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[研究生入学考试题库]考研数学二分类模拟题33解答题问题:1. 求微分方程的通解．答案:[解] 由得， 令u=siny，则，令u-1=z，则 解得 则 问题:2. 求微分方程满足初始条件y(e)=2e的特解．答案:[解] 方法一 由，得， 令，得，解得u2=ln2+C，由y(e)=2e，得C=2，所求的通解为y2=x2lnx2+2x2． 方法二 由，得，令z=y2，则 解得，由初始条件得C=2，则原方程的通解为y2=x2lnx2+2x2． 问题:3. 求微分方程x2y'+xy=y2满足初始条件y(1)=1的特解．答案:[解] 由x2y'+xy=y2得，令，则有， 两边积分得，即， 因为y(1)=1，所以C=-1，再把代入得原方程的特解为 问题:4. 求微分方程的通解．答案:[解] 由得，则 问题:5. 求微分方程的通解．答案:[解] 令x+y=u，则，于是有，变量分离得，两边积分得u-arctanu=x+C，所以原方程的通解为y-arctan(x+y)=C．问题:6. 设y=ex为微分方程xy'+P(x)y=x的解，求此微分方程满足初始条件y(ln2)=0的特解．答案:[解] 把y=ex代入微分方程xy'+P(x)y=x，得P(x)=xe-x-x，原方程化为y'+(e-x-1)y=1，则y=[∫1×e∫(e-x-1)dxdx+C]e-∫(e-x-1)dx=Cex+e-x+ex， 将y(ln2)=0代入y=Cex+e-x+ex中得，故特解为 问题:7. 设，其中f(x)连续，求f(x)．答案:[解] 由，得两边对x求导，得，两边再对x求导得f"(x)+f(x)=ex，其通解为．在中，令x=0得f(0)=1，在中，令x=0得f'(0)=1，于是有，故 问题:8. 求微分方程xy"+3y'=0的通解．答案:[解] 令y'=p，则或， 解得，即，则 问题:9. 设当x＞0时，f(x)满足，求f(x)．答案:[解] 由，两边求导得f(x)-f'(x)=1，解得f(x)=Cex+1，而f(1)=-1，所以f(x)=1-2ex-1．问题:10. 求满足初始条件y"+2x(y')2=0，y(0)=1，y'(0)=1的特解．答案:[解] 令y'=p，则，代入方程得，解得 由y'(0)=1得C1=1，于是，y=arctanx+C2，再由y(0)=1得C2=1，所以y=arctanx+1．问题:11. 求微分方程yy"=y'2满足初始条件y(0)=y'(0)=1的特解．答案:[解] 令y'=p，则，代入原方程得或．当p=0时，y=1为原方程的解；当p≠0时，由得，解得， 由y(0)=y'(0)=1得C1=1，于是，解得y=C2e-∫-dx=C2ex，由y(0)=1得C2=1，所以原方程的特解为y=ex．问题:12. 求微分方程y"-y'-6y=0的通解．答案:[解] 特征方程为λ2-λ-6=0，特征值为λ1=-2，λ2=3，则原方程的通解为y=C1e-2x+C2e3x．问题:13. 求微分方程y"+4y'+4y=0的通解．答案:[解] 特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=-2，则原方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x．问题:14. 求微分方程y"-y'+2y=0的通解．答案:[解] 特征方程为λ2-λ+2=0，特征值为，则原方程的通解为 问题:15. 设二阶常系数齐次线性微分方程以y1=e2x，y2=2e-x-3e2x为特解，求该微分方程．答案:[解] 因为y1=e2x，y2=2e-x-3e2x为特解，所以e2x，e-x也是该微分方程的特解，故其特征方程的特征值为λ1=-1，λ2=2，特征方程为(λ+1)(λ-2)=0即λ2-λ-2=0，所求的微分方程为y"-y'-2y=0．问题:16. 求微分方程y"+2y'-3y=(2x+1)ex的通解．