识点总结已打.docx

相邻两个面的公共边叫做多面高考立体几何知识点总结一、空间几何体 (-)空间儿何休的类型1 •多面体：由若干个平面多边形围成的儿何体围成多面体的各个多边形叫做多面体的面, 体的棱，棱与棱的公共点叫做多面体的顶点2•旋转体：把一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转形成了封闭几何体其中, 这条直线称为旋转体的轴)几种空间几何体的结构特征1、棱柱的结构特征1.1棱柱的定义：有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些而所围成的几何体叫做棱柱O1.2棱柱的分类①棱柱*棱垂亘于底面 > 直棱柱底面是疋多形》正棱柱 其他棱柱…底而是四边形棱柱 底而是平行四边形 侧棱垂直于底而>四棱柱 ►平行六而体 ► 直平行六而体底面是矩形 ► 长方体底面是正方形 棱长都相等 正四棱柱 ►正方体性质1•侧面都是平行四边形且各侧棱互相平行且相等2.两底面是全等多边形且互相平行；3.平行于底面的截面和底面全等; 1.3棱柱的面积和体积公式S直棱柱侧尸c/l (c是底周长，是咼)S宜棱柱表面=c • h+ 2S 底2、棱锥的结构特征2」棱锥的定义(1) 棱锥：有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的儿何体叫做棱锥。

2) 正棱锥：棱锥的底面是正多边形，且它的顶点在过底面中心且与底面垂直的直线上2.2正棱锥的结构特征I、 平行于底面的截面是与底面相似的正多边形，相似比等于顶点到截面的距离与顶点到底面的距离之比; 它们面积的比等于截得的棱锥的高与原棱锥的高的平方比；截得的棱锥的体积与原棱锥的体积的比等于截得 的棱锥的高与原棱锥的高的立方比；II、 正棱锥的各侧棱相等，各侧面是全等的等腰三角形；正棱锥侧面积：S”棱椎=卜加(c为底周长，丹为斜•高)体积：|Sh (S为底面积，/7为高)B正四面体:对于棱长畑正四面体的问题可将它补成-个边长为「的正方体问题对棱间的距离为宁（正方体的边长）正四面体的高伞m正方体体对和线）正四面体的体积为名/（v正方体■化卜三棱锥正方体）正四面体的中心到底面与顶点的距离Z比为1:3 （=*人力体体对角线:夕止方体体对和线）3、棱台的结构特征3.1棱台的定义：用一个平行于底面的平面去截棱锥，我们把截面和底面之间的部分称为棱台3.2正棱台的结构特征（1） 各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰梯形；（2） 正棱台的两个底而和平行于底而的截而都是正多边形;（3） 正棱台的对角面也是等腰梯形；（4） 各侧棱的延长线交于一点。

柱的结构特征4.1圆柱的定义：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体叫圆柱4.2圆柱的性质（1）上、下底及平行于底面的截面都是等圆；（2）过轴的截面（轴截面）是全等的矩形4.3圆柱的侧而展开图：圆柱的侧而展开图是以底而周长和母线长为邻边的矩形4.4圆柱的面积和体积公式S圆柱侧而=27T • r • h （1•为底面半径，h为圆柱的高） S圆柱全=271 r h + 2兀d V恻柱=S底11 =兀內5、锥的结构特征5.1 I员1锥的定义：以直角三角形的一直角边所在的直线为旋转轴，其余各边旋 转而形成的曲面所围成的儿何体叫做圆锥5.2圆锥的结构特征（1） 平行于底面的截面都是圆，截面直径与底面直径之比等于顶点到截面 的距离与顶点到底面的距离之比；（2） 轴截而是等腰三角形；（3） 母线的平方等于底面半径与高的平方和:l2 = r2 + h25.3 I员I锥的侧面展开图：I员I锥的侧面展开图是以顶点为I员I心，以母线长为半径的扇形台的结构特征6.1圆台的定义：用一个平行于底面的平面去截圆锥，我们把截面和底面之间的部分称为圆台6.2圆台的结构特征：（1）圆台的上下底面和平行于底面的截面都是圆;⑵圆台的截面是等腰梯形；⑶圆台经常补成圆锥，然后利用相似三角形进行研究。

