2019学年北师大版数学精品资料活页作业(十) 导数与函数的单调性(第一课时)1．当x>0时，f(x)＝x＋，则f(x)的递减区间是( )A．(2，＋∞) B．(0,2)C．(，＋∞) D．(0，)解析：由已知得f′(x)＝1－.令f′(x)＝1－<0，得－0，∴00.∴函数y＝xex在(0，＋∞)内递增．答案：B3．已知f(x)，g(x)均为(a，b)上的可导函数，在[a，b]上没有间断点，且f′(x)>g′(x)，f(a)＝g(a)，则x∈(a，b)时有( )A．f(x)>g(x) B．f(x)g′(x)，∴f′(x)－g′(x)>0.即[f(x)－g(x)]′>0，∴f(x)－g(x)在(a，b)上是增加的．∴f(x)－g(x)>f(a)－g(a)．∴f(x)－g(x)>0.∴f(x)>g(x)．答案：A4．设函数f(x)在定义域内可导，y＝f(x)的图像如下图所示，则导函数y＝f′(x)的图像可能为( )解析：函数f(x)在(－∞，0)上是增加的，则f′(x)在(－∞，0)上恒大于0，排除A，C；函数f(x)在(0，＋∞)上先增加，再减少，最后又增加，则f′(x)在(0，＋∞)上先为正，再为负，最后又为正．答案：D5．函数f(x)＝xln x的递增区间是( )A．(0,1) B．(1，＋∞)C． D．解析：由导数公式表和求导法则，得f′(x)＝ln x＋1.当x∈时，f′(x)>0，所以函数f(x)在区间上是增加的．答案：D6．函数f(x)＝x3－15x2－33x＋6的递减区间为__________．解析：由已知得f′(x)＝3x2－30x－33＝3(x＋1)(x－11)．令f′(x)<0，得－12.∴递减区间为(－∞，－2)和(2，＋∞)．答案：(－∞，－2)，(2，＋∞)9．已知函数f(x)＝x3＋bx2＋cx＋d的图像过点P(0,2)，且在点M(－1，f(－1))处的切线方程为6x－y＋7＝0.(1)求函数y＝f(x)的解析式；(2)求函数y＝f(x)的单调区间．解：(1)∵f(x)的图像经过点P(0,2)，∴d＝2.∴f(x)＝x3＋bx2＋cx＋2，f′(x)＝3x2＋2bx＋c.∵在点M(－1，f(－1))处的切线方程是6x－y＋7＝0，∴－6－f(－1)＋7＝0.∴f(－1)＝1.又f′(－1)＝6，∴即解得b＝c＝－3.∴所求的解析式是f(x)＝x3－3x2－3x＋2.(2)由已知得f′(x)＝3x2－6x－3.令f′(x)＝0，即x2－2x－1＝0，解得x1＝1－，x2＝1＋.当x<1－或x>1＋时，f′(x)>0；当1－0，证明：ln(1＋x)>x－x2.证明：设f(x)＝ln(1＋x)－x＋x2(x>0)，则f′(x)＝－1＋x＝.当x>0时，f′(x)>0.∴f(x)在(0，＋∞)内是增加的．∴当x>0时，f(x)>f(0)＝0.∴当x>0时，ln(1＋x)>x－x2.11．下列区间中，是函数y＝xsin x＋cos x的递增区间的是( )A． B．(π，2π)C． D．(2π，3π)解析：由已知得y′＝sin x＋xcos x－sin x＝xcos x.∴当x∈时，y′＝xcos x>0.答案：C12．已知函数y＝f(x)(x∈R)上任一点(x0，f(x0))处的切线的斜率k＝(x0－2)(x0＋1)2，则该函数的递减区间为________．解析：由于切线的斜率就是其该点的导数值，所以由题意知f′(x)＝(x－2)(x＋1)2<0.解得x<2.故减区间为(－∞，2)．答案：(－∞，2)13．函数y＝f(x)在定义域内可导，其图像如下图所示．记y＝f(x)的导函数为y＝f′(x)，则不等式f′(x)≤0的解集为________．解析：∵f′(x)≤0对应函数f(x)的递减区间，即f(x)的减区间为，(2,3)，∴f′(x)≤0的解集为∪[2,3)．答案：∪[2,3)14．在区间(a，b)内，f′(x)>0是f(x)在(a，b)内单调递增的___________条件．解析：若f′(x)>0，则f(x)在(a，b)内单调递增．反之不成立．例如y＝x3.在R上递增，但y′＝3x2≥0.答案：充分不必要15．求证：方程x－sin x＝0只有一个根x＝0.证明：设f(x)＝x－sin x，x∈，则f′(x)＝1－cos x>0.∴f(x)在(－∞，＋∞)上是单调递增函数．当x＝0时，f(x)＝0，∴方程x－sin x＝0有唯一根x＝0.16．已知m、n∈N＋，且1(1＋n)m.证明：∵1(1＋n)m⇔>.∴构造函数f(x)＝(x≥2)，得f′(x)＝.由x≥2，得0<<1，ln(1＋x)≥ln 3>1.∴f′(x)<0，f(x)为单调递减函数．又2≤m.∴(1＋m)n>(1＋n)m.。
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