运筹学第16章决策分析.ppt

管管 理理 运运 筹筹 学学1第十六章 决策分析 §1 不确定情况下的决策不确定情况下的决策 §2 风险型情况下的决策风险型情况下的决策 §3 效用理论在决策中的应用效用理论在决策中的应用 §4 层次分析法层次分析法管管 理理 运运 筹筹 学学2第十六章第十六章 决策分析决策分析 “决策” 一词来源于英语 Decision making，直译为“做出决定”所谓决策，就是为了实现预定的目标在若干可供选择的方案中，选出一个最佳行动方案的过程，它是一门帮助人们科学地决策的理论管管 理理 运运 筹筹 学学3第十六章　决策分析第十六章　决策分析决策的分类：决策的分类：•按决策问题的重要性分类按决策问题的重要性分类•按决策问题出现的重复程度分类按决策问题出现的重复程度分类•按决策问题的定量分析和定性分析分类按决策问题的定量分析和定性分析分类•按决策问题的自然状态发生分类：按决策问题的自然状态发生分类：Ø确确 定定 型型 决决 策策 问问 题题•在决策环境完全确定的条件下进行。

在决策环境完全确定的条件下进行Ø不不 确确 定定 型型 决决 策策 问问 题题•在决策环境不确定的条件下进行，决策者对各自然状态发生的概率在决策环境不确定的条件下进行，决策者对各自然状态发生的概率一无所知一无所知Ø风风 险险 型型 决决 策策 问问 题题•在决策环境不确定的条件下进行，决策者对各自然状态发生的概率在决策环境不确定的条件下进行，决策者对各自然状态发生的概率可以预先估计或计算出来可以预先估计或计算出来管管 理理 运运 筹筹 学学4构成决策问题的构成决策问题的四个要素四个要素: : 决策目标、行动方案、自然状态、效益值决策目标、行动方案、自然状态、效益值行动方案集：行动方案集： A = { sA = { s1 1, s, s2 2, , …, s, sm m } }自然状态集：自然状态集： N = { nN = { n1 1, n, n2 2, , …, n, nk k } }效益效益( (函数函数) )值：值：v v = =  ( s( si i, n, nj j ) )自然状态发生的概率自然状态发生的概率P=P(sP=P(sj j) j =1, 2, ) j =1, 2, …, m, m决策模型的基本结构：决策模型的基本结构：(A, N, P, V)(A, N, P, V)基本结构基本结构(A, N, P, V)(A, N, P, V)常用常用决策表、决策树等表示。

决策表、决策树等表示第十六章　决策分析第十六章　决策分析管管 理理 运运 筹筹 学学5 特征：特征：1 1、自然状态已知；、自然状态已知；2 2、各方案在不同自然状态下的收益、各方案在不同自然状态下的收益值已知；值已知；3 3、自然状态发生不确定自然状态发生不确定 例：某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不例：某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不同的自然状态下的收益情况如下表（同的自然状态下的收益情况如下表（收益矩阵收益矩阵）：）：§§1 1　不确定情况下的决策　不确定情况下的决策 N1(需求量大)N2(需求量小)S1(大批量生产)30-6S2(中批量生产)20-2S3(小批量生产)105自然状态自然状态行动方案行动方案 特征：特征：1 1、自然状态已知；、自然状态已知；2 2、各方案在不同自然状态下的收益、各方案在不同自然状态下的收益值已知；值已知；3 3、自然状态发生不确定自然状态发生不确定 例：某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不例：某公司需要对某新产品生产批量作出决策，各种批量在不同的自然状态下的收益情况如下表（同的自然状态下的收益情况如下表（收益矩阵收益矩阵）：）： N1(需求量大)N2(需求量小)S1(大批量生产)30-6S2(中批量生产)20-2S3(小批量生产)105自然状态自然状态行动方案行动方案管管 理理 运运 筹筹 学学6一、最大最小准则（悲观准则）一、最大最小准则（悲观准则）•决策者从最不利的角度去考虑问题：决策者从最不利的角度去考虑问题： 先选出每个方案在不同自然状态下的最小收益值（最保险），先选出每个方案在不同自然状态下的最小收益值（最保险），然后从这些最小收益值中取最大的，从而确定行动方案。

然后从这些最小收益值中取最大的，从而确定行动方案 用用 (S(Si i, N, Nj j) )表示收益值表示收益值§§1 1　不确定情况下的决策　不确定情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学7二、最大最大准则（乐观准则）二、最大最大准则（乐观准则）•决策者从最有利的角度去考虑问题：决策者从最有利的角度去考虑问题： 先选出每个方案在不同自然状态下的最大收益值（最乐观），先选出每个方案在不同自然状态下的最大收益值（最乐观），然后从这些最大收益值中取最大的，从而确定行动方案然后从这些最大收益值中取最大的，从而确定行动方案 用用 (S(Si i, N, Nj j) )表示收益值表示收益值§§1 1　不确定情况下的决策　不确定情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学8三、等可能性准则三、等可能性准则 ( Laplace( Laplace准则准则 ) ) 决策者把各自然状态发生的机会看成是等可能的：决策者把各自然状态发生的机会看成是等可能的： 设每个自然状态发生的概率为设每个自然状态发生的概率为 1/1/事件数事件数 ，然后计算各行动方，然后计算各行动方案的收益期望值。

