外推原理与Romberg求积法.ppt

第三章 数值积分与数值微分3.3 外推原理与外推原理与Romberg求积法求积法3.3.2 Romberg 3.3.2 Romberg 求积法求积法求积法求积法3.3.1 3.3.1 外推原理外推原理外推原理外推原理第三章 数值积分与数值微分3.3 外推原理与外推原理与Romberg求积法求积法学习目标：学习目标： 理解外推原理，会运用理解外推原理，会运用Romberg求积求积法第三章 数值积分与数值微分　　在科学与工程计算中，很多算法与步长在科学与工程计算中，很多算法与步长h有关，特别是数值积分、有关，特别是数值积分、数值微分和微分方程数值解的问题对于这些算法，我们可以通过数值微分和微分方程数值解的问题对于这些算法，我们可以通过外推技巧提高计算精度先看一个计算外推技巧提高计算精度先看一个计算π的近似值的例子，由函数的近似值的例子，由函数sinx的的Taylor展开式有展开式有若记若记 则有则有3.3.1 外推原理外推原理3.3 外推原理与外推原理与Romberg求积法求积法第三章 数值积分与数值微分由此构造新的表达式：由此构造新的表达式：可见，计算可见，计算π的近似值的算法的近似值的算法F(h)的截断误差是的截断误差是 ，而算法，而算法 的截断误差是的截断误差是 。

外推一次，精度提高了这就是外推法的基本外推一次，精度提高了这就是外推法的基本思想思想 若重复以上过程，不断外推，即不断折半步长若重复以上过程，不断外推，即不断折半步长h，，得到计算得到计算π的的算法序列算法序列 随着k的增加，算法的截断误差越来越高，计算精的增加，算法的截断误差越来越高，计算精度越来越好度越来越好第三章 数值积分与数值微分可将外推思想推广到一般情况设可将外推思想推广到一般情况设F(h) 是计算是计算F(0)的一种近似算式，的一种近似算式，带截断误差的表示式为带截断误差的表示式为其中，其中， 与与p无关无关如果我们用如果我们用h和和h/q（（q>1））两种步长分别计算两种步长分别计算F(h)和和(h/q)，，则有则有消去截断误差的主项，得新的算法消去截断误差的主项，得新的算法我们称这个过程为我们称这个过程为Richardson外推法外推法这里, 逼近逼近F(0)的截断误的截断误差是差是 第三章 数值积分与数值微分 只要知道只要知道 F(h)的更加完整的关于的更加完整的关于h幕的展开式，而无需知道展幕的展开式，而无需知道展开式中各个系数的具体数值，就能重复使用开式中各个系数的具体数值，就能重复使用Richardson 外推法，直外推法，直到截断误差达到容许误差。

用归纳法可以证明下面更一般的定理到截断误差达到容许误差用归纳法可以证明下面更一般的定理 定理定理 3.4 假设假设F(h)逼近逼近F(0)的余项为的余项为其中，其中， 是与是与h 无关的非零常数，无关的非零常数，则由则由（（（（3.3.13.3.1）））） 定义的序列定义的序列 有有其中其中 与与h无关，无关，q>1Richardon外推法应用非常广泛和有效外推法应用非常广泛和有效,下面应用于数值积分下面应用于数值积分.第三章 数值积分与数值微分3.3.2 Romberg 3.3.2 Romberg 求积法求积法求积法求积法 先给出先给出Romberg求积法的基础求积法的基础,即对于计算积分即对于计算积分I=I[f]的复化梯形公的复化梯形公式式T(h),其余项为其余项为(3.3.2) (3.3.2) 其中其中, 为为Bernoulli常数常数 。

在外推算法（在外推算法（3.3.1）中，取）中，取 由余项（由余项（3.3.2）可得著名的）可得著名的Romberg求积方法求积方法：：第三章 数值积分与数值微分其中，其中， 表示将积分区间表示将积分区间[a,b]作作 等分相应的的复化梯形公式，等分相应的的复化梯形公式，求和项包括了每次等份后新增加点上的函数值求和项包括了每次等份后新增加点上的函数值 表示第表示第m次外次外推所得的计算值推所得的计算值 可以验证，可以验证，m=1时，所得外推值就是复化时，所得外推值就是复化Simpson公式的计算值对给定的精确标准公式的计算值对给定的精确标准ε，，我们可由我们可由作为计算终止的标准表作为计算终止的标准表3-3给出了计算过程，给出了计算过程，i表示第表示第i步计算第三章 数值积分与数值微分表表表表3-33-3k01 3 6 1015 12 5 9 14 248 13 37 12411第三章 数值积分与数值微分 值得注意的是，若对某个值得注意的是，若对某个k，，被积函数有性质被积函数有性质说明余项（说明余项（3.3.2）中）中 的系数为零，则对的系数为零，则对Romberg求积法要做相求积法要做相应的修改，否则外推结果可能会差些。

应的修改，否则外推结果可能会差些例例例例3.43.4 用用Romberg求积法计算定积分求积法计算定积分 ，使计算值的误差，使计算值的误差不超过不超过 解解还没有满足精度要求，需继续进行外推，接着再计算还没有满足精度要求，需继续进行外推，接着再计算 于是得到计算结果如表于是得到计算结果如表3-4 第三章 数值积分与数值微分由此看出，步长折半由此看出，步长折半3次，复化梯形公式只达到次，复化梯形公式只达到2位有效数字，而位有效数字，而经经3次外推后达次外推后达6位有效数字位有效数字表表表表3-43-4k00.92073550.94614590.94608300.946083010.93979330.94608690.946.83120.94451350.946083330.9456909。