中考一元二次方程专题知识点归纳经典题型.doc

中考一元二次方程专题知识点归纳经典题型考点一、概念⑴定义：①只含有一个未知数，并且②未知数的最高次数是？，这样的③整式方程就是一元二次方程2）—般表达式：ax2,bx,c二0（a€0）⑶难点：如何理解"未知数的最高次数是2”：① 该项系数不为“0”；② 未知数指数为“2”；③ 若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论典型例题：例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（）A3（x+1„2二2（x+1„B—+1-2=0X2XCax2+bx+c=0dx2+2x=x2,1变式：当时，关于x的方程kx2+2x=x2+3是一元二次方程例2、方程（m+2„¥口+3mx+1=0是关于x的一元二次方程，则m的值为针对练习：★ 1、方程8x2=7的一次项系数是，常数项是★2、若方程-2）xm-1=0是关于x的一元一次方程，⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程★★3、若方程G-1„x2+/m•x=1是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（）A.m=n=2B.m=2,n=1C.n=2,m=1D.m=n=1考点二、方程的解⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。

⑵应用：利用根的概念求代数式的值；典型例题：例1、已知2y2+y一3的值为2，则4y2+2y+1的值为例2、关于x的一元二次方程（a一22+x+a2一4=0的一个根为0,则a的值为例3、已知关于x的一元二次方程ax2+bx+c=0（a€0）的系数满足a+c=b，则此方程必有一根为例4、已知a,b是方程x2-4x+m=0的两个根，b,c是方程y2一8y+5m=0的两个根，则m的值为针对练习：★ 1、已知方程x2+kx-10=0的一根是2,则k为，另一根是★2、已知关于x的方程x2+kx一2=0的一个解与方程=3的解相同x-1⑴求k的值；⑵方程的另一个解★3、已知m是方程x2…x…1=0的一个根，则代数式m2…m=★★4、已知a是x2一3x+1=0的根，则2a2一6a=★★5、方程（a一bL2+（b一cL+c一a=0的一个根为（）A—1B1Cb-cD-a★★★6、若2x+5y-3=0,贝04x•32y=考点三、解法⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法⑵关键点：降次类型一、直接开方法：x2二m(m…0),„x二士jm※※对于6+a)2二m,(ax+m》=(bx+nI等形式均适用直接开方法典型例题：例1、解方程：(1)2x2—8=0;(2)25—16x2=o；G)1—x)2—9=0;例2、若9(x—1)2二16(x+2)2,则x的值为。

针对练习：下列方程无解的是()A.x2+3=2x2—1b.(x—2)2=0c.2x+3二1—xd.x2+9=0类型二、因式分解法:(x—x)(x—x)=0„x=x,或x=x1212(x+a)(x+b)=(x+a)(x+c),x2+2ax+a2=0典型例题：)()例1、2x(x—3)=5(x—3)的根为(_5_3Ax—Bx=32例2、若(4x+y》+3(4x+y)—4—变式1：【变式2：若※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为"0”，※方程形式：如(ax+ml=(bx+n\53Cx=,x=31220，则4x+y的值为+y)(2—x—y)+J2+b2》—J2+b2)—6=0,贝临2+b2=(r+y)(2—x一y)+3=0,贝ijx+y的值为变式3：若x2+xy+y=14,y2+xy+x=28，则x+y的值为例3、方程x2+x—6=0的解为()Ax——3,x—2b.x=3,x——2cx=3,x——3dx=2,x——2'12(1)2厂'12'12例4、解方程：x2+2\：3+1x+2j3+4=0x+y例5、已知2x2一3xy一2y2=0,则的值为x―yx+y变式：已知2x2—3xy—2y2=0,且x>0,y>0,则的值为。

x—y针对练习：★1、下列说法中：① 方程x2+px+q=0的二根为x,x,则x2+px+q=(x—x)(x—x)1212② 一x2+6x—8—(x—2)(x—4).③a2—5ab+6b2—(a—2)(a—3)④ x2—y2—(x+y)Gx+Jy)(心x-^y)j—j-⑤ 方程(3x+1)2—7=0可变形为(3x+1+\：7)(3x+1-*7)=O正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个★2、以1+\：'7与1—从7为根的一元二次方程是()A.x2—2x—6=0b.x2—2x+6=0c.y2+2y—6=0d.y2+2y+6=0★★3、(1)写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为倒数：⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1,且两根互为相反数：—★★4、若实数x、y满足(x+y一3)(x+y)+2=0,则x+y的值为()A、-1或-2B、-1或2C、1或-2D、1或25、方程：x2+=2的解是x2★★★6、已知』6x2—xy一「6y2=0，且x,0，y,0，求21'6y的值3x—y0的较小根为s.★★★7、方程G"9x）2一1998…2000x一1=0的较大根为r，方程2007x2—2008x+1则s-r的值为。

