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漆安慎 杜禅英 力学习题及答案07章 第7章 刚体力学 45 第7章 刚体力学第七章 刚体力学 二、思索题解答7.1 火车在拐弯时所作的运动是不是平动？ 一、根本学问小结 ⒈刚体的质心定义：r?c??mir?i/mr??r?c?dm/?dm求质心方法：对称分析法，分割法，积分法 ⒉刚体对轴的转动惯量定义：I??mr2iiI??r2dm平行轴定理 Io = Ic+md2 正交轴定理 Iz = Ix+Iy. 常见刚体的转动惯量： 〔略〕 ⒊刚体的动量和质心运动定理?p?mv??F?c?ma?c⒋刚体对轴的角动量和转动定理L?I????I?⒌刚体的转动动能和重力势能E2k?12I?Ep?mgyc⒍刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转动动力学方程：?F??ma?c??c?Ic?c〔不必考虑惯性力矩〕 动能：E22k?12mvc?12Ic?c ⒎刚体的平衡方程 ?F??0， 对随意轴???0答：刚体作平动时固联其上的任一一条直线，在各时刻的位置〔方位〕始终彼此平行。

假设将火车的车厢看作一个刚体，当火车作直线运行时，车厢上各局部具有平行运动的轨迹、一样的运动速度和加速度，选取车厢上的任一点都可代替车厢整体的运动，这就是火车的平动但当火车拐弯时，车厢上各局部的速度和加速度都不一样，即固联在刚体上任一条直线，在各时刻的位置不能保持彼此平行，所以火车拐弯时的运动不是平动7.2 对静止的刚体施以外力作用，假如合外力为零，刚体会不会运动？答：对静止的刚体施以外力作用，当合外力为了零，即?F?i?ma?c?0时，刚体的质心将保持静止，但合外力为零并不表明全部的外力都作用于刚体的同一点所以，对某一确定点刚体所受合外力的力矩M??Mi??ri?Fi不必须为零由刚体的转动定律M?J?可知，刚体将发生转动比方，置于光滑水平面上的匀质杆，对其两端施以大小一样、方向相反，沿水平面且垂直于杆的两个作用力时，杆所受的外力的合力为零，其质心虽然保持静止，但由于所受合外力矩不为零，将作绕质心轴的转动7.3 假如刚体转动的角速度很大，那么〔1〕作用在它上面的力是否必须很大？〔2〕作用在它上面的力矩是否必须很大？ M?答：由刚体的定轴转动定律?riFisin?i?J??Jd?dt可 第7章 刚体力学 46 第7章 刚体力学知，刚体受对轴的合外力矩正比于绕定轴转动角速度的时间改变率。

7.5试证：匀质细棒在光滑平面上受到一对大小相等、方向相反因此，刚体转动的角速度很大，并不意味这转动角速度的时间改变的作用力作用时，不管力作用在哪里，它的质心加速度总是零 率也很大，所以， 答：匀质刚性细棒可以看作在运动中保持相对位置不变的质点〔1〕刚体定轴转动的角速度?很大，与其受力?F没有干脆i关系对于刚体的一般运动，所受合外力使刚体的质心产生加速度，系，其质心遵守运动定律 .当该棒受大小相等方向相反的作用力时，质心所受合力与各个力的作用点无关，加速度总为零i?F?mai?c即变更刚体的平动状态〔2〕刚体定轴转动的角速度?很大，与其受到对定轴的力矩M的大小也没有干脆关系合外力矩使刚体产生角加速度，变更刚体的转动状态 7.4 为什么在探究刚体转动时，要探究力矩作用？力矩和哪些因素有关？答：一个静止的刚体能够获得平动的加速度而运动起来的缘由是，相对它的质心而言，所受的合外力不为零一个静止的刚体相对某一转动，能够获得角加速度而转动起来的缘由是，刚体所受到的外力对转轴的合外力矩?Mi不为零。

因此，刚体的转动是与其受到的相对转轴的合外力矩亲密相关的取z轴为刚体转动的固定轴时，对转动有奉献的合外力矩是Mz??Miz，其中Miz?Firsiin?，Fi是作用在刚体上的第i个外力在转动平面内的重量，而ri是由转轴〔z轴〕到Fi的作用点的距离，?是ri和Fi间由右手定那么确定的夹角所以，对z轴的力矩不但与各外力在转动平面内重量的大小Fi有关，还与Fi的作用线与z轴的垂直距离〔力臂〕di?risin?的值有关7.6 在计算物体的转动惯量时，能把物体的质量集中的质心处吗？答：物体的转动惯量时物体转动惯性大小的量度影响转动惯量的因素有：物体的总质量、物体质量的分布以及转轴的位置同一物体对质心轴和随意轴的转动惯量是不同的所以，在计算物体的转动惯量时，不能简洁地把物体的质量看作集中在质心处7.7 两个同样大小的轮子，质量也一样一个轮子的质量匀称分布，另一个轮子的质量主要集中在轮缘，问：〔1〕假如作用在它们上面的外力矩一样，哪个轮子转动的角加速度较大？〔2〕假如它们的角加速度相等，作用在哪个轮子上的力矩较大？〔3〕假如它们的角动量相等，哪个轮子上的力矩较大？ 答：质量相等、大小一样的轮子，由于质量分布状况的不同而使得它们对同一转轴的转动惯量不同。