答案:[解] 特征方程为λ2+2λ-3=0，特征值为λ1=1，λ2=-3，则y"+2y'-3y=0的通解为y=C1ex+C2e-3x．令原方程的特解为y0=x(ax+b)ex，代入原方程得 所以原方程的通解为 问题:17. 求y"-2y'-e2x=0满足初始条件y(0)=1，y'(0)=1的特解．答案:[解] 原方程化为y"-2y'=e2x． 特征方程为λ2-2λ=0，特征值为λ1=0，λ2=2，y"-2y'=0的通解为y=C1+C2e2x． 设方程y"-2y'=e2x的特解为y0=Axe2x，代入原方程得， 原方程的通解为． 由y(0)=1，y'(0)=1得解得 故所求的特解为 问题:18. 求微分方程y"+4y'+4y=eax的通解．答案:[解] 特征方程为λ2+4λ+4=0，特征值为λ1=λ2=-2，原方程对应的齐次线性微分方程的通解为y=(C1+C2x)e-2x． (1)当a≠-2时，因为a不是特征值，所以设原方程的特解为y0(x)=Aeax，代入原方程得，则原方程的通解为； (2)当a=-2时，因为a=-2为二重特征值，所以设原方程的特解为y0(x)=Ax2e-2x， 代入原方程得，则原方程的通解为 问题:19. 求微分方程y"+y=x2+3+cosx的通解．答案:[解] 特征方程为λ2+1=0，特征值为λ1=-i，λ2=i，方程y"+y=0的通解为y=C1cosx+C2sinx． 对方程y"+y=x2+3，特解为y1=x2+1； 对方程y"+y=cosx，特解为，原方程的特解为， 则原方程的通解为 问题:20. 设单位质点在水平面内作直线运动，初速度v|t=0=v0．已知阻力与速度成正比(比例系数为1)，问t为多少时此质点的速度为?并求到此时刻该质点所经过的路程．答案:[解] 设t时刻质点运动的速度为v(t)，阻力，则有解此微分方程得v(t)=v0e-t．由得t=ln3，从开始到t=ln3的时间内质点所经过的路程为 问题:21. 设f(x)在[0，+∞)上连续，且f(0)＞0，设f(x)在[0，x]上的平均值等于f(0)与f(x)的几何平均数，求f(x)．答案:[解] 根据题意得，令，则有，两边求导得即，令，则有解得问题:22. 设曲线L位于xOy平面的第一象限内，L上任意一点M处的切线与y轴总相交，交点为A，已知|MA|=|OA|，且L经过点，求L的方程．答案:[解] 设点M的坐标为(x，y)，则切线MA:Y-y=y'(X-x)． 令X=0，则Y=y-xy'，故A点的坐标为(0，y-xy')． 由|MA|=|OA|，得 即，或者 则 因为曲线经过点，所以C=3，再由曲线经过第一象限得曲线方程为 问题:23. 在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．答案:[解] 设所求曲线为y=y(x)，该曲线在点P(x，y)的法线方程为 令Y=0，得X=x+yy'，该点到x轴法线段PQ的长度为 由题意得，即yy"=1+y'2 令y'=p，则，则有，或者，两边积分得，由y(1)=1，y'(1)=0得C1=1，所以，变量分离得，两边积分得，由y(1)=1得 所以，即 又，所以 两式相加得 问题:24. 一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．答案:[解] 设t时刻雪堆的半径为r，则有 ，则，于是有，由r(0)=r0，，得C0=r0，，于是，令r=0得t=6，即6小时雪堆可以全部融化．问题:25. 设f(x)在[0，1]上连续且满足f(0)=1，f'(x)-f(x)=a(x-1)．y=f(x)，x=0，x=1，y=0围成的平面区域绕x轴旋转一周所得的旋转体体积最小，求f(x)．答案:[解] 由f'(x)-f(x)=a(x-1)得 f(x)=[af(x-1)e∫-1dxdx+C]e-∫-dx=Cex-ax， 由f(0)=1得C=1，故f(x)=ex-ax． 由得a=3，因为，所以当a=3时，旋转体的体积最小，故f(x)=ex-3x．。