§7—9一一映射,同态及同构.docx

第 3 讲 7—9 一一映射，同态及同构 （2 课时）〔Bijection Homomorphism and Osomorphism 〕本讲教学目的和要求： 通过明白双射，同态及同构的理论，为后继课程中学习群同态，群同构（群第一、二同构定理）环同态，环同构理论做预备；具 体要求： 1、在第一讲的基础上，对各类映射再做深化的争辩；2、充分明白双射（一一映射）的特性以及由此引导出的逆映射；3、两个代数系统的同态的概念，特殊是同态的满射所具有的性质；4、把握同构映射的实质，为以后教学内容奠定基础，本讲的重点和难点： 本讲的重点在于对同态映射定义的明白；由同态满射引导的一系列性质及同构映射本质的把握；而对双射及自身的逆映射之间的关 系同学不易把握，需要认真对待；本讲的教法和教具： 在多媒体教室使用投影仪；在教学活动中支配时间让同学开放争辩；本讲摸索题及作业： 本讲摸索题将随教学内容而适当地开放；作业布置在本讲终止之后；一、一一映射在第 1 讲中，已对各类映射作了系列性的介绍，这里只对重要的一一映射作重点的争辩；定义 1、设 是集合 A 到 A 的映射，且 既是单的又是满的，就称 是一个一一映射（双射） ；例 1： : Z {, 2,1,0,1,2, }2Z {, 4,2,0,2,4, } ，其中 〔n〕2n, nZ ，可知 明显是一个双射；留意 ： Z 与偶数集2Z 之间存在双射，这说明： Z 与它的一个真子集2 Z 一样“大”；摸索题 ：从例 1 中得知：一个无限集与其的某个真子集一样“大” ；这是否可作为无限集都有的特性？即我们是否有如下的结论： A 为无限集的充要条件是 A 与其某个真子集之间存在双射；定理 1：设 是 A 到 A 的一个双射，那么由 可诱导出（可确定出） A 到 A 的一个双射 1 （通常称 1 是 的逆映射）证明：由于 是 A 到 A 的双射，那么就 A 中任一个元素 a ，它在 A 中都有逆象a ，并且这个逆象 a 是唯独的；利用 的这一特点，就可确定由 A 到 A 的映射1 ：1 : AA, a A,1 〔 a〕a ，假如〔a〕a ，由上述说明，易知 1 是映射；1 是满射：a A ，因 是映射a A,使〔a〕a ，再由 1 的定义知 1 〔a〕 a ，这恰说明， a 是 a 在 1 下的逆象；由 a 的任意性，知 1 是满射；1 是单射：a1 , a2A,如a1a2 由 是满射a1及a2的逆象分别是a1 及a2 ,即1 〔a 〕a1 ,1 〔a 〕a2 ，又 是单射a1 a2 ，1这说明1 〔 a 〕1 〔a〕 ，所以 1 是单射；212综合上述争辩知： 1 是 A 到 A 的一个双射；结论 ：设 : A A 是映射，那么：（1） ） 是双射 可唯独的确定一个逆映射1 : AA ，使得：1 是双射；111A , 1A ；也是 1 的逆映射，且 〔1 〕 1 ；（2） ） 是双射 A与A同时是有限集或同时是无限集；二、变换定义 2：设 : A A 是映射，那么习惯上称为是 A 的变换；当 是双射（单射，满射）时，也称 为一一变换（单射变换，满射变换）例 2 P19三、同态（本目与高代中的线性变换类似）——对代数系统的比较；例 3、设 : ZA {1,1} ，其中{ Z ,} 中的代数运算 就是 Z 中的加法， 而 { A, }中的代数运算 为数中的乘法；现设 〔 n〕1, nZ ,那么〔 2〕1, 〔3〕1,而〔2 3〕〔 2 3〕〔5〕 1,〔 2〕〔3〕〔 1〕 〔 1〕〔 1〕〔 1〕 1 11,即〔 2 3〕〔2〕〔3〕定义 3：设集合A, A 都各有代数运算 , （称{ A, }及 { A,} 为代数系统）而: A A 是映射，且中意下面等式：a,bA, 〔a b〕〔a〕〔b〕（习惯上称 可保持运算）那么称 是 A 到 A 的同态映射；例 4、设 { Z ,} 与 { A,} 同例 3，今设 : ZA 为 〔 n〕1, nZ ，那么m, nZ , 〔m n〕1, 〔m〕〔n〕1 1 1〔m n 〕〔m〕〔 n〕,即是Z到 A的同态映射例 5、{ Z , }与 { A,} 同上，而1〔 n〕1n为偶数 n为奇数n, m Z（ 1） 如 n, m 均为偶数时 n m 为偶数，〔n m〕〔n m〕1,而〔n〕〔m〕1 1 1〔n m〕〔n〕〔 m〕（ 2）如n, m 均为奇数时n m 为偶数，〔n m〕〔n m〕1,而〔n〕〔m〕〔 1〕〔 1〕 1〔n m〕〔n〕〔m〕（ 3）如 n 奇而 m 偶时 n m 为奇数，就〔n m〕〔n m〕1,而〔n〕〔 m〕〔 1〕 1 1〔n m〕〔n〕〔m〕（ 4）如 n 偶而 m 奇时同理知〔n m〕〔n〕〔m〕 .