由转动惯量的意义J??r2dm可知，质量主要集中在轮缘的轮子，其转动惯量较大由定轴的转动定律M?J?和角动量L?J?，可知： 〔1〕M一样时，物体所获得的角加速度大小与转动惯量成反比，故质量匀称分布的轮子转动的角加速度较大； 〔2〕角加速度相等时，转动惯量大的轮子上作用的力矩也大，故质量主要集中在轮缘的轮子受到的力矩较大； 第7章 刚体力学 47 第7章 刚体力学 〔3〕两轮的角动量相等时，两轮的角速度与它们的转动惯量成对该转动轴线的转动惯量与角加速度的乘积在数量上等于外力对此反比，故质量匀称分布的轮子转动的角速度较大转的较快 转动轴线的合力矩 —— 刚体定轴的转动定理。

〕 7.8 一个转动着的飞轮，如不供应它能量，最终将停下来试用7.12刚体的定轴转动的动能和重力势能为何？ 转动定律说明这个现象 答：刚体绕固定轴转动的动能等于刚体对此轴的转动惯量与角答：一个转动着的飞轮，如不供应它能量，最终必将停下来，这是由于飞轮在转动过程中受到各种对转轴的阻力矩作功的原因依据动能定理A??EK可知，阻力矩的功使飞轮的转动动能减小，使它最终停下来 7.9、什么是刚体？答：一般假定物体无论受多大外力或转动得多快都不变形，并称这样的物体为刚体刚体是力学中关于探究对象的另一个志向模型 7.10、什么是刚体的平动？其动力学方程为何？答： 假如在运动中，刚体上随意两质元连线的空间方向始终保持不变，这种运动就称为刚体的平动例如电梯的升降、活塞的来回等都是平动动力学方程为：p?mv??F?c?ma?c 7.11、什么是刚体的定轴转动？其动力学方程为何？答：假如刚体上各质元都绕同始终线作圆周运动就称为刚体转动，这条直线称为转轴，转轴固定于参考系的状况称为定轴转动。

刚体定轴轴的角动量L?I? 转动定理???I? 〔它说明：刚体绕固定轴转动时，刚体速度平方乘积之半 Ek?122I? 重力势能：Ep?mgyc 7.13、转动惯量的大小和什么有关？答：刚体的转动惯量确定于刚体各局部质量距转轴远近及质量的分布状况 7.14、什么是平行轴定理和垂直轴定律？ 平行轴定理：设刚体绕通过质心转轴的转动惯量为 Ic ，将轴朝任何方向平行移动一个距离 d ，那么绕此轴的转动惯量 ID为 ID=Ic+md2垂直轴定理：设刚性薄板平面为 xy 面，z 轴与之垂直，那么对于任何原点O绕三个坐标轴的转动惯量分别为应用它很简单求出圆环或圆盘绕直径的转动惯??Ix?m2??iyi?i?Ix2?y??mii?Iz?Ix?Iyi???Iz??mi(x2i?y2i)i7.15、什么是刚体平面运动？刚体平面运动的动力学方程为何？其机械能为何？答：刚体的平面运动=随质心坐标系的平动+绕质心坐标系的转 第7章 刚体力学 48 第7章 刚体力学 动动力学方程：?F??ma?c??c?Ic?c〔不必考虑惯性力矩〕动能：E2?2k?112mvc?2Icc7.16、刚体平衡的条件是什么？ 刚体的平衡方程?F??0， 对随意轴 ???0三、习题解答7.1.1 设地球绕日作圆周运动.求地球自转和公转的角速度为多少rad/s?估算地球赤道上一点因地球自转具有的线速度和向心加速度.估算地心因公转而具有的线速度和向心加速度〔自己搜集所需数据〕.[解 答]??2?自?7.27?10-524?3600(rad/s)??2?-7公365?24?3600?2.04?10(rad/s)??R?自a?22n?R??R 7.1.2 汽车发动机的转速在12s内由1200rev/min增加到3000rev/min.⑴假设转动是匀加速转动，求角加速度。

⑵在此时间内，发动机转了多少转？解：⑴??????(3000?1200)2?/60t12?15.7rad/s2 ⑵????2??2030002?12002)(2?/60)22??(2?15.7?26.39?102rad对应的转数=??2??26.392?3.14?102?420 7.1.3 某发动机飞轮在时间间隔t内的角位移为??at?bt3?ct4(?:rad,t:s)求t时刻的角速度和角加速度解：??d?dt?a?3bt2?4ct3??d?dt?6bt?12ct2 7.1.4 半径为0.1m的圆盘在铅直平面内转动，在圆盘平面内建立o-xy坐标系，原点在轴上，x和y轴沿水平和铅直向上的方向边缘上一点A当t=0时恰好在x轴上，该点的角坐标满意θ=1.2t+t2 (θ:rad,t:s)⑴t=0时，⑵自t=0起先转45o时，⑶转过90o时。