案的收益期望值 用用 E(SE(Si i ) )表示第表示第I I方案的收益期望值方案的收益期望值§§1 1　不确定情况下的决策　不确定情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学9四、乐观系数四、乐观系数( (折衷折衷) )准则准则(Hurwicz(Hurwicz胡魏兹准则胡魏兹准则) ) 决策者取乐观准则和悲观准则的折衷：决策者取乐观准则和悲观准则的折衷： 先确定一个乐观系数先确定一个乐观系数  （（0 01 1），然后计算：），然后计算：CVCVi i = =   max [ max [ (S(Si i, N, Nj j)] +)] +（（1- 1-  ））min [min [ (S(Si i, N, Nj j)])] 从这些折衷标准收益值从这些折衷标准收益值CVCVi i中选取最大的，从而确定行动方中选取最大的，从而确定行动方案 取取   = 0.7= 0.7§§1 1　不确定情况下的决策　不确定情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学10五、后悔值准则（五、后悔值准则（Savage Savage 沙万奇准则）沙万奇准则）•决策者从后悔的角度去考虑问题：决策者从后悔的角度去考虑问题： 把在不同自然状态下的最大收益值作为理想目标，把各方案的把在不同自然状态下的最大收益值作为理想目标，把各方案的收益值与这个最大收益值的差称为未达到理想目标的后悔值，然后收益值与这个最大收益值的差称为未达到理想目标的后悔值，然后从各方案最大后悔值中取最小者，从而确定行动方案。

从各方案最大后悔值中取最小者，从而确定行动方案 用用a aijij’表示后悔值，构造后悔值矩阵：表示后悔值，构造后悔值矩阵：§§1 1　不确定情况下的决策　不确定情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学11 特征：特征：1 1、自然状态已知；、自然状态已知；2 2、各方案在不同自然状态下的收益、各方案在不同自然状态下的收益值已知；值已知；3 3、自然状态发生的概率分布已知自然状态发生的概率分布已知一、最大可能准则一、最大可能准则 在一次或极少数几次的决策中，取概率最大的自然状态，按照在一次或极少数几次的决策中，取概率最大的自然状态，按照确定型问题进行讨论确定型问题进行讨论§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学12二、期望值准则二、期望值准则•根据各自然状态发生的概率，求不同方案的期望收益值，取其中根据各自然状态发生的概率，求不同方案的期望收益值，取其中最大者为选择的方案最大者为选择的方案 E(SE(Si i) = ) =   P(NP(Nj j) )   (S(Si i,N,Nj j) )§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学13三、决策树法三、决策树法具体步骤：具体步骤：(1) (1) 从左向右绘制决策树；从左向右绘制决策树；(2) (2) 从右向左计算各方案的期望值，并将结果标在相应从右向左计算各方案的期望值，并将结果标在相应方案节点的上方；方案节点的上方；(3) (3) 选收益期望值最大选收益期望值最大( (损失期望值最小损失期望值最小) )的方案为最优的方案为最优方案，并在其它方案分支上打方案，并在其它方案分支上打∥∥记号。

记号主要符号主要符号 决策点决策点 方案节点方案节点 结果节点结果节点§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学14前例前例 根据下图说明根据下图说明S S3 3是最优方案，收益期望值为是最优方案，收益期望值为6.56.5决决策策S1S2S3大批量生产大批量生产中批量生产中批量生产小批量生产小批量生产N1( 需求量大需求量大 )；；P(N1) = 0.3N1( 需求量大需求量大 )；；P(N1) = 0.3N1( 需求量大需求量大 )；；P(N1) = 0.3N2( 需求量小需求量小 )；；P(N2) = 0.7N2( 需求量小需求量小 )；；P(N2) = 0.7N2( 需求量小需求量小 )；；P(N2) = 0.730-62010-254.84.66.56.5§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学15四、灵敏度分析四、灵敏度分析 研究分析决策所用的数据在什么范围内变化时研究分析决策所用的数据在什么范围内变化时, ,原最优决策方原最优决策方案仍然有效案仍然有效. . 前例前例 取取 P(NP(N1 1) = p , P(N) = p , P(N2 2) = 1- p . ) = 1- p . 那么那么 E(SE(S1 1) = p) = p 30 + (1-p)30 + (1-p) (-6) = 36p - 6 (-6) = 36p - 6 p=0.35p=0.35为转折概率为转折概率 E(SE(S2 2) = p) = p 2 20 + (1-p)0 + (1-p) (-2) = 22p - 2 (-2) = 22p - 2 实际的概率值距转实际的概率值距转 E(SE(S3 3) = p) = p 1 10 + (1-p)0 + (1-p) (+5) = 5p + 5 (+5) = 5p + 5 折概率越远越稳定折概率越远越稳定E(S1)E(S2)E(S3)010.35p取取S3取取S1§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学16 §§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策 在实际工作中，如果状态概率、收益值在其可在实际工作中，如果状态概率、收益值在其可能发生的变化的范围内变化时，最优方案保持不变，能发生的变化的范围内变化时，最优方案保持不变，则这个方案是比较稳定的。

