因式分解知识点总结.docx

完满word版)因式分解知识点总结从中考中因式分解题型看因式分解所谓因式分解是把一个整式分成几个因式乘积的形式， 由于这种变形包括着变换的数学思想和方法， 并且对于代数式的求值、 化简拥有重要的意义， 因此中考中除察看学生对因式分解的方法的采用外， 还察看了学生恒等变形的能力 因式分解的思路和方法向来贯穿在代数变换中，它除了在代数的恒等变形中作用巨大，其他如分式的通分和约分，以及解方程中都起重视要作用，在根式的化简计算，三角函数式子的恒等变形等方面也经常用 因此在历届中考中因式分解总是以直接和间接的方式出题， 且在分值上占有必然的比率， 总之因式分解的归类分解学好对进一步研究其他数学问题起到至关紧迫的作用一、 知识梳理1. 因式分解定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式，这种变形叫因式分解即：多项式 几个整式的积例： 1 ax 1 bx 1 x(a b)3 3 3因式分解是对多项式进行的一种恒等变形，是整式乘法的逆过程2. 因式分解的方法：〔1〕提公因式法：①定义：若是多项式的各项有 公因式，能够把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这个变形就是提公因式法分解因式。

公因式：多项式的各项都含有的相同的因式 公因式能够是一个数字或字母，也能够是一个单项式或多项式系数 —— 取各项系数的最大合约数字母 —— 取各项都含有的字母指数 —— 取相同字母的最低次幂1例： 12a3b3c 8a3b2c36a4b2c2 的公因式是．剖析：从多项式的系数和字母两局部来考虑，系数局部分别是12、-8 、6，它们的最大合约数为 2；字母局部 a3b3c,a3b2 c3 , a4b2 c2 都含有因式 a3b2 c ，故多项式的公因式是 2 a3 b2 c .②提公因式的步骤第一步：找出公因式；第二步：提公因式并确定另一个因式，提公因式时，可用原多项式除以公因式，所得商即是提公因式后剩下的另一个因式注意：提取公因式后，对另一个因式要注意整理并化简，务必使因式最简多项式中第一项有负号的，要先提取符号例 1：把 12a2b 18ab2 24a3b3 分解因式 .剖析：此题的各项系数的最大合约数是 6，相同字母的最低次幂是 ab，故公因式为 6ab解： 12 a2 b 18ab2 24a3b36ab(2 a 3b 4a2b2 )例 2：把多项式 3( x 4) x(4 x) 分解因式剖析：由于 4 x ( x 4) ，多项式 3(x 4) x(4 x) 能够变形为 3(x 4) x( x 4) ,我们能够发现多项式各项都含有公因式〔 x 4 〕 , 因此我们能够提取公因式〔 x 4 〕后 , 再将多项式写成积的形式 .解： 3(x 4) x(4 x)=3(x 4) x(x 4)=(3 x)( x 4)例 3：把多项式 x2 2 x 分解因式解： x2 2x = (x2 2x) x( x 2)〔 2〕运用公式法2定义：把乘法公式反过来用，就可以用来把某些多项式分解因式，这种分解因式的方法叫做运用公式法。

