椭圆典型题型归纳(学生版).doc

...wd...椭圆典型题型归纳题型一. 定义及其应用例1.一个动圆与圆相内切，且过点，求这个动圆圆心的轨迹方程；例2.方程所表示的曲线是练习：1.方程对应的图形是〔 〕A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆2.方程对应的图形是〔 〕A.直线 B. 线段 C. 椭圆 D. 圆3.方程成立的充要条件是〔 〕A. B.C. D. 4.如果方程表示椭圆，则的取值范围是5.过椭圆的一个焦点的直线与椭圆相交于两点，则两点与椭圆的另一个焦点构成的的周长等于；6.设圆的圆心为，是圆内一定点，为圆周上任意一点，线段的垂直平分线与的连线交于点，则点的轨迹方程为；题型二. 椭圆的方程〔一〕由方程研究曲线例1.方程的曲线是到定点和的距离之和等于的点的轨迹；〔二〕分情况求椭圆的方程例2.椭圆以坐标轴为对称轴，且长轴是短轴的3倍，并且过点，求椭圆的方程；〔三〕用待定系数法求方程例3.椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点、，求椭圆的方程；例4.求经过点且与椭圆有共同焦点的椭圆方程；注：一般地，与椭圆共焦点的椭圆可设其方程为；〔四〕定义法求轨迹方程；例5.在中，所对的三边分别为，且，求满足且sinB，sinA，sinC成等差数列时顶点的轨迹；练习：1.三角形ABC中，B〔-2,0〕，C〔2，0〕，AB、AC边上的中线长之和为30，求三角形ABC的重心的轨迹方程。

2.动圆C和定圆O：〔x-3〕2 +y2 = 64相内切，且A〔3，0〕在动圆C上，求动圆圆心的轨迹方程〔五〕相关点代入法求轨迹方程；例6.轴上一定点A(2，-3)，为椭圆上任一点，求的中点的轨迹方程； 〔六〕直接法求轨迹方程；例7.设动直线垂直于轴，且与椭圆交于两点，点是直线上满足的点，求点的轨迹方程； 〔七〕列方程组求方程例8.中心在原点，一焦点为的椭圆被直线截得的弦的中点的横坐标为，求此椭圆的方程； 题型三.焦点三角形问题例1.椭圆上一点的纵坐标为，椭圆的上下两个焦点分别为、，求、及；题型四.椭圆的几何性质例1.是椭圆上的点，的纵坐标为，、分别为椭圆的两个焦点，椭圆的半焦距为，则的最大值与最小值之差为例2.椭圆的四个顶点为，假设四边形的内切圆恰好过焦点，则椭圆的离心率为；例3.假设椭圆的离心率为，则；例4.假设为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为题型五.求范围例1.方程表示准线平行于轴的椭圆，求实数的取值范围；题型六.椭圆的第二定义的应用例1.方程所表示的曲线是例2.求经过点，以轴为准线，离心率为的椭圆的左顶点的轨迹方程；例3.椭圆上有一点，它到左准线的距离等于，那么到右焦点的距离为例4．椭圆，能否在此椭圆位于轴左侧的局部上找到一点，使它到左准线的距离为它到两焦点距离的等比中项，假设能找到，求出该点的坐标，假设不能找到，请说明理由。

例5．椭圆内有一点，、分别是椭圆的左、右焦点，点是椭圆上一点．求的最小值及对应的点的坐标．题型七.求离心率例1. 椭圆的左焦点为，，是两个顶点，如果到直线的距离为，则椭圆的离心率例2.假设为椭圆上一点，、为其两个焦点，且，，则椭圆的离心率为例3.、为椭圆的两个焦点，过的直线交椭圆于两点，，且，则椭圆的离心率为；题型八.椭圆参数方程的应用例1. 椭圆上的点到直线的距离最大时，点的坐标例2.方程()表示焦点在轴上的椭圆，求的取值范围；题型九.直线与椭圆的关系〔1〕直线与椭圆的位置关系例1.当为何值时，直线与椭圆相切、相交、相离例2.曲线〔〕与连结，的线段没有公共点，求的取值范围例3.过点作直线与椭圆相交于两点，为坐标原点，求面积的最大值及此时直线倾斜角的正切值例4.求直线和椭圆有公共点时，的取值范围〔二〕弦长问题例1.椭圆，是轴正方向上的一定点，假设过点，斜率为1的直线被椭圆截得的弦长为，求点的坐标例2.椭圆与直线相交于两点，是的中点，假设，为坐标原点，的斜率为，求的值例3.椭圆的焦点分别是和，过中心作直线与椭圆交于两点，假设的面积是20，求直线方程〔三〕弦所在直线方程例1.椭圆，过点能否作直线与椭圆相交所成弦的中点恰好是；例2.一直线与椭圆相交于两点，弦的中点坐标为，求直线的方程；例3.椭圆中心在原点，焦点在轴上，其离心率,过点的直线与椭圆相交于两点，且C分有向线段的比为2.〔1〕用直线的斜率表示的面积；〔2〕当的面积最大时，求椭圆E的方程．解：〔1〕设椭圆的方程为，由，∴a2=3b2故椭圆方程；设，由于点分有向线段的比为2．∴，即由消去y整理并化简得(3k2+1)x2+6k2x+3k2－3b2=0由直线l与椭圆E相交于两点③④⑤而 ⑥由①④得:，代入⑥得：.〔2〕因,当且仅当取得最大值．此时，又∵，∴；将及代入⑤得3b2=5，∴椭圆方程．例4.是椭圆上的三点，为椭圆的左焦点，且成等差数列，则的垂直平分线是否过定点请证明你的结论。