反之如果参数稍有变化则这个方案是比较稳定的反之如果参数稍有变化时，最优方案就有变化，则这个方案就不稳定的，时，最优方案就有变化，则这个方案就不稳定的，需要我们作进一步的分析就自然状态需要我们作进一步的分析就自然状态N N1 1的概率而的概率而言，当其概率值越远离转折概率，则其相应的最优言，当其概率值越远离转折概率，则其相应的最优方案就越稳定；反之，就越不稳定方案就越稳定；反之，就越不稳定管管 理理 运运 筹筹 学学17五、全情报的价值（五、全情报的价值（EVPIEVPI））•全情报：关于自然状况的确切消息全情报：关于自然状况的确切消息 在前例，当我们不掌握全情报时得到在前例，当我们不掌握全情报时得到 S S3 3 是最优方案，数学期是最优方案，数学期望最大值为望最大值为 0.3*10 + 0.7*5 = 6.50.3*10 + 0.7*5 = 6.5万万 记为记为 EVEVW0W0PIPI 若得到全情报：当知道自然状态为若得到全情报：当知道自然状态为N N1 1时，决策者必采取方案时，决策者必采取方案S S1 1，可获得收益，可获得收益3030万，概率万，概率0.30.3；当知道自然状态为；当知道自然状态为N N2 2时，决策者必采时，决策者必采取方案取方案S S3 3，可获得收益，可获得收益5 5万万, , 概率概率0.70.7。

于是，全情报的期望收益为于是，全情报的期望收益为 EVEVW WPIPI = 0.3*30 + 0.7*5 = 12.5 = 0.3*30 + 0.7*5 = 12.5万万 那么，那么， EVPI = EVEVPI = EVW WPI - EVPI - EVW0W0PIPI = 12.5 - 6.5 = 6 = 12.5 - 6.5 = 6万万 即这个全情报价值为即这个全情报价值为6 6万当获得这个全情报需要的成本小于万当获得这个全情报需要的成本小于6 6万时，决策者应该对取得全情报投资，否则不应投资万时，决策者应该对取得全情报投资，否则不应投资注：一般注：一般““全全””情报仍然存在可靠性问题情报仍然存在可靠性问题§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学18六、具有样本情报的决策分析（贝叶斯决策）六、具有样本情报的决策分析（贝叶斯决策）• 先验概率：由过去经验或专家估计的将发生事件的概率；先验概率：由过去经验或专家估计的将发生事件的概率；• 后验概率：利用样本情报对先验概率修正后得到的概率；后验概率：利用样本情报对先验概率修正后得到的概率；• 在贝叶斯决策法中，可以根据样本情报来修正先验概率，得到后在贝叶斯决策法中，可以根据样本情报来修正先验概率，得到后验概率。

如此用决策树方法，可得到更高期望值的决策方案如此用决策树方法，可得到更高期望值的决策方案 在自然状态为在自然状态为N Nj j的条件下咨询结果为的条件下咨询结果为I Ik k的条件概率，可用全概的条件概率，可用全概率公式计算率公式计算再用贝叶斯公式计算再用贝叶斯公式计算条件概率的定义：条件概率的定义： 乘法公式乘法公式§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学19例例3 3、（在例、（在例2 2基础上得来）基础上得来） 某公司现有三种备选行动方案某公司现有三种备选行动方案S1：大批量生产；：大批量生产； S2 ：中批量生产；：中批量生产； S3 ：小批量生产未来市场对这种产品需：小批量生产未来市场对这种产品需求情况有两种可能发生的自然状态求情况有两种可能发生的自然状态N1 ：需求量大；：需求量大； N2 ：需求量小，且：需求量小，且N1的的发生概率即发生概率即P(N1)=0.3；； N2的发生概率的发生概率即即P(N2)=0.7 经估计，采用某一行动。

