第四节隐函数及由参数方程所确定ppt课件.ppt

Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics第四节第四节 隐函数及由参数方程所确定隐函数及由参数方程所确定一、隐函数的导数一、隐函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数二、由参数方程所确定的函数的导数三、相关变化率三、相关变化率的函数的导数的函数的导数 相关变化率相关变化率前往前往Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics一、隐函数的导数一、隐函数的导数1 1 复复习: :函数的表示法函数的表示法 1. 1.直接表示直接表示: : 解析式解析式 y=f(x) x∈D, y=f(x) x∈D, 这样描画的函数称描画的函数称为显函数函数2 2 间接表示间接表示 (1) (1)由一个方程由一个方程F(x,y)=0 F(x,y)=0 所确定的函数所确定的函数 例例 可确定函数可确定函数 , , (2) (2)由两个方程确定由两个方程确定( (带一个中间变量带一个中间变量) )参数方程参数方程: : t t是参数是参数 方法方法(1)(1)表示的函数称为隐函数表示的函数称为隐函数. .把一个隐函数化成显函数把一个隐函数化成显函数, , 叫做隐函数的显化叫做隐函数的显化. .Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics2 2 隐函数的定义隐函数的定义普通地普通地,假设变量假设变量x和和y满足一个方程满足一个方程F(x,y)=0,在一定条件下在一定条件下当当x取某区间内的任一值时取某区间内的任一值时,相应地总有满足这方程的独一相应地总有满足这方程的独一的的y值存在值存在,那么就说方程那么就说方程F(x,y)=0在该区间内确定了一个隐在该区间内确定了一个隐函数函数例例1 1 求由方程求由方程 所确定的隐函数的导数所确定的隐函数的导数解解 我们把方程两边分别对我们把方程两边分别对x求导数求导数,留意留意y=y(x), 方程左边对方程左边对x求导得求导得方程右边对方程右边对x求导得求导得所以所以Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics从而从而留意留意: :在这个结果中在这个结果中, ,分式中的分式中的y=y(x)y=y(x)是由方程是由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数例例2 求由方程求由方程 所确定的隐函数所确定的隐函数x=0处的处的 导数导数由于当由于当x=0时时,从原方程得从原方程得y=0,所以所以解解 把方程两边分别对把方程两边分别对x求导求导,由于方程两边的导数相等由于方程两边的导数相等,由此得由此得所以所以 Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics例例3 求椭圆求椭圆 在点在点 处的切线方程处的切线方程(图图2-6)解解 由导数的几何意义知道由导数的几何意义知道,所求切线的斜率所求切线的斜率为为椭圆方程的两边分别对椭圆方程的两边分别对x求导求导,有有从而从而当当x=2时时, 代入上式得代入上式得于是所求的切线方程为于是所求的切线方程为即即Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics例例4 求由方程求由方程 所确定的隐函数的二阶导数所确定的隐函数的二阶导数解解 运用隐函数的求导方法运用隐函数的求导方法,得得于是于是上式两边再对上式两边再对x求导求导,得得上式右端分式中的上式右端分式中的y=y(x)是由方程是由方程 所确所确定的隐函数定的隐函数Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics3. 对数求导法对数求导法方法方法: :先在方程两边取对数先在方程两边取对数, , 然后利用隐函数的求导方法求然后利用隐函数的求导方法求出导数出导数. .----------------对数求导法对数求导法适用范围适用范围: :下面经过例子来阐明这种方法下面经过例子来阐明这种方法例例5解解等式两边取对数得等式两边取对数得Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics普通地普通地Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics幂指函数幂指函数 也可表示成也可表示成这样这样,便可直接求得便可直接求得Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics例例6 求求 的导数的导数两边对两边对x求导求导于是于是解解 两边取对数两边取对数(假定假定 x>4 ), 得得Tianjin Polytechnic UniversityTeaching Plan on Advanced Mathematics当当2