2 2a.逆用平方差公式： a b (a b)(a b)c.逆用立方和公式： a3 b3 (a b)( a2 ab b2〔)拓展〕d.逆用立方差公式： a3 b3 (a b)(a2 ab b2〔)拓展〕注意：① 公式中的字母可代表一个数、一个单项式或一个多项式②选择使用公式的方法： 主要从项数上看， 假设多项式是二项式可考虑平方差公式；假设多项式是三项式，可考虑完满平方公式例 1：因式分解 a2 14a 49解： a214a 49 =(a 7) 2例 2：因式分解 a2 2a(b c) (b c)2解： a2 2a(b c) (b c)2 =(a b c)2〔3〕分组分解法〔拓展〕①将多项式分组后能提公因式进行因式分解；例：把多项式 abab1 分解因式解： abab1 =(aba) (b 1)=a(b1) (b1)(a 1)(b 1)②将多项式分组后能运用公式进行因式分解 .例：将多项式 a22ab1b2 因式分解解： a22ab1b2=(a22abb2 )1(ab) 2 1( ab1)(ab1)〔4〕十字相乘法〔形如 x2( pq) xpq( xp)(xq) 形式的多项式，能够考虑运用此种方法〕方法：常数项拆成两个因数 p和 q ，这两数的和 p q 为一次项系数x2 ( p q) x pqx p3x qx2 ( p q)x pq (x p)( x q)例：分解因式 x2 x 30 分解因式 x2 52 x 100补充点详解 补充点详解我们能够将 -30 分解成 p× q 的形式， 我们能够将 100 分解成 p× q 的形式，使 p+q=-1, p ×q=-30, 我们就有 p=-6, 使 p+q=52, p ×q=100, 我们就有 p=2,q=5 或 q=-6,p=5 。

q=50 或 q=2,p=50所 以 将 多 项 式 x2 ( p q)x pq 可 以 分 所 以 将 多 项 式x2 ( p q) x pq 能够分解为 ( x p)( x q) 解为 (x p)( x q)x 5 x 2x-6x50x2x 30( x 6)( x 5)x252x 100( x 50)( x 2)3. 因式分解的一般步骤：若是多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；假设是四项或四项以上的多项式，平时采用分组分解法， 最后运用十字相乘法分解因式 因此，能够概括为：“一提〞、“二套〞、“三分组〞、“四十字〞注意：因式分解必然要分解到每一个因式都不能够再分解为止， 否那么就是不完满的因式分解，假设题目没有明确指出在哪个范围内因式分解， 应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必定是几个 整式的积的形式 二、 例题剖析提公因式法4提取公因式： 若是多项式的各项有公因式，一般要将公因式提到括号外面 .确定公因式的方法：系数—— 取多项式各项系数的最大合约数；字母 ( 或多项式因式 ) —— 取各项都含有的字母 ( 或多项式因式 ) 的最低次幂 .【例 1】 分解因式：⑴ 15a a b2 n 12 n10ab b a( n 为正整数 )⑵ 4a 2n 1bm6a n 2 bm 1 ( m 、 n 为大于 1 的自然数 )【坚固】 分解因式： (x y) 2n 1 ( x z)( x y)2 n 2( y x)2 n ( y z) ， n 为正整数 .【例 2】 先化简再求值， y x yx y x y x2 ，其中 x2 ， y1 ．2【坚固】 求 代 数 式 的 值 ： (3 x 2)2 (2 x 1) (3 x 2)(2 x 1)2 x(2 x 1)(2 3 x) ， 其 中x 2 .3【例 3】 ： b c a2 ，求 2 a(ab c ) b ( 2c2a2b )1c (2b 2c 2a ) 的值 .333335【坚固】 分解因式： x3 (x y z)( y z a) x2 z( z x y) x2 y(z x y)( x z a ) .公式法平方差公式： a2 b2 (a b)(a b)①公式左边形式上是一个二项式，且两项的符号相反；②每一项都能够化成某个数或式的平方形式；③右边是这两个数或式的和与它们差的积，相当于两个一次二项式的积 .完满平方公式： a22abb2(ab)2a22abb2(ab) 2①左边相当于一个二次三项式；②左边首末两项符号相同且均能写成某个数或式的完满平方式；③左边中间一项为哪一项这两个数或式的积的 2 倍，符号可正可负；④右边是这两个数或式的和 ( 或差 ) 的完满平方，其和或差由左边中间一项的符号决定 .一些需要认识的公式：a 3b3(ab)(a 2abb2 )a3b 3(ab)(a 2abb2 )( ab)3a 33a2 b3ab2b3(ab)3a33a2 b3ab2b36。