经估计，采用某一行动方案而实际发生某一自然状态时，公司方案而实际发生某一自然状态时，公司的收益下表所示的收益下表所示 ：§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策N1N2S130-6S220-2S3105 现在该公司欲委托一个咨询公司作现在该公司欲委托一个咨询公司作市场调查咨询公司调查的结果也有两市场调查咨询公司调查的结果也有两种，种， I1 ：需求量大；：需求量大； I2 ：需求量小并：需求量小并且根据该咨询公司积累的资料统计得知，且根据该咨询公司积累的资料统计得知，当市场需求量已知时，咨询公司调查结当市场需求量已知时，咨询公司调查结论的条件概率如下表所示：论的条件概率如下表所示：自自然然状状态态条条件件概概率率调调查查结结论论N1N2I1P(I1 /N1)=0.8P(I1 /N2)=0.1I2P(I2 /N1)=0.2P(I2 /N2)=0.9 我们该如何用样本情报进行决策呢我们该如何用样本情报进行决策呢? ?如果样本情报要价如果样本情报要价3 3万元，决策是否要使万元，决策是否要使用这样的情报呢？用这样的情报呢？管管 理理 运运 筹筹 学学20 图图16-3 当用决策树求解该当用决策树求解该问题时，首先将该问题问题时，首先将该问题的决策树绘制出来，如的决策树绘制出来，如图图16-3。

为了利用决策树求为了利用决策树求解，由决策树可知，我解，由决策树可知，我们需要知道咨询公司调们需要知道咨询公司调查结论的概率和在咨询查结论的概率和在咨询公司调查结论已知时公司调查结论已知时,作作为自然状态的市场需求为自然状态的市场需求量的条件概率量的条件概率§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学21 首先，由全概率公式求得联合概率表：首先，由全概率公式求得联合概率表：§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策联合概率联合概率N1N2由全概率求得由全概率求得I10.240.07P(I1) =0.31I20.060.63P(I2) = 0.69 然后，由条件概率公式然后，由条件概率公式P(N/I)=P(NI)/P(I)P(N/I)=P(NI)/P(I)求得在调查结论已知时的条件求得在调查结论已知时的条件概率表：概率表：条件概率条件概率P(N /I )N1N2I10.77420.2258I20.08700.9130 最后，在决策树上计算各个节点的期望值，结果如图最后，在决策树上计算各个节点的期望值，结果如图16-416-4，结论为：当，结论为：当调查结论表明需求量大时，采用大批量生产；当调查结论表明需求量小时，调查结论表明需求量大时，采用大批量生产；当调查结论表明需求量小时，采用小批量生产。

采用小批量生产管管 理理 运运 筹筹 学学22 10.530221.87125.435图图16-4§§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策管管 理理 运运 筹筹 学学23 §§2 2　风险型情况下的决策　风险型情况下的决策 由决策树上的计算可知，公司的期望收益可达到由决策树上的计算可知，公司的期望收益可达到10.530210.5302万元，比不进行市万元，比不进行市场调查的公司收益场调查的公司收益6.56.5万元要高，其差额就是样本情报的价值，记为万元要高，其差额就是样本情报的价值，记为EVSIEVSIEVSI=10.5302-6.5=4.0302(EVSI=10.5302-6.5=4.0302(万元万元) ) 所以当咨询公司市场调查的要价低于所以当咨询公司市场调查的要价低于4.03024.0302万元时，公司可考虑委托其进行万元时，公司可考虑委托其进行市场调查，否则就不进行市场调查在这里，因为公司要价市场调查，否则就不进行市场调查在这里，因为公司要价3 3万元，所以应该委万元，所以应该委托其进行市场调查。

托其进行市场调查 进一步，我们可以利用样本情报的价值与前面的全情报的价值进一步，我们可以利用样本情报的价值与前面的全情报的价值(EVPI)(EVPI)的比值的比值来定义样本情报的效率，作为样本情报的度量标准来定义样本情报的效率，作为样本情报的度量标准样本情报效率样本情报效率=EVSI/EVPI*100%=EVSI/EVPI*100% 上例中，样本情报价值的效率为上例中，样本情报价值的效率为4.0302/6*100%=67.17%4.0302/6*100%=67.17%，也就是说，这个样，也就是说，这个样本情报相当于全情报效果的本情报相当于全情报效果的67.17%67.17%多级（两级）决策树问题多级（两级）决策树问题 如将前面两个决策树进行合并，可以得到一个两级决策问题：首先决策是否如将前面两个决策树进行合并，可以得到一个两级决策问题：首先决策是否要进行市场调查；然后根据调查结果如何安排生产决策树的求解结果如图要进行市场调查；然后根据调查结果如何安排生产决策树的求解结果如图16-516-5管管 理理 运运 筹筹 学学247.536.510.53-3S4:不搞市场调查S5:搞市场调查1图图16-5管管 理理 运运 筹筹 学学25•效用：效用：衡量决策方案的总体指标，反映决策者对决策问题各种因素的总衡量决策方案的总体指标，反映决策者对决策问题各种因素的总体看法。