〔四〕关于直线对称问题例1.椭圆，试确定的取值范围，使得椭圆上有两个不同的点关于直线对称；例2.中心在原点，焦点在轴上，长轴长等于6，离心率，试问是否存在直线，使与椭圆交于不同两点，且线段恰被直线平分假设存在，求出直线倾斜角的取值范围；假设不存在，请说明理由题型十.最值问题F2F1M1M2例1．假设，为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值分析：欲求的最大值和最小值o可转化为距离差再求由此想到椭圆第一定义, 为椭圆的左焦点解：，连接，延长交椭圆于点M1,延长交椭圆于点由三角形三边关系知当且仅当与重合时取右等号、与重合时取左等号因为，所以, ；结论1：设椭圆的左右焦点分别为,为椭圆内一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为,最小值为；例2．,为椭圆的右焦点，点M在椭圆上移动，求的最大值和最小值分析：点在椭圆外，交椭圆于，此点使值最小，求最大值方法同例1解：，连接并延长交椭圆于点M1，则M在M1处时取最大值；∴最大值是10+，最小值是结论2设椭圆的左右焦点分别为，为椭圆外一点，为椭圆上任意一点，则的最大值为，最小值为;2.二次函数法例3．求定点到椭圆上的点之间的最短距离分析：在椭圆上任取一点，由两点间距离公式表示，转化为的函数求最小值。

解：设为椭圆上任意一点，由椭圆方程知的取值范围是〔1〕假设，则时，〔2〕假设,则时〔3〕假设,则结论3：椭圆上的点到定点A(m,0)或B(0,n)距离的最值问题，可以用两点间距离公式表示︱MA︱或︱MB︱，通过动点在椭圆上消去y或x,转化为二次函数求最值，注意自变量的取值范围3.三角函数法例4．求椭圆上的点到直线的距离的最值；解：三角换元∵∴令则当时；当时,结论4：假设椭圆上的点到非坐标轴上的定点的距离求最值时,可通过椭圆的参数方程，统一变量转化为三角函数求最值4.判别式法例4的解决还可以用下面方法把直线平移使其与椭圆相切，有两种状态，一种可求最小值，另一种求最大值令直线将代入椭圆方程整理得，由△=0解得, 时直线与椭圆切于点，则到直线的距离为最小值，且最小值就是两平行直线与的距离，所以；时直线与椭圆切于点Q，则Q到直线l的距离为最大值，且最大值就是两平行直线m与l的距离，所以结论5：椭圆上的点到定直线l距离的最值问题,可转化为与l平行的直线m与椭圆相切的问题,利用判别式求出直线m方程，再利用平行线间的距离公式求出最值例5.定点，点为椭圆的右焦点，点在该椭圆上移动时，求的最小值，并求此时点的坐标；〔第二定义的应用〕例3．、分别为椭圆的左、右焦点，椭圆内一点的坐标为，为椭圆上的一个动点，试分别求：〔1〕的最小值；〔2〕的取值范围．综上可知，的取值范围为;三角形法：椭圆〔b2=5, a2>5〕的左焦点为F，直线x=m于椭圆相交于点A,B,三角形FAB的周长的最大值为12， 则该椭圆的离心率为题型十一.轨迹问题例1．到两定点，的距离之和为定值5的点的轨迹是 ( ) A．椭圆 Ｂ．双曲线 Ｃ．直线 Ｄ．线段例2．点，点在圆的上半圆周上(即y＞0)，∠AOP的平分线交于Q，求点Q的轨迹方程。

例3.圆及点，是圆C上任一点，线段的垂直平分线l与PC相交于Q点，求Q点的轨迹方程题型十二.椭圆与数形结合例1．关于的方程有两个不相等的实数解，求实数的取值范围.例2．求函数的最值。