圆柱的表面积：S = Inrl + Inr1圆锥的表面积：S=7Trl + 7Tr2S圆台全二兀，！*2*兀・底+兀・（只+ 1*）・1 V 0|台=1/3（兀/ +兀R2 +兀r R） h （h为圆台的高）7球的结构特征7.1球的定义：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆旋转一周形 成的旋转体叫做球体空间中，与定点距离等于定长的点的集合叫做 球面，球面所围成的几何体称为球体7-2球的结构特征（1）球心与截面圆心的连线垂直于截面；⑵ 截面半径等于球半径与截面和球心的距离的平方差：r2 = R2-d2★ 7-3球与其他多面体的组合体的问题球体与其他多面体组合，包括内接和外切两种类型，解决此类问题的基本思路是:⑴ 根据题意，确定是内接还是外切，画出立体图形；⑵找出多面体与球体连接的地方，找出对球的合适的切割面，然后做出剖面图;⑶ 将立体问题转化为平而几何中圆与多边形的问题；⑷注意圆与正方体的两个关系：球内接正方体，球直径等于正方体对角线； 球外切正方体，球直径等于正方体的边长7-4球的面积和体积公式S球面=4兀2 （R为球半径）V 球=4/3 yr R3（三）空间儿何体的表面积与体积 空间几何体的表面积 棱柱、棱锥的表面积：各个面面积之和岡台的表面积：S =7rrl + 7rr2 + 7TRI + 7rR2 球的表面积：S = 4ttR2扇形的面积公式Sw=^- = -lr=-\oc\r2 （其中/表示弧长，厂表示半径，a表示弧度）恥 360 2 21 1空间几何体的体积球体的体积:4V=-ttR33柱体的体积:y = S底X/2 锥体的体积:V=-S底M 台体的体积:V = S （ + JS | S； + S下）x/2J（卩L|）空间几何体的三视图和直观图止视图：光线从儿何体的前面向后面正投影，得到的投影图。

侧视图：光线从几何体的左边向右边正投影，得到的投影图俯视图：光线从几何体的上而向右边正投影，得到的投影图★ 01三视图的原则：正俯长相等、正侧高相同、俯侧宽一样 注：球的三视图都是圆；长方体的三视图都是矩形 直观图：斜二测画法 斜二测画法的步』（1）平行于坐标轴的线依然平行于坐标轴;（2） 平行于y轴的线长度变半，平行于x, z轴的线长度不变;（3） 画法要写好 用斜二测画法画出长方体的步骤：（1）画轴（2）画底面（3）画侧棱（4）成图二、点、直线、平面之间的关系(6)1、线线平行的判断:（一）、立体儿何网络图:（1）、平行于同一直线的两直线平行3）、如果一条直线和一个平面平行，经过这条直线的平面和这个平面和交，那么这条直线和交线平行6）、如果两个平行平而同时和第三个平而相交，那么它们的交线平行12）、垂直于同一平面的两直线平行2、线线垂直的判断:（7）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直8）、在平面内的一条直线，如果和这个平面的一条斜线垂直，那么它和这条斜线的射影垂直10）、若一直线垂直于一平而，这条直线垂直于平而内所冇直线补充：一条直线和两条平行直线中的一条垂直，也必垂直平行线中的另一条。

3、线面平行的判断:（2）、如果平面外的一条直线和平面内的一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行allb（5）、两个平面平行，其中一个平面内的直线必平行于另一个平面 判定定理：性质定理:a

判定定理： bua aQb = OI era 0I丄a （线线垂肓a线面垂貢〉2丄a性质定理：（1）若直线垂直于平而，则它垂直于平面内任意一条直线即：Z丄a,aca=>Z丄a （线面垂直=>线线垂直）（2）垂直于同一平面的两直线平行即： Q丄丄a=>a〃b★判断或证明线面垂直的方法⑴利用定义，用反证法证明⑵利用判定定理证明⑶一条直线垂宜于平面而平行于另一条直线，则另一条直线也垂直与平面⑷一条直线垂直于两平行平而中的一个，则也垂直于另一个⑸ 如果两平面垂直，在一平面内有一直线垂直于两平面交线，则该直线垂直于另一平面P★ 1.5三垂线定理及其逆定理⑴ 斜线定理：从平面外一点向这个平面所引的所有线段中，斜线相等则射影相等, 斜线越长则射影越长，垂线段最短PB二PC0OB = OC； PA>PB0OA>OB如图：⑵三垂线定理及其逆定理已知PO丄a,斜线PA在平而a内的射影为OA, a是平而a内的一条直线 /p r① 三垂线定理：若a丄OA,则aPAo即垂直射影则垂直斜线 7② 三垂线定理逆定理：若alPA,则a丄OA即垂直斜线则垂直射影 /⑶三垂线定理及其逆定理的主要应用 / [ /① 证明异而直线垂直；②作出和证明二而角的平而角；③作点到线的垂线段。

& / —p 5、面面平行的判断:⑷一个平面内的两条相交直线分别平行于另一个平面，这两个平面平行⑶垂直于同一条直线的两个平面平行6、面面垂直的判断: （15）—个平面经过另一个平面的垂线，这网个平面互相垂直判定定理:a a. a丄0.丄0 （线面垂直=>面面垂直）性质定理：⑴若两面垂直，则这两个平面的二面角的平面角为90 ；（2） a丄 0 aC\B — AB> n a丄0 （面面垂直线面垂直》acaa丄A3（3） .血丄0Ae a•no uaAe aa丄0⑷ "丄彳g“ua或a〃aa丄”.（二）、其他定理：（1） 确定平面的条件：①不公线的三点;②直线和直线外一点;③相交直线;（2） 直线与直线的位置关系：相交；平行；异面；直线与平面的位置关系：在平面内；平行；相交（垂肓是它的特殊情况）；平面与平面的位置关系：相交“平行；（3） 等角定理：如果两个角的两边分别平行且方向相同，那么这两个角相等；如果两条相交直线和另外两条相交直线分别平行。