体看法•使用效用值进行决策：使用效用值进行决策：首先把要考虑的因素折合成效用值，然后用决策首先把要考虑的因素折合成效用值，然后用决策准则下选出效用值最大的方案，作为最优方案准则下选出效用值最大的方案，作为最优方案•例例3 3：求下表显示问题的最优方案（万元）：求下表显示问题的最优方案（万元）: : 某公司是一个小型的进出口公司，目前他面临着两笔进口生意，项目某公司是一个小型的进出口公司，目前他面临着两笔进口生意，项目A A和和B B，这两笔生意都需要现金支付鉴于公司目前财务状况，公司至多做，这两笔生意都需要现金支付鉴于公司目前财务状况，公司至多做A A、、B B中的一笔生意，根据以往的经验，各自然状态商品需求量大、中、小中的一笔生意，根据以往的经验，各自然状态商品需求量大、中、小的发生概率以及在各自然状况下做项目的发生概率以及在各自然状况下做项目A A或项目或项目B B以及不作任何项目的收益以及不作任何项目的收益如下表：如下表：§§3 3　效用理论在决策中的应用　效用理论在决策中的应用管管 理理 运运 筹筹 学学26•用收益期望值法：用收益期望值法： E(SE(S1 1) = 0.3) = 0.3 6060 + 0.5 + 0.5 4040 + 0.2 + 0.2 (-100) = 18(-100) = 18万万 E(SE(S2 2) = 0.3) = 0.3 100100 + 0.5 + 0.5 （（-40-40））+ 0.2+ 0.2 (-60) = -2(-60) = -2万万 E(SE(S3 3) = 0.3) = 0.3 0 0 + 0.5 + 0.5 0 0 + 0.2 + 0.2 0 = 00 = 0万万 得到得到 S S1 1 是最优方案，最高期望收益是最优方案，最高期望收益1818万。

万一种考虑：一种考虑： 由于财务情况不佳，公司无法承受由于财务情况不佳，公司无法承受S S1 1中亏损中亏损100100万的风险，也无法承万的风险，也无法承受受S S2 2中亏损中亏损5050万以上的风险，结果公司选择万以上的风险，结果公司选择S S3 3，即不作任何项目即不作任何项目用效用函数解释：用效用函数解释： 把上表中的最大收益值把上表中的最大收益值100100万元的效用定为万元的效用定为1010，即，即U(100) = 10U(100) = 10；最；最小收益值小收益值-100-100万元的效用定为万元的效用定为0 0，即，即U(-100) = 0U(-100) = 0 对收益对收益6060万元确定其效用值：设经理认为使下两项等价的万元确定其效用值：设经理认为使下两项等价的 p=0.95p=0.95(1)(1)得到确定的收益得到确定的收益6060万；万；(2)(2)以以 p p 的概率得到的概率得到100100万，以万，以 1- p 1- p 的概率损失的概率损失100100万 计算得：计算得：U U（（6060））= p*U(100)+(1-p)*U(-100) = 0.95*10+0.05*0=9.5= p*U(100)+(1-p)*U(-100) = 0.95*10+0.05*0=9.5。

§§3 3　效用理论在决策中的应用　效用理论在决策中的应用管管 理理 运运 筹筹 学学27 类似地，设收益值为类似地，设收益值为40、、0、、- 40、、- 60相应等价的概率分别为相应等价的概率分别为0.90、、0.75、、0.55、、0.40，可得到各效用值：，可得到各效用值： U(40) = 9.0；； U(0) = 7.5；； U(-40) = 5.5；； U(-60) = 4.0我们用效用值计算最大期望，如下表：我们用效用值计算最大期望，如下表：•一般，若收益期望值能合理地反映决策者的看法和偏好，可以用收益期望值进行一般，若收益期望值能合理地反映决策者的看法和偏好，可以用收益期望值进行决策否则，需要进行效用分析否则，需要进行效用分析•收益期望值决策是效用期望值决策的一种特殊情况说明如下：收益期望值决策是效用期望值决策的一种特殊情况说明如下：§§3 3　效用理论在决策中的应用　效用理论在决策中的应用管管 理理 运运 筹筹 学学28 §§3 3　效用理论在决策中的应用　效用理论在决策中的应用 以收益值作横轴，以效用值作纵轴，用以收益值作横轴，以效用值作纵轴，用A A、、B B两点作一直线，其中两点作一直线，其中A A点点的坐标为的坐标为( (最大收益值，最大收益值，10)10)，，B B点的坐标为点的坐标为( (最小收益值，最小收益值，0)0)，如果某问题，如果某问题的所有的收益值与其对应的效用值组成的点都在此直线上，那么用这样的的所有的收益值与其对应的效用值组成的点都在此直线上，那么用这样的效用值进行期望值决策是和用收益值进行期望值决策的结果完全一样。

