放缩法及其在一些问题中的应用.doc

本科学生毕业论文（设计）题 目 学 院 专 业 学生姓名 XXX 学 号 XXXX 扌旨导教师 XXX 职称化 论文字数 5929 字 完成日期 2014 年 2 月 28 日目录1引言 ..11.1放缩的方法 21.2如何把握放缩的尺度 52放缩法在初等数学中的应用举例 ..82.1利用放缩法证明不等式 82.2放缩法在估算上的应用 ...102.3放缩法在数列上的应用 113放缩法在高等数学上的应用举例 ..133.1放缩法求极限 133.2放缩法证明定理 .153.3反常积分敛散性判定 ..173.4正项级数敛散性判定 ..17结论 ..18参考文献 ..19致谢 ..19放缩法及其在一些问题中的应用XXX，数学计算机科学学院摘 要：放缩法就是针对不等式的结构特征，运用不等式的性质，瞄准目标，将 不等式的一边或两边进行放大或缩小，使问题解决的一种变形手段在一些计算 性题目中，如果题目的精度要求不高，也可以将中间过程进行适当放大或缩小， 从而迅速达到精度足够的结果但无论是放大还是缩小都要遵循不等式传递性法 则，保证变换的连续性、目的性与和谐性。

放缩法在初等数学和高等数学中有着 广泛的应用，归因于使用放缩法需要较高的拆分组合技巧， 还要把握好放缩的“尺度”否则将达不到预期的目的，或得出错误的结论 .关键词：放缩法；精度；初等数学；高等数学Scaling Method and Its Application on Some Issuesxxx, College of Computer Science in MathematicsAbstractScaling method is a menas of deformation to solve the problem ,con trapos ing the in equality structural features.It applies for the n ature of in equality, sets a target and zooms in or out one of both sides of the in equalit y.ln some computaitional subjects” the requirement of precision is low ,We can appropriate zoom in or out the in termediate results,thus to acquire the estimati on methods of rapid reachi ng of accurate eno ugh results .However whether the in equality en arged or reduced,we must follow the transitive law.Ensure the transformative continuity purposity and harm ony. Scali ng method has be widely applied in the primary sec on dary and higher mathematics .Due to the law requires a higher zoom in dividi ng skills, but also a good grasp of the zoom scale, otherwise it will not reach the desired purpose, or draw the wrong con clusi ons.Key words: Scali ng method;accuracy;Primary sec on dary mathematics;Higer mathematics放缩法自诞生以来不仅解决了数学上困扰人们已久的很多难题还大大降低 了计算量，为粗略计算和不等式的证明带来了很大的方便，受到人们的追捧并应 用于各个方面，是数学上一种重要的方法。

当然如果放缩不适当就不能得到理想 的结果，所以如何放缩，如何做到放缩适度是关键，但要做到放缩适度却不是一 件容易的事，因此有必要及早接触放缩法，并逐步掌握放缩的技巧，进而达到熟能生巧的地步放缩法又称放缩思想，是指在计算性题目中，如果题目的精度要求不高，可 以将中间过程适当放大或缩小，从而迅速达到精度足够的结果的计算方法 如在 证明不等式A B时，可以构造数学式子 C,使A C,且C B从而得证其中 数学式子C是常常通过将A缩小或将B放大而构造成的这种方法的的推理依据 是不等式的传递性1.1放缩的方法不等式的论证历来以方法多，技巧性强，难度高著称，而在诸多方法中尤以 放缩法最难以把握，究其原因正在于学生不能掌握放缩的方法和尺度 .（1）添加或舍弃一些正项（或负项）例 1 .已知 an =2n -1(n • N*).求证:3 a2as证明:2k -1 1 1 113 2k 2k -21 1 1 ,… 亍3.刃k “2"2k 1 1 2 2(2k1 1) 2n2n 1 冃 a2 …an : n(n N*).2 3 a2 as a. 1 2若多项式中加上一些正的值，多项式的值变大，多项式中加上一些负的值， 多项式的值变小.由于证明不等式的需要，有时需要舍去或添加一些项，使不等 式一边放大或缩小，利用不等式的传递性，达到证明的目的 •本题在放缩时就舍 弃了 2 -2，从而是使和式得到化简.（2）舍、添恒大（小）于1的因子类似于舍添正负项，舍、添恒大（小）于1的因子也是放缩中常用的手段之 「，最为常见的是利用三角函数的有界性。

sinx兰1, cosx兰1，在解题中发挥很好的作用.例2:证明0I .iSin xdx发散.因为、〒□口 、/ n x证明：因为(°sin x1 sin x.易证广xx dx 1——dx =x-be sin xdx，而 sin x 兰1峯響dx收敛，广发散，于是rsinxdx是发散的.x(3)先放缩，后裂项(或先裂项再放缩)n 訂k例3.已知an=n，求证：笔f v 3.akn证明：篦(k — 1)k(k +1)nV1+苹卞2n=1 +『 .'(k—1)( k +1) ( “k+ 1 + 'k — 1 ) 心一 k 1 - . k -1.(k-1)(k 1)n=1+ (.(k — 1) .(k+ 1)1 V2+辽 v3.2运 1=1+ —石—讹亍本题先采用减小分母的两次放缩，再裂项，最后又放缩，有的放矢，直达 目标.(4)利用函数的单调性先确定某函数在特定区间的单调性，其力法是求其一阶导数，若一阶导数大 于零，说明该函数在特定区域是单调递增；若一阶导数小于零，说明该函数在特 定区域是单调递减然后将该区间中某点处的因数值换成该区间中另一点处的函 数值.、、、 2 ( -例 4.试证 x>si nxA — x.O0, x>si nx x < —y0 =y 2 '所以在匕上函数不是单调的，我们来考察yx在0，-2 2 "的极限.因为 y x =cosx-—=0，x=arccos—，而 y x =-sinx ：：： 0 i 0 ：：： x ：：：故y x在0,2只有一个极大值点，且在端点的值为零，因此在2y(x )a0，即 sin x a — x 0 b(或ac>b(或a