b、2a丿※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式的值或极值之类的问题典型例题：例1、类型三、配方法ax2+bx+c€0（a丰0）nx+——试用配方法说明x2-2x+3的值恒大于0例2、例3、2b2—4ac4a2已知X、y为实数，求代数式x2+y2+2x一4y+7的最小值已知x2+y2+4x一6y+13€0,x、y为实数，求xy的值分解因式：4x2+12x+3针对练习：★★1、试用配方法说明一10x2+7x一4的值恒小于011,八1★★2、已知x2+一x一一4=0，则x+=.x2xx★★★3、若t=2一\：一3x2+12x一9，则t的最大值为，最小值为★★★4、如果a+b+a/c—1一1=4W；a—2+2\!，b+1一4，那么a+2b一3c的值为.类型四、公⑴条件：\式法:丰0,且b2一4ac>0一b±yjb2一4ac⑵公式：x=2a丰0,且b2一4ac>0典型例题：例1、选择适当方法解下列方程:„⑴3（1+x„2€6.⑵、x+3）、x+6）=一8.⑶x2-4x+1=0⑷3x2—4x—1=0⑸3、x—1）、3x+1）=6—1）（2x+5）例2、在实数范围内分解因式：（1）x2—2J2x—3；（2）—4x2+8x—1.⑶2x2一4xy一5y2说明：①对于二次三项式ax2+bx+c的因式分解，如果在有理数范围内不能分解,一般情况要用求根公式，这种方法首先令ax2+bx+c=0,求出两根，再写成ax2+bx+c=a（x—x）（x—x）12'②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去.类型五、“降次思想”的应用⑴求代数式的值；⑵解二元二次方程组。

典型例题：例1、已知x2—3x+2=0，求代数式”-^-：2+1的值x一1例2、如果x2+x一1€0，那么代数式x3+2x2-7的值a3—2a2—5a,1例3、已知a是一元二次方程x2一3x+1€0的一根，求的值a2,1例4、用两种不同的方法解方程组…2x-y€6,⑴[x2一5xy,6y2=0.(2)说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元但都体现了一种共同的数学思想一一化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题.考点四、根的判别式b2一4ac根的判别式的作用：① 定根的个数；② 求待定系数的值；③ 应用于其它典型例题：例1、若关于x的方程x2+2、仏—1=0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是例2、关于x的方程人一L2+2mx+m=0有实数根，则m的取值范围是()A.m>0且m丰1b.m>0c.m丰1d.m>1例3、已知关于x的方程x2一G+2L+2k=0(1) 求证：无论k取何值时，方程总有实数根；(2) 若等腰

★2、当k取何值时，多项式3x2—4x,2k是一个完全平方式？这个完全平方式是什么？★3、已知方程mx2一mx+2=0有两个不相等的实数根，则m的值是.★★4、k为何值时，方程组y=kx,2,y2一4x一2y,1=0.(1) 有两组相等的实数解，并求此解；(2) 有两组不相等的实数解；(3) 没有实数解.★★5、当k取何值时，方程x2—4mx,4x,3m2—2m,4k=0的根与m均为有理数?考点五、方程类问题中的“分类讨论”典型例题：例1、关于X的方程S+1人2„2mx_3—0（1）有两个实数根，则m为,⑵只有一个根，则m为例2、不解方程，判断关于x的方程x2_2k）+k2，_3根的情况例3、如果关于x的方程x2„kx„2=0及方程x2_x_2k=0均有实数根，问这两方程是否有相同的根？若有，请求出这相同的根及k的值；若没有，请说明理由考点六、应用解答题⑴"握手”问题；⑵“利率”问题；⑶“几何”问题；⑷“最值”型问题；⑸“图表”类问题典型例题：1、五羊足球队的庆祝晚宴，出席者两两碰杯一次，共碰杯990次，问晚宴共有多少人出席？2、某小组每人送他人一张照片，全组共送了90张，那么这个小组共多少人？3、北京申奥成功，促进了一批产业的迅速发展，某通讯公司开发了一种新型通讯产品投放市场，根据计划，第11一年投入资金600万元，第二年比第一年减少3，第三年比第二年减少2，该产品第一年收入资金约400万元,1公司计划三年内不仅要将投入的总资金全部收回，还要盈利3，要实现这一目标，该产品收入的年平均增长率约为多少？（结果精确到0.1,713…3.61）4、某商店经销一种销售成本为每千克40元的水产品，据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克，销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对此回答：（1）当销售价定为每千克55元时，计算月销售量和月销售利润。

2）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润达到8000元，销售单价应定为多少？5、将一条长20cm的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长作成一个正方形1）要使这两个正方形的面积之和等于17cm2，那么这两段铁丝的长度分别为多少?（2）两个正方形的面积之和可能等于12cm2吗？若能，求出两段铁丝的长度；若不能，请说明理由3）两个正方形的面积之和最小为多少？6、A、B两地间的路程为36千米•甲从A地，乙从B地同时出发相向而行，两人相遇后，甲再走2小时30分到达B地，乙再走1小时36分到达A地，求两人的速度.考点七、根与系数的关系⑴前提：对于ax2+bx+c，0而言，当满足①a丰°、②A>0时，才能用韦达定。