以效用值进行期望值决策是和用收益值进行期望值决策的结果完全一样以上面的例子作图如下：上面的例子作图如下：-100-10010010020202020606060602 26 61010B BA A收益值收益值效效用用值值 直线方程为：直线方程为：y=5/100*x+5,y=5/100*x+5,于是求得：于是求得：U(-60)=2, U(-40)=3,U(0)=5,U(-60)=2, U(-40)=3,U(0)=5,U(40)=7,U(60)=8,U(40)=7,U(60)=8,用这样的效用值，进行期望值决策，见表用这样的效用值，进行期望值决策，见表16-1016-10 管管 理理 运运 筹筹 学学29 §§3 3　效用理论在决策中的应用　效用理论在决策中的应用 自然状态自然状态行动方案行动方案需求量大需求量大N1(P=0.3)需求量大需求量大N2(P=0.5)需求量大需求量大N3 (P=0.2)E[U(Si)]做项目做项目AS18705.9←max做项目做项目BS210324.9不做任何项目不做任何项目S35555表表16-1016-10单位：万元单位：万元 回顾一下，当我们对收益值进行期望值决策时，知：回顾一下，当我们对收益值进行期望值决策时，知：E(SE(S1)=18, )=18, E(SE(S2)=-2, E(S)=-2, E(S3)=0, E[U(S)=0, E[U(S1)]=5.9, E[U(S)]=5.9, E[U(S2)]=4.9, E[U(S)]=4.9, E[U(S3)]=5,)]=5,实际上后实际上后面的值也是由直线方程面的值也是由直线方程E[U(SE[U(Si)]=5/100* [E(S)]=5/100* [E(Si)]+5)]+5决定的，即有：决定的，即有： E[U(SE[U(S1)]=5/100* [E(S)]=5/100* [E(S1)]+5=5.9 )]+5=5.9 ；；E[U(SE[U(S2)]=5/100* [E(S)]=5/100* [E(S2)]+5=4.9 E[U)]+5=4.9 E[U(S(S3)]=5/100* [E(S)]=5/100* [E(S3)]+5=5)]+5=5，所以用这两种方法决策是同解的。

所以用这两种方法决策是同解的管管 理理 运运 筹筹 学学30 §§4 4　层次分析法　层次分析法 层次分析法是由美国运筹学家层次分析法是由美国运筹学家T.L.T.L.沙旦于沙旦于2020世纪世纪7070年代提出的，年代提出的，是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法是一种解决多目标的复杂问题的定性与定量相结合的决策分析方法 一、问题的提出一、问题的提出 例：一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套候例：一位顾客决定要购买一套新住宅，经过初步调查研究确定了三套候选的房子选的房子A A、、B B、、C C，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子呢，问题是如何在这三套房子里选择一套较为满意的房子呢？？ 为简化问题，我们将评判房子满意程度的为简化问题，我们将评判房子满意程度的1010个标准归纳为个标准归纳为4 4个：个：1 1、住房的地理位置、住房的地理位置2 2、住房的交通情况、住房的交通情况3 3、住房的附近的商业、卫生、教育情况、住房的附近的商业、卫生、教育情况4 4、住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境、住房小区的绿化、清洁、安静等自然环境5 5、建筑结构、建筑结构6 6、建筑材料、建筑材料7 7、房子布局、房子布局8 8、房子设备、房子设备9 9、房子面积、房子面积1010、房子每平方米建筑面积的价格、房子每平方米建筑面积的价格1 1、房子的地理位置与交通、房子的地理位置与交通2 2、房子的居住环境、房子的居住环境3 3、房子的布局、结构与设施、房子的布局、结构与设施4 4、房子的每平方米建筑面积的单价、房子的每平方米建筑面积的单价管管 理理 运运 筹筹 学学31§§4 4　层次分析法　层次分析法 二、层次结构图二、层次结构图 该问题的层次结构图如图该问题的层次结构图如图16-716-7所示：所示：满意的房子满意的房子每每平平方方米米单单价价结结构构、、布布局局、、设设施施居居住住环环境境地地理理位位置置及及交交通通购买房子购买房子A A购买房子购买房子B B购买房子购买房子C C目目 标标 层层标标 准准 层层决策方案层决策方案层图图16-716-7管管 理理 运运 筹筹 学学32§§4 4　层次分析法　层次分析法 三、标度及两两比较矩阵三、标度及两两比较矩阵 相对重要性标度：各个标准或在某一标准下各方案两两比较求得的相相对重要性标度：各个标准或在某一标准下各方案两两比较求得的相对权重，如表对权重，如表16-1116-11所示。

所示标度标度aij定义定义1i因素与因素与j因素相同重要因素相同重要3i因素比因素比j因素略重要因素略重要5i因素比因素比j因素较重要因素较重要7i因素比因素比j因素非常重要因素非常重要9i因素比因素比j因素绝对重要因素绝对重要2，，4，，6，，8为以上两判断之间中间状态对应的标度值为以上两判断之间中间状态对应的标度值倒数倒数若若j因素与因素与i因素比较，得到的判断值为因素比较，得到的判断值为aji=1/aij表表16-1116-11管管 理理 运运 筹筹 学学33§§4 4　层次分析法　层次分析法 由标度由标度a aijij为元素构成的矩阵称为两两比较矩阵如我们用单一标准为元素构成的矩阵称为两两比较矩阵如我们用单一标准“房子的地理位置及交通状况房子的地理位置及交通状况”来评估三个方案，从两两比较的方法得出两来评估三个方案，从两两比较的方法得出两两比较矩阵，如表两比较矩阵，如表16-1216-12所示房子的地理位置及交通房子的地理位置及交通房子房子A房子房子B房子房子C房子房子A房子房子B房子房子C11/21/8211/6861表表16-1216-12 四、求各因素权重的过程四、求各因素权重的过程 求各因素权重的方法有规范列平均法、方根法、幂乘法等，这里以选求各因素权重的方法有规范列平均法、方根法、幂乘法等，这里以选择房子的决策为例介绍规范列平均法。