由〔1〕 ～ 〔4〕 知, 是 Z 到 A 的同态映射 .假犹如态映射 是单射（满射） ，那么自然称 是同态单射（同态满射） ，而在近世代数中，同态满射是特殊重要的；定义 4：如 是 { A,} 到{ A,} 的同态满射， 那么习惯上称A与A 同态，并记为 A ～A ；习惯上称 A 是 A 的同态象 .定理 2. 假如 是{ A,} 到 { A,} 的同态满射，那么（1） ） 如 中意结合律 也适合结合律；（2） ） 如 中意交换律 也适合交换律 .证明：（ 1）任取a,b, cA,因是满射a,b, cA,使〔a〕a, 〔b〕b ，又因为 A 中 的中意结合律a 〔b c〕〔a b〕 c即 〔a〔b c〕〕〔〔ab) c〕 ，但是 是同态映射；〔a 〔bc〕〕〔 a〕〔b c〕(a) 〕 [(b)〔c〕]a 〔b c〕〔〔a b〕c〕〕〔a b〕(c)[ 〔 a〕〔b〕]〔c〕〔a b〕 c所以 a 〔b c〕 〔 a b〕 c同理可以证明（ 2）定理 3、设 { A,, } 和{ A, ,} 都是代数系统，而映射: A A关于 , 以及, 都是同态满射，那么：（1） ） 如 , 中意左支配律 , 也适合左支配律；（2） ） 如 , 中意右支配律 , 也适合右支配律；证明：（ 1）a,b,cA,因是满射a, b, cA,使〔a〕a, 〔b〕b, 〔c〕 c .又由于 是关于 , 及 , 的同态映射a 〔b c〕〔a b 〕(a) 〔〔a c〕(b) [〔 a〕〔c〕〕〔b 〕][a 〔b[ 〔a 〕c〕] 〔c〕][〔 a b〕 〔a〔a b〕 〔a c〕c〕]即 a 〔b c〕〔 a b〕〔a c〕 .同理可证明（ 2）；摸索题 1：在定理 2 及定理 3 中，都要求映射 是满射，似乎当 是同态满射时，才能将 A 中的代数性质（结合律、交换律及支配律） “传递”到 A 中，那么：（1） ） 当 不是满射时， “传递”仍能进行吗？（即定理 2， 3 成立吗？）（2） ） 即使 是满射，“传递”的方向能转变吗？（即 A 中的性质能“传递”到 A 中去吗？）（3） ） 依照定理 2， 3 的思路，如将 换成同态单射后，能获得什么结论？四、同构定义 4、设 是 { A,} 到{ A,} 的同态映射，如 是个双射，那么称 是同构映射，或称 A 与 A 同构，记为 A A ；例 6、设 A Z{1,2,3,}, A Z{ 1,2, 3,}, 而与 都是整数中通常的加法“ +”，现作: { A, }{ A,} 其中〔n〕n, nA ，那么 是同构映射 .事实上，（ 1） 是单射：当n, mA且nm时,〔n〕n m 〔m〕是单射 .（ 2） 是满射： t A, 就 t A,且 〔 t 〕〔 t 〕 tA是满射 .（ 3） 是同态映射：n, m A, 〔 n m〕 〔n m〕 〔n〔 n m〕 〔 n〕 〔m〕m〕 〔 n〕〔 m〕〔 n〕 〔m〕由（ 1），（ 2），（ 3）知， 是同构映射，即A A ；定理 4、设 是{ A, ,} 到{ A, ,} 的同构映射，那么（ 1）“ ”适合结合律 “ ”也适合结合律；（ 2）“ ”适合交换律 “ ”也适合交换律；（ 3）“ ”和“ +”中意左（右）支配律 “ ”和“ ”中意 左（右）支配律；留意： 由上述说明，同构的两个代数体系由运算所带来的规律性是相同的，因此，同构的两个代数体系尽管可能有这样或那样的差别，但从近世代数的宗旨来看，我们自然认为：它们的差别是表面上的，次要的，而它们的共同点——运算所表达的规律性就是本质的，主要的；于是，我们需要阐明近世代数的观点是： 凡同构的代数体系都认为是（代数）相同的 ；。