数学实验-最佳分数近似值.doc

实验三 最佳分数近似值一、实验名称: 最佳分数近似值二、实验目的: 本实验是要研究怎样用分数近似值去对给定的无理数做最佳近， “最佳”就是既要误差小，又要分母小我们首先需要对“最佳”定出具体而明确的标准，还要寻找一个求最佳分数近似值的简单易行的算法三、实验环境: Mathematica 系统，Word 文档，课本四、实验的基本理论和方法：通过对 的近似方法的分析得到分数的最佳近似值 是无理 数，对于任何一个无理数 ，不可能用分数 来作 的准确值，pq只可能作它的近似值，近似值 的优劣可以用绝对误差pq来衡量绝对误差 越小，就说明这个近似值的精确度越||pq高任意给定一个分母 ，总可以选取适当的分子 使 最接近qpq准确值 ，也就是使绝对误差 最小，小于 由此可见，要提高12q精确度，减少误差，一个简单的办法是增大分母 只要 足够大，q就可以使误差任意小五、实验内容和步骤：（一）实验内容1．分数对无理数的最佳逼近：若有一个分数 的分母 并且误差 ，或者分pqQpPqQ母 且误差 ，那么 就是比 更佳的分数近似值，qQPpq就不能说是“最佳” 反过来，如果 的误差比起分母不超过 的P Q其他分数近似值 都小，也就是 对所有 以及pqPpQq且 成立，这时，就称 给出了 的最佳逼近。

qQP2．计算对数值：对给定的正实数 ， 且 ，要求对数值 ，也就bN1logbN是求实数 使 .如果能找到整数 ， 使 ，则p， .以 （即 ）为例：由/pqbNlogbpqlg210lo可得 .再要提高精确度，就要找出更10324013l大的 使 更接近 10 的某个幂 ，也就是使 更接近 1.q10q210qp（二）实验步骤1．分数对无理数的最佳逼近（1）取 n=50,让分母 q 依次取遍 1 到 n 的整数值，对每一个分母 q，将 q*Pi 四舍五入得到一个整数 p 作为分母输入程序 TableRoundpi q,q,1,50运行结果得：3,6,9,13,16,19,22,25,28,31,35,38,41,44,47,50,53,57,60,63,66,69,72,75,79,82,85,88,91,94,97,101,104,107,110,113,116,119,123,126,129,132,135,138,141,145,148,151,154,157（2）以为分母，为分子的分数输入程序TableRoundPi qq ,q,1,50，运行结果得：3,3,3, 134 , 165 , 196 , 227 , 258 , 289 , 3110, 3511, 196 ,4113,227 ,4715,258 ,5317,196 ,6019,6320,227 ,6922,7223,258 ,7925,4113,8527,227 ,9129,4715,9731,10132 ,10433 ,10734 ,227 ,11336 ,11637 ,11938 ,4113,6320,12941 ,227 ,13543 ,6922,4715,14546 ,14847 ,15148 ,227 ,15750（3）计算出 的绝对值pq输入程序b TableAbs  RoundPi qq ,q,1,50运行结果得：3  , 3  ,3  , 134   , 165   , 196   , 227   , 258   , 289   , 3110   , 3511   , 196   , 4113  , 227   , 4715  , 258   , 5317   , 196   , 6019   , 6320  ,227   ,6922  ,7223  ,258   ,7925   ,4113  ,8527   ,227   ,9129  ,4715  ,9731   ,10132   ,10433   ,10734   ,227   ,11336   ,11637   ,11938   ,4113   ,6320   ,12941   ,227   ,13543   ,6922  , 4715  , 14546   , 14847   , 15148   , 227   , 15750  （4）将它们的绝对值进行升序排列输入程序 b TableAbs  RoundPi qq ,q,1,100Sortb 运行结果得：227   , 227   , 227   , 227   , 227   , 227   , 227   ,15148   ,12941   ,10734   ,8527   ,14847   ,6320   ,6320   ,10433   ,14546   ,4113   ,4113   ,4113   ,10132   ,6019   ,7925   ,196   ,196   ,196   ,3511   ,165   ,134   ,15750   ,13543   ,11336   , 9129  , 6922  , 6922   , 11637   , 4715  , 4715  , 4715  , 11938   , 7223   , 9731   , 258   , 258   , 258   , 5317  , 289   , 3110   ,3  , 3  ,3 2．计算对数值：（1）让 q 依次取遍 1 到 10000 的所有的正整数，对每个 q，按如下的递推法则求出一个正整数 使实数 最接近于()pq2()10qp1：时， ， .q(1)0p102()设已对求出 和 .计算 （即 ）.如果 ，()q()q120qp2()10q则取 .如果 ，则取(1),12pq， .()(()(0q如果 比以前所有的 都更接近 1，即()1)iq对所有的 成立，就取 作为 的一个()1()qiipqlg2近似值，这样得出的 都是最佳逼近 的分数近似值，它们可以pqlg2展开成小数近似值。

2）辗转相除法求对数 logbN取 .对每个整数 ，如果已经知道所有的10,Nb0k及 ，则可按下面的方法求出 和 ：()ik(1)iak1kNka将 连续除以若干个 ，直到所得的商 满足条件1kkNka为止，则连除的 的个数就是 ，而商 就是 .如果某N ka1k个 ，则递推过程终止， 是有限连分1n012logb na数从而使有理数.否则，递推过程可以无限地进行下去，被展开成无限连分数0121logb nNaa六、实验结果及分析1.通过上述实验，我们也可将误差小、分母小这两个标准综合起来，以误差 与分母 q 的乘积 为标准来判定分数近似值qp的优劣， 越小， 越优还可以进一步强化“分母小”这一要qp求，用 作衡量标准， 值越小越优22q2.计算对数的常用方法是利用泰勒展开式分别求出 lnN、lnb，再利用换nxxx132)()1ln(底公式 .当 N=1+x 与 1 相差太远时泰勒级数不收敛或收敛bNblnlog太慢此时可选适当的 ， ,…, 使每个 ， ,…, 都很接12kN12Nk近 1，且 N= … ，从而 lnN=lnN1+lnN2+…+lnNk。