择房子的决策为例介绍规范列平均法 第一步第一步, ,先求出两两比较矩阵的每一元素每一列的总和，如表先求出两两比较矩阵的每一元素每一列的总和，如表16-1316-13所所示管管 理理 运运 筹筹 学学34§§4 4　层次分析法　层次分析法 第二步第二步, ,把两两比较矩阵的每一元素除以其相对应列的总和，所得商把两两比较矩阵的每一元素除以其相对应列的总和，所得商称为标准两两比较矩阵，如表称为标准两两比较矩阵，如表16-1416-14所示 第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这些平均值就是第三步，计算标准两两比较矩阵的每一行的平均值，这些平均值就是各方案在地理位置及交通方面的权重，如表各方案在地理位置及交通方面的权重，如表16-1516-15所示地理位置及交通状况地理位置及交通状况房子房子A房子房子B房子房子C房子房子A房子房子B房子房子C11/21/8211/6861列总和列总和13/819/615地理位置及交通状况地理位置及交通状况房子房子A房子房子B房子房子C房子房子A房子房子B房子房子C8/134/131/1312/196/191/198/156/151/15地理位置及交通状况地理位置及交通状况房子房子A房子房子B房子房子C行平行平均值均值房子房子A房子房子B房子房子C0.6150.3080.0770.6310.3160.0530.5330.4000.0670.5930.3410.066表表16-1516-15表表16-1316-13表表16-1416-14 我们称我们称[0.593[0.593，，0.3410.341，，0.066]0.066]为房子选择问题中地理位置及交为房子选择问题中地理位置及交通方面的特征向量。

通方面的特征向量管管 理理 运运 筹筹 学学35§§4 4　层次分析法　层次分析法 同样，我们可以求得在居住环境、房子结构布局和设施、房子每平方同样，我们可以求得在居住环境、房子结构布局和设施、房子每平方米单价方面的两两比较矩阵如表米单价方面的两两比较矩阵如表16-1616-16所示居住环境居住环境结构布局设施结构布局设施每平方米单价每平方米单价房子房子A房子房子B房子房子C房子房子A房子房子B房子房子C房子房子A房子房子B房子房子C房子房子A房子房子B房子房子C1341/3121/41/211461/4131/61/31131/41/311/7471表表16-1616-16 同样，我们可以从表同样，我们可以从表16-1616-16的两两比较矩阵求得房子的两两比较矩阵求得房子A A、、B B、、C C三个方案三个方案在居住环境、结构布局设施、每平方米单价等方面的得分（权重），即这在居住环境、结构布局设施、每平方米单价等方面的得分（权重），即这三个方面的特征向量，如表三个方面的特征向量，如表16-1716-17所示居住环境居住环境结构布局设施结构布局设施每平方米单价每平方米单价房子房子A房子房子B房子房子C0.1230.3200.5570.0870.2740.6390.2650.6550.080表表16-1716-17管管 理理 运运 筹筹 学学36§§4 4　层次分析法　层次分析法 另外，我们还必须取得每个标准在总目标满意的房子里的相对重要程另外，我们还必须取得每个标准在总目标满意的房子里的相对重要程度，即要取得每个标准相对的权重，即标准的特征向量。

四个标准的两两度，即要取得每个标准相对的权重，即标准的特征向量四个标准的两两比较矩阵如表比较矩阵如表16-1816-18所示标标 准准地理位置及交通地理位置及交通居住环境居住环境结构布局设施结构布局设施每平米单价每平米单价地理位置及交通地理位置及交通居住环境居住环境结构布局设施结构布局设施每平米单价每平米单价11/21/31/2211/22341421/21/41表表16-1816-18 通过两两比较矩阵，我们同样可以求出标准的特征向量如下所示：通过两两比较矩阵，我们同样可以求出标准的特征向量如下所示：[0.398[0.398，，0.2180.218，，0.0850.085，，0.299]0.299]即地理位置及交通相对权重为即地理位置及交通相对权重为0.3980.398，，居住环境相对权重为居住环境相对权重为0.2180.218，结构布局设施相对权重为，结构布局设施相对权重为0.0850.085，每平米单价，每平米单价相对权重为相对权重为0.2990.299管管 理理 运运 筹筹 学学37§§4 4　层次分析法　层次分析法 五、两两比较矩阵一致性检验五、两两比较矩阵一致性检验 我们仍以购买房子的例子为例说明检验一致性的方法，检验表我们仍以购买房子的例子为例说明检验一致性的方法，检验表16-1216-12中由中由“地理位置及交通地理位置及交通”这一标准来评估房子这一标准来评估房子A A、、B B、、C C三个方案所得的两三个方案所得的两两比较矩阵。

两比较矩阵 检验一致性由五个步骤组成：检验一致性由五个步骤组成： 第一步：由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得的向量称之第一步：由被检验的两两比较矩阵乘以其特征向量，所得的向量称之为赋权和向量，在此例中即：为赋权和向量，在此例中即：管管 理理 运运 筹筹 学学38§§4 4　层次分析法　层次分析法 第二步：每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向量的分量，即第二步：每个赋权和向量的分量分别除以对应的特征向量的分量，即第第i i个赋权和向量的分量除以第个赋权和向量的分量除以第i i个特征向量的分量，在本例中有：个特征向量的分量，在本例中有： 第三步：计算出第二步结果中的平均值，记为第三步：计算出第二步结果中的平均值，记为 , ,在本例中有：在本例中有： 第四步：计算一致性指标第四步：计算一致性指标CI:CI:n n为比较因素的数目，在本例中也就是买房子方案的数目，即为为比较因素的数目，在本例中也就是买房子方案的数目，即为3.3.在本例在本例中，我们得到：中，我们得到： 第五步：计算一致性率第五步：计算一致性率CR:CR:管管 理理 运运 筹筹 学学39§§4 4　层次分析法　层次分析法 在上式中，在上式中，RIRI是自由度指标，作为修正值，见表是自由度指标，作为修正值，见表16-1916-19。

维数维数(n)123456789RI0.000.000.580.961.121.241.321.411.45表表16-1916-19 在本例中可算得：在本例中可算得：CR=0.01/0.58=0.017CR=0.01/0.58=0.017 一般规定当一般规定当CR≤0.1CR≤0.1时，认为两两比较矩阵的一致性可以接受，否则就时，认为两两比较矩阵的一致性可以接受，否则就认为两两比较矩阵一致性太差，必须重新进行两两比较判断在本例中，认为两两比较矩阵一致性太差，必须重新进行两两比较判断在本例中，CR=0.017≤0.1CR=0.017≤0.1，所以，所以“地理位置及交通地理位置及交通”两两比较矩阵满足一致性要求，两两比较矩阵满足一致性要求，其相应求得的特征向量为有效其相应求得的特征向量为有效 同样，我们可以通过计算同样，我们可以通过计算“居住环境居住环境”、、“结构布局和设施结构布局和设施”、、“每每平米单价平米单价”以及四个标准的两两比较矩阵的一致性检验率以及四个标准的两两比较矩阵的一致性检验率CICI值，可知他们值，可知他们都小于等于都小于等于0.100.10，这些比较矩阵满足一致性要求，即相应的特征向量都有，这些比较矩阵满足一致性要求，即相应的特征向量都有效。

效管管 理理 运运 筹筹 学学40§§4 4　层次分析法　层次分析法 六、利用权数或特征向量求出各方案的优劣次序六、利用权数或特征向量求出各方案的优劣次序 在上面我们已经求出了四个标准的特征向量，以及在四个单一标准下在上面我们已经求出了四个标准的特征向量，以及在四个单一标准下的三个购房方案的特征向量，如表的三个购房方案的特征向量，如表16-2016-20所示四个标准的特征向量四个标准的特征向量单一标准下的三个购房方案的特征向量单一标准下的三个购房方案的特征向量地理位置及交通地理位置及交通…0.398居住环境居住环境…0.218结构布局设施结构布局设施…0.085每平米单价每平米单价…0.299地理位置及交地理位置及交通通居住居住环境环境结构布结构布局设施局设施每平米每平米单价单价房子房子A0.5930.1230.0870.265房子房子B0.3410.3200.2740.655房子房子C0.0660.5570.6390.080表表16-2016-20 各方案的总得分为：各方案的总得分为：房子房子A A方案：方案：0.398*0.593+0.218*0.123+0.085*0.087+0.299*0.265=0.3490.398*0.593+0.218*0.123+0.085*0.087+0.299*0.265=0.349房子房子B B方案：方案：0.398*0.341+0.218*0.320+0.085*0.274+0.299*0.655=0.4250.398*0.341+0.218*0.320+0.085*0.274+0.299*0.655=0.425房子房子C C方案：方案：0.398*0.066+0.218*0.557+0.085*0.639+0.299*0.080=0.2260.398*0.066+0.218*0.557+0.085*0.639+0.299*0.080=0.226管管 理理 运运 筹筹 学学41§§4 4　层次分析法　层次分析法 通过比较可知房子通过比较可知房子B B的得分（权重）最高，房子的得分（权重）最高，房子A A的得分的得分次之，而房子次之，而房子C C的得分最少，故应该购买房子的得分最少，故应该购买房子B B，通过权衡知道，通过权衡